第28讲 三角恒等变换（2）-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）（解析版）

这是一份第28讲 三角恒等变换（2）-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）（解析版），共15页。学案主要包含了2023年新高考1卷，2021年新高考1卷等内容，欢迎下载使用。
第28讲 三角恒等变换（2）知识梳理1. 在三角函数式的化简、求值、证明等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数，如遇到正切、正弦、余弦并存的情况，一般要切化弦．2. 要注意对“1”的代换：如1＝sin2α＋cos2α＝tan，还有1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2.3. 对于sinαcosα与sinβ±cosα同时存在的试题，可通过换元完成：如设t＝sinα±cosα，则sinαcosα＝±.4. 要注意角的变换，熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，是的半角，是的倍角等．5. 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式：(1)y＝asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝.则－≤y≤.(2)y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x可先降次，整理转化为上一种形式．(3)y＝(或y＝)可转化为只有分母含sinx或cosx的函数式sinx＝f(y)的形式，由正、余弦函数的有界性求解．6. 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式：(1)y＝asin2x＋bcosx＋c可转化为关于cosx的二次函数式．(2)y＝asinx＋(a，b，c＞0)，令sinx＝t，则转化为求y＝at＋(－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解．  1、【2023年新高考1卷】 已知，则（    ）．A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因为，而，因此，则，所以.故选：B2、【2021年新高考1卷】若，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：．故选：C．3、【2018年新课标1卷文科】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】首先根据两点都在角的终边上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得，从而得到，再结合，从而得到，从而确定选项.【详解】由三点共线，从而得到，因为，解得，即，所以，故选B.4、【2018年新课标1卷文科】已知函数，则A．的最小正周期为，最大值为B．的最小正周期为，最大值为C．的最小正周期为，最大值为D．的最小正周期为，最大值为【答案】B【解析】【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.【详解】根据题意有，所以函数的最小正周期为，且最大值为，故选B.1、若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝        .【答案】　【解析】　tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.2、已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β等于(　　)A.   B.或C.   D．2kπ＋(k∈Z)【答案】　C【解析】　由sin α＝，cos β＝，且α，β为锐角，可知cos α＝，sin β＝，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝，3、已知，，则的值为_______．【答案】3【解析】．4、设为锐角，若，则的值为    ．【答案】【解析】 因为为锐角，cos(=，∴sin(=，∴sin2(cos2(，所以sin(5、 （2022年福建诏安县模拟试卷）已知，，则的值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】因为，则，所以，，所以，.故选：B.考向一　变角的运用例1、已知α为锐角，若cos ＝，求 sin 的值．【解析】 设β＝α＋，则β∈，所以sin β＝，sin 2β＝2sin βcos β＝，cos 2β＝2cos2β－1＝，所以sin＝sin ＝sin （2β－）＝sin 2βcos －cos 2βsin ＝.变式1、（1）（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）已知，若，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故选：C.（2）（2022·广东湛江·二模）若，，则___________.【答案】【解析】因为，，所以，故答案为：变式2、（1）（2021·山东烟台市·高三二模）已知，，则的值为______．【答案】【解析】，而，∴，∴.故答案为：.（2）已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________.【答案】　－【解析】　由题意知，α＋β∈，sin(α＋β)＝－＜0，所以cos(α＋β)＝，因为β－∈，所以cos＝－，cos＝cos＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝－.方法总结：所谓边角就是用已知角表示所求的角，要重点把握住它们之间的关系，然后运用有关公式进行求解。考向二  求角例2、已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，求α＋β的值．【解析】 因为α，β为锐角，且sin α＝，cos β＝，所以cos α＝＝＝，sinβ＝＝＝，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.由0＜α＜，0＜β＜，得0＜α＋β＜π.又cos (α＋β)＞0，所以α＋β为锐角，所以α＋β＝.变式1、已知α，β为锐角，且sin α＝，cos β＝，求α－β的值．【解析】 因为α，β为锐角，所以由sin α＝，cos β＝，得cos α＝，sin β＝，所以α＜β，所以－＜α－β＜0，所以cos (α－β)＝×＋×＝，故α－β＝－.变式2、若sin 2α＝，sin (β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值为__________．【答案】 【解析】 因为α∈，所以2α∈.又sin 2α＝，所以2α∈，则α∈，故cos 2α＝－.又β∈，所以β－α∈，故cos (β－α)＝－，所以cos (α＋β)＝cos [2α＋(β－α)]＝cos 2α·cos (β－α)－sin 2αsin (β－α)＝－×（－）－×＝.又α＋β∈，故 α＋β＝.变式3、（1）（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知且，则=（   ）A． B．C． D．或【答案】C【解析】因，则，，因，，则，又，有，于是得，因此，，所以.故选：C（2）（2022·河北张家口·高三期末）已知，，则（    ）A． B． C． D．【答案】BD【解析】，故，所以或，故或.又，所以或，故选：BD.方法总结：求角的步棸：1、求角的某一个三角函数值，（结合具体情况确定是正弦、余弦还是正切）2、确定角的范围（范围尽量缩小）3、根据范围和值确定角的大小。考向三 公式的综合运用 例3、已知函数f(x)＝sin (x＋θ)＋a cos (x＋2θ)，其中a∈R，θ∈.(1) 当a＝，θ＝时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2) 若f＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．【解析】 (1) 由题意，得f(x)＝sin ＋cos（x＋）＝(sin x＋cos x)－sin x＝cos x－sin x＝sin .因为x∈[0，π]，所以－x∈，故f(x)在区间[0，π]上的最大值为，最小值为－1.(2) 由得由θ∈知cos θ≠0，解得变式1、(1) 函数f(x)＝sin (x＋φ)－2sin φcos x的最大值为　　　　；【答案】  1【解析】 因为f(x)＝sin (x＋φ)－2sin φcos x＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin (x－φ)，且－1≤sin (x－φ)≤1，所以f(x)的最大值为1.(2) 函数f(x)＝sin －2sin2x的最小正周期是　　　　．【答案】 π【解析】f(x)＝sin 2x－cos 2x－(1－cos 2x)＝sin 2x＋cos 2x－＝sin （2x＋）－，所以T＝＝π.变式2、（2022·山东青岛·高三期末）（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（    ）A．B．是图象的一条对称轴C．的最小正周期为D．将的图象向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称【答案】AC【解析】，A正确；，由于在对称轴处函数值要取到最值，故B错误；，C正确；将的图象向左平移个单位后得，其为偶函数，不关于原点对称，D错误.故选：AC. 方法总结：降幂公式是解决含有cos2x、sin2x式子的问题较常用的变形之一，它体现了逆用二倍角公式的解题技巧． 1、（2022·广东韶关·一模）若，则__________.【答案】【分析】先求出，利用两角差的正切公式即可求出.【详解】因为，所以，所以，所以.故答案为：2、（2022年福建连城县模拟试卷）已知，且，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】，，又，，，，.故选：A.3、（2022年广东揭阳市模拟试卷）已知，则A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】，解得，，故.4、（2022年福建上杭县模拟试卷）已知，，则（    ）A.  B.  C.  D. 0【答案】D【解析】因为，所以，所以，所以，所以或，因为，所以，所以， 所以.故选：D5、（2022·江苏宿迁·高三期末）已知，则____________.【答案】【解析】因为，所以，因为，所以，所以，所以，所以，故答案为：.6、（2022·江苏通州·高三期末）若，则α的一个可能角度值为__________.【答案】等答案较多【解析】则，故，或故答案为：等均符合题意.7、（2022·江苏如东·高三期末）写出一个满足tan20°＋4cosθ＝的θ＝_________.【答案】（答案不唯一）．【解析】，因此（实际上）．故答案为：（答案不唯一）．8、（2022·江苏南京·模拟预测）已知，．(1)求的值；(2)若，，求的值．【解析】解：因为，，又，所以，所以.(2)解：因为，，又因为，所以，由（1）知，，所以．因为，，则，所以．