第20讲 利用导数研究函数的单调性-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）（解析版）

这是一份第20讲 利用导数研究函数的单调性-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）（解析版），共13页。学案主要包含了2022年全国甲卷，2022年新高考1卷等内容，欢迎下载使用。
1. 函数的单调性
设函数y＝f(x)在某个区间内可导，若f′(x) > 0，则f(x)为增函数，若f′(x) < 0，则f(x)为减函数．
2. 求可导函数f(x)单调区间的步骤：
(1) 确定f(x)的 定义域 ；
(2) 求导数f′(x)；
(3) 令f′(x) > 0(或f′(x) < 0)，解出相应的x的取值范围；
(4) 当 f′(x)>0 时，f(x)在相应区间上是增函数，当 f′(x)0(或f′(x)b>aB．b>a>cC．a>b>cD．a>c>b
【答案】A
【解析】
【分析】
由cb=4tan14结合三角函数的性质可得c>b；构造函数f(x)=csx+12x2−1,x∈(0,+∞)，利用导数可得b>a，即可得解.
【详解】
因为cb=4tan14,因为当x∈(0,π2),sinx1,所以c>b；
设f(x)=csx+12x2−1,x∈(0,+∞)，
f'(x)=−sinx+x>0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增，
则f14>f(0)=0,所以cs14−3132>0，
所以b>a,所以c>b>a，
故选：A
2、【2022年新高考1卷】设a=0.1e0.1,b=19，c=−ln0.9，则（ ）
A．a0，函数g(x)=xex+ln(1−x)单调递增，
所以g(0.1)>g(0)=0，即0.1e0.1>−ln0.9，所以a>c
故选：C.
1、.函数f(x)＝3＋xln x的单调递减区间是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，e)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,e)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,e))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，＋∞))
【答案】 B
【解析】因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝ln x＋x·eq \f(1,x)＝ln x＋1，令f′(x)＜0，解得0＜x＜eq \f(1,e)，故f(x)的单调递减区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,e))).
2、函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图像如图，则函数y＝ax2＋eq \f(3,2)bx＋eq \f(c,3)的单调递增区间是( )
第2题图
A. (－∞，－2]
B. eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
C. eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，3))
D. eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,8)，＋∞))
【答案】D
【解析】 由题图可知d＝0. 不妨取a＝1，∵f(x)＝x3＋bx2＋cx，∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c. 由图可知f′(－2)＝0，f′(3)＝0，∴12－4b＋c＝0，27＋6b＋c＝0，∴b＝－eq \f(3,2)，c＝－18. ∴y＝x2－eq \f(9,4)x－6，y′＝2x－eq \f(9,4). 当x＞eq \f(9,8)时，y′＞0，∴y＝x2－eq \f(9,4)x－6的单调递增区间为[eq \f(9,8)，＋∞). 故选D.
3、函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
eq \a\vs4\al()
A B C D
【答案】 D
【解析】 由f′(x)的图象可知f(x)的单调性为减→增→减→增，且极大值点为正，故选D.
4、 下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A. f(x)＝sin 2x
B. g(x)＝x3－x
C. h(x)＝xex
D. m(x)＝－x＋ln x
【答案】 C
【解析】 对于A，f(x)＝sin 2x是周期函数，在区间(0，＋∞)上无单调性，不符合题意；对于B，g′(x)＝3x2－1.令g′(x)>0，得x> eq \f(\r(3),3)或x0时，h′(x)>0，所以函数h(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，符合题意；对于D，m′(x)＝ eq \f(1－x,x)(x>0).令m′(x)>0，得00)，
所以f′(x)＝1－ eq \f(2,x2)＋ eq \f(1,x)＝ eq \f(x2＋x－2,x2)(x>0).
令f′(x)＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝1，
所以当x∈(0，1)时，f′(x)0，
故函数f(x)的单调减区间为(0，1)，单调增区间为(1，＋∞).
变式2、(1) 函数f(x)＝eq \f(x－3,e2x)的减区间是( )
A. (－∞，2) B. (2，＋∞)
C. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)，＋∞)) D. (3，＋∞)
【答案】C
【解析】 因为f(x)＝eq \f(x－3,e2x)，所以f′(x)＝eq \f(7－2x,e2x)，令f′(x)0，得csx>－eq \f(1,2)，即2kπ－eq \f(2π,3)