第2.4练 函数的对称性（解析版）-2024年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

第二章 函数

第2.4练 函数的对称性

一、单选题

1．函数与的图象（    ）

A．关于轴对称 B．关于轴对称

C．关于原点对称 D．关于直线对称

【答案】A

【详解】由得，

所以函数与的图象关于轴对称.

故选：A

2．已知为定义在上的奇函数，且的图象关于对称，当时，，则（    ）

A．2 B． C． D．4

【答案】C

【详解】∵是定义在上的奇函数，∴，

∵关于对称，∴，

∴.

∴.

故选：C

3．已知函数的图像关于直线x＝1对称，则实数a的取值为（    ）

A．-1 B．1 C．-3 D．3

【答案】A

【详解】因为形如的函数图象，其对称轴为，

故对，其对称轴为，解得.

故选：A.

4．函数的图像（    ）

A．关于直线对称 B．关于轴对称

C．关于原点对称 D．关于轴对称

【答案】B

【详解】解：因为，

易知为偶函数，

所以函数的图象关于轴对称.

故选：B.

5．对任意实数x，函数都满足，则函数的图象关于（    ）

A．直线对称 B．直线对称 C．点对称 D．点对称

【答案】C

【详解】由可得，

所以函数的图象关于点对称.

故选：C.

6．设函数的定义域为R，且是奇函数，则图像（    ）

A．关于点中心对称 B．关于点中心对称

C．关于直线对称 D．关于直线对称

【答案】A

【详解】因为为奇函数，所以，

所以函数图象关于点中心对称.

故选：A.

7．已知函数图象的对称轴为，则图象的对称轴为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】设，则，

故，整理得到，

所以图象的对称轴为.

故选：C.

8．已知定义在R上的函数满足，且是偶函数，则（    ）

A．是偶函数 B．的图象关于直线对称

C．是奇函数 D．的图象关于点对称

【答案】A

【详解】由可得，所以函数的周期是2，

因为是偶函数，所以即函数的图象关于对称，

所以，

所以是偶函数,故A正确，C错误，

当时，通过上述的周期为2，且关于对称得到以下图象，

通过图象可发现不关于直线对称，也不关于点对称，故BD错误，

故选：A

9．已知函数，若图象上存在关于原点对称的点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】关于原点对称的函数为，即，

若函数图象上存在关于原点对称的点，

则与在上有交点，

所以方程在上有实数根，

即在上有实数根，

即与的图象在有交点，

，所以在上单调递增，

所以，所以，所以.

故选：D.

10．函数y＝f(x)是定义在实数集上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)的图像之间（   ）

A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称

C．关于点（5，0）对称 D．关于点（1，0）对称

【答案】C

【详解】据复合函数的对称性知函数与之间关于点，即中心对称

故选：C

二、多选题

11．已知定义在上的奇函数满足，若，则（    ）

A．4为的一个周期 B．的图象关于直线对称

C． D．

【答案】ABC

【详解】对于A：函数为奇函数，则，

则，

则的一个周期为4，故A正确；

对于B：，则函数关于对称，故B正确；

对于C：的一个周期为4，

，

令中的，则，

函数为定义在上奇函数，

，

，故C正确；

对于D：的一个周期为4，

，

函数为奇函数，

，

，故D错误；

故选：ABC.

12．下列函数中，哪些函数的图像关于轴对称（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【详解】选项A：由知定义域为，

且，

所以该函数为偶函数，则图像关于轴对称，

所以A正确；

选项B：由知定义域为，

且，

所以该函数为奇函数，则图像关于原点对称，

所以B不正确；

选项C：由知定义域为，

且，

所以该函数为偶函数，则图像关于轴对称，

所以C正确；

选项D：由知定义域为，

且，

所以该函数为奇函数，则图像关于原点对称，

所以D不正确；

故选：AC.

13．已知是定义在R上的函数，函数图像关于y轴对称，函数的图像关于原点对称，则下列说法正确的是（    ）

A． B．对，恒成立

C．函数关于点中心对称 D．

【答案】BCD

【详解】∵函数的图像关于y轴对称，∴函数的图像关于直线对称，

，则，

∵函数的图像关于原点对称，∴函数的图像关于点中心对称，，

，则，C选项正确；

，，故，B选项正确；

，D选项正确；

没有条件能确定，A选项错误.

故选：BCD.

14．以下函数的图象是中心对称图形的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【详解】对于A，由二次函数的性质可知，

函数无对称中心，故A错误；

对于B，根据幂函数的性质可知，

函数的图象关于原点对称，故B正确；

对于C，，

所以的图象可以由反比例函数的图象向右平移1个单位，

向上平移2个单位得到，且反比例函数的图象关于原点对称，

所以函数的图象关于点对称，故C正确；

对于D，函数的定义域为,且，

当时，，，

当时，，，

所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故D正确；

故选：BCD.

15．已知是定义在上的奇函数，图像关于直线对称，且在区间内的图像如图所示，下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．直线是函数的一条对称轴 D．点为函数的一个对称中心

【答案】ACD

【详解】由题意，的对称点是，对称轴是，，

，所以的周期；

，A正确；

如果，则有，则的周期为5，与前面的分析矛盾，B错误；

由于是对称轴，周期为4，所以也是对称轴，C正确；

由于是对称点，所以也是对称点，D正确；

故选：ACD.

三、填空题

16．函数的图象关于__________对称.

【答案】原点

【详解】因为的定义域为，关于原点对称，

又，

所以是奇函数，图象关于对称．

故答案为：．

17．已知函数，，若的图像关于轴对称，则__________．

【答案】

【详解】解：,,

所以,

又因为函数的图像关于轴对称,

所以是偶函数,

,

,

,

故答案为

18．已知函数且，则的值为__________.

【答案】

【详解】因为，则，

所以，.

故答案为：.

19．定义在R上的奇函数满足， ，______.

【答案】

【详解】∵奇函数，∴，∴，

，∴∴函数的周期为3，

∴，∴；

故答案为：.

20．对任意，恒有，对任意，现已知函数的图像与有4个不同的公共点，则正实数的值为__________.

【答案】

【详解】，，，

令，则有，

任意，恒有，则函数的图像关于对称，函数是以2为周期的周期函数，

在同一直角坐标系下作出函数与的图像，如图所示，

函数的图像与有4个不同的公共点，由图像可知，的图像函数在上的图像相切，

由，消去得，则，解得.

故答案为：

四、解答题

21．已知函数

(1)求证：函数是上的减函数；

(2)已知函数的图象存在对称中心的充要条件是的图象关于原点中心对称，判断函数的图象是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由.

【详解】（1）证明：设，

则，

由，可得，

则，即，

所以函数是上的减函数；

（2）由已知条件“函数的图象存在对称中心的充要条件是的图象关于原点中心对称”，

即可得，可得

所以

化简可得，

则需满足，代入可得，

解得，

所以函数的图象存在对称中心.

22．已知指数函数的图象经过点，

(1)求函数的解析式；

(2)设函数，证明：函数的图象与函数的图象关于y轴对称．

【详解】（1）解：由题意，设指数函数且，

因为函数的图象经过点，所以，解得，

所以函数；

（2）证明：由（1）知，

任取函数的图象上一点，则，

因为关于y轴的对称点为，且，

所以在函数的图象上，

设上任意一点，则，

因为关于y轴的对称点为，且，

所以在函数的图象上，

所以函数的图象与函数的图象关于y轴对称．

23．已知是奇函数.

（1）求的值，

（2）若函数的图象关于点对称，，求的值.

【详解】解：（1）因为是奇函数，所以，

即，整理得，又，所以.

（2）因为，

所以，

所以函数的图象关于点对称，即.

因为的图象关于对称，所以，

又函数的图象关于点对称，所以，

所以.