初中数学苏科版八年级上册第一章 全等三角形1.3 探索三角形全等的条件当堂检测题

这是一份初中数学苏科版八年级上册第一章 全等三角形1.3 探索三角形全等的条件当堂检测题，共33页。试卷主要包含了如图，，，要使得，如图，，，，则判定的依据是，如图，在中，，于点D，，已知等内容，欢迎下载使用。

专题1.11 探索三角形全等的条件（HL）（分层练习）
一、 单选题

1．如图，，，要使得．若以“”为依据，需添加的条件是（　 　）  

A． B． C． D．
2．如图，，，，则判定的依据是（    ）

A． B． C． D．无法确定
3．判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（    ）
A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一条直角边对应相等 D．两个锐角对应相等
4．如图，在Rt△ABC的斜边AB上截取AD＝AC，过点D作DE⊥AB交BC于E，则有（    ）

A．DE＝DB B．DE＝CE C．CE＝BE D．CE＝BD
5．如图，在中，，于点D，．如果，那么（　　）

A． B． C． D．

6．如图，在的两边上，分别取，再分别过点、作、的垂线，交点为，画射线．可判定，依据是（    ）

A．ASA B．SAS C．AAS D．HL
7．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，DB＝DC，，，垂足分别为E，F，DE＝DF．

求证：．以下是排乱的证明过程：
①∴∠BED＝∠CFD＝90°，
②∴．
③∵DE⊥AB，DF⊥AC，
④∵在和中，，
证明步骤正确的顺序是（    ）
A．③→②→①→④ B．③→①→④→②
C．①→②→④→③ D．①→④→③→②
8．下列关于两个直角三角形全等的判定，不正确的是（    ）
A．斜边和一锐角分别相等的两个直角三角形全等
B．两条直角边分别相等的两个直角三角形全等
C．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
D．两个面积相等的直角三角形全等
9．在中，，是上的一点，且，过作交于，如果，则等于（    ）

A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm
10．如图，正方形的顶点在直线上，将直线向上平移线段的长得到直线，直线分别交，于点，．若求的周长，则只需知道(    )

A．的长 B．的长 C．的长 D．DF的长

11．如图，要使，下面给出的四组条件，错误的一组是（    ）

A．， B．，
C．， D．，
12．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝12米，AC＝6米，射线BM⊥AB，垂足为点B，动点E从A点出发以2米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过t秒时，由点D、E、B组成的三角形与△BCA全等．请问t有几种情况？（　　）

A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
13．如图，在和中，，，，过A作，垂足为F，过A作，垂足为H，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为12，，则的长是(   )

A．2 B．2.5 C．3 D．
14．如图，在和中，，，，线段BC的延长线交DE于点F，连接AF．若，，，则线段EF的长度为（    ）

A．4 B． C．5 D．
二、 填空题

15．如图，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD，请写出一个正确的结论________．

16．结合如图，用符号语言表达定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的推理形式：

在和中，，
，_______
．
17．如图，已知，是的两条高线，，，则___________度．

18．如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝135°，则∠EDF＝______．

19．如图，，于点，于点，，若，则=____．

20．如图，点D，A，E在直线l上，于点D，于点E，且．若，则________．


21．如图所示，在中，，于点D，交于点E．若，，，，则的周长是___．

22．如图，点D、A、E在直线m上，，于点D，于点E，且，若，，则___________．

23．如图，于点E，于点D，，则的长是________．

24．如图，在中，，，，有下列结论：①；②；③连接DE，则．其中正确的结论有______．
  
25．如图，为内一点，，连接，过点作于点，延长交于点F，，若，则线段的长是___________．


26．如图，在中，，点在边上，过点作，垂足为点，如果，且，那么的度数是________．

27．如图，直线过正方形的顶点，于点，于点．若，，则的长为______________．

28．如图，在中，是高，，，在边上取点，连接，，若，，则的长为 ___________．

29．如图，在和中，，，，，线段的延长线交于点，连接．若，，，，则线段EF的长度为_______．

30．如图，D是内部一点，于E，于F，且，点B是射线上一点，，，在射线上取一点C，使得，则的长为__________．

三、 解答题

31．如图，中，，，为延长线上一点，点在上，且．
(1)求证：；
(2)判断和的位置关系并证明．






32．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是AB上一点，且BE=BC，DE⊥AB于E，若AC=8，求AD+DE的值．







33．如图，四边形中，，，，，与相交于点F．
(1) 求证：
(2) 判断线段与的位置关系，并说明理由．






34．如图，点A，D，B，E在同一直线上，．
(1) 求证：；
(2) ，求的度数．








35．如图，已知AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点E，BH＝EG，AH＝DG，∠C＝∠F．
(1) 求证：△ABH≌△DEG；
(2) 求证：CE＝FB．








36．已知如图，AB=AD，AD⊥DE，AB⊥BC，AC=AE，BC与DE相交于点F，连接CD、EB．
(1) 求证：△ABC≌△ADE；
(2) 图中还有哪几对全等三角形，请你一一列举（无需证明）；
(3) 求证：CF=EF．







参考答案
1．A
【分析】根据“”判断三角形全等的方法进行解答即可．
解：∵，，
∴，
∴和是直角三角形，
∵和有公共直角边，
∴以“”为依据判断，需要使，故A正确．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了用“”为依据判断三角形全等，解题的关键是熟练掌握一条直角边和一条斜边对应相等的两个直角三角形全等．
2．C
【分析】由图可得公共边相等，所以全等的条件是两个直角三角形的斜边直角边相等．
解：，，
在和中，
，
（HL）．
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形全等的判定，解决本题的关键是找到全等的条件．
3．D
【分析】根据直角三角形全等的判定条件逐一判断即可．
解：A、两条直角边对应相等，可以利用SAS证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；
B、斜边和一锐角对应相等，可以利用AAS证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；
C、斜边和一条直角边对应相等，可以利用HL证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；
D、两个锐角对应相等，不可以利用AAA证明两个直角三角形全等，说法错误，符合题意；
故选D．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．
4．B
【分析】由“HL” Rt△ACE≌Rt△ADE，可得DE=CE，即可．
解：如图，连接AE，

∵DE⊥AB，
∴∠ADE=∠C=90°，
在Rt△ACE和Rt△ADE中，
∵AE=AE，AC=AD，
∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），
∴DE=CE．
故选：B
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
5．C
【分析】通过HL判定定理可证Rt∆BDE≅Rt∆BCE，得到ED=EC，即可求解．
解：在和中，，，∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，注意:直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS， SSS，HL，全等三角形的对应边相等.
6．D
【分析】由垂线的定义可知和都是直角三角形，已知条件满足斜边相等和一组直角边相等，因此依据HL判定．
解：由题意可知，和都是直角三角形，
在和中，
，
满足斜边相等和一组直角边相等，
因此，
故选D．
【点拨】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是能够依据HL判定两个直角三角形全等．
7．B
【分析】根据垂直定义得出∠BED=∠CFD=90°，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
解：证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
即选项B正确；选项A、选项C、选项D都错误；
故选：B．
【点拨】本题考查了垂直定义和全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
8．D
【分析】此题需用排除法对每一个选项进行分析从而确定最终答案．
解：A、利用AAS来判定全等，不符合题意；
B、利用SAS来判定全等，不符合题意；
C、利用HL来判定全等，不符合题意；
D、面积相等不一定能推出两直角三角形全等，没有相关判定方法对应，符合题意．
故选：D．
【点拨】此题主要考查对全等三角形的判定方法，常用的判定方法有SSS、SAS、AAS、HL等．
9．A
【分析】利用“”得到，利用全等三角形对应边相等得到，最后根据，等量代换即可确定出的长．
解：∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
故选A．
【点拨】本题考查三角形全等的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定定理及性质定理是解题关键．
10．A
【分析】过作于，连接，，然后利用已知条件可以证明)，)，接着利用全等三角形的性质即可解决问题．
解：过作于，连接，，
直线向上平移线段的长得到直线，
，
而，，
)，
，
同理)，
，
的周长为：．
求的周长，则只需知道的长．
故选：A．

【点拨】本题主要考查了平移的性质和全等三角形的性质和判定，同时也利用了三角形周长的定义，掌握平移的性质以及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
11．D
【分析】根据全等三角形的判定定理逐项判定即可．
解：A、∵，，AB=AB，∴(AAS)，正确，故此选项不符合题意；
B、∵，，AB=AB，∴(SSS)，正确，故此选项不符合题意；
C、∵，，AB=AB，∴(ASA)，正确，故此选项不符合题意；
D、，，AB=AB，两边以及一边对角对应相等，不能判定，故此选项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查全靠等三角形的判定，熟练掌握全靠三角形判定定理：SSS，SAS，ASA，AAS，HL 是解题的关键．
12．D
【分析】首先分两种情况：当E在线段AB上和当E在BN上，然后再分成两种情况：AC＝BE和AB＝EB，分别进行计算，即可得出结果．
解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，
∵AC＝6米，
∴BE＝6米，
∴AE＝12﹣6＝6米，
∴点E的运动时间为6÷2＝3（秒）；
②当E在BN上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，
∵AC＝6米，
∴BE＝6米，
∴AE＝12+6＝18米，
∴点E的运动时间为18÷2＝9（秒）；
③当E在线段AB上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
这时E在A点未动，因此时间为0秒；
④当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
∵AB＝12米，
∴BE＝12米，
∴AE＝12+12＝24米，
∴点E的运动时间为24÷2＝12（秒），
综上所述t的值为：0，3，9，12．共4中情况．
故选D．
【点拨】本题考查了全等三角形的综合问题，解本题的关键在找到所有符合题意的情况．
13．C
【分析】先证明得到，再证明，，得到，设，则根据四边形的面积为12得到即可得到答案．
解：解；∵，，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，
设，则，
∵四边形的面积为12，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选C．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
14．B
【分析】证明，，根据全等三角形对应边相等，得到，，由解得，继而解得，最后由解答．
解：，，，


，，
，









故选：B．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、线段的和差等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
15．BC＝BD
【分析】根据HL证明△ACB和△ADB全等解答即可．
解：在Rt△ACB和Rt△ADB中， ，
∴△ACB≌△ADB（HL），
∴BC＝BD，
故答案为：BC＝BD（答案不唯一）．
【点拨】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL证明△ACB和△ADB全等解答．
16．
【分析】根据判断两个直角三角形全等的条件“HL”即可填空．
解：AC和DF为直角边．再利用“HL”，可知两个直角三角形的斜边相等即可证明这两个三角形全等．
∴填AB=DE．
故答案为：AB=DE．
【点拨】本题考查直角三角形全等的判定条件“HL”，掌握判定直角三角形全等的判定定理是解答本题的关键．
17．40
【分析】由，是的两条高线，得，证明，得，则，．
解：∵，是的两条高线，
∴，，
∴，
在和中，

∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：40．
【点拨】此题重点考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键．
18．45°
【分析】根据HL证明，得，根据得，则，即可得．
解：∵，，
∴，
在和中，

∴（HL），
∴,
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．
19．.
【分析】根据“HL”证明，可得∠BDE＝∠CFD＝40°，由∠EDF＝90°−∠BDE即可得．
解：∵FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，
∴∠BED＝∠FDC＝90°，
∵BE＝CD，BD＝CF，
∴（HL），
∴∠BDE＝∠CFD，
∵∠AFD＝140°，
∴∠DFC＝40°，
∴∠BDE＝40°，
∴∠EDF＝90°−40°＝50°，
故答案为50°．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，
20．8
【分析】用证明得到，则．
解：∵， ，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：8．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知直角三角形全等的判定条件是解题的关键．
21．/厘米
【分析】如图，连接．证明，可得，再利用三角形的周长公式可得答案．
解：如图，连接．

∵，
∴，
∴．
在与中，
，
∴，
∴，
∴的周长
．
故答案是：6cm．
【点拨】本题考查的是直角三角形全等的判定与性质，三角形的周长公式的应用，熟练的证明是解本题的关键．
22．8
【分析】根据垂直得到直角三角形，利用判定证明，即可得到答案．
解：∵，，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：8．
【点拨】本题考查直角三角形判定：一条直角边与斜边对应相等三角形全等．
23．5
【分析】先证明，再根据全等三角形的性质即可得到结论．
解：∵于点E，于点D，
∴，
在与中， ，
∴，
∴  
∴，
故答案为：5．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是证明．
24．①②③
【分析】①根据证明；②由，得到角相等，从而推出；③连接，过点D作，过点D作，根据角平分线的性质，即可判断．
解：∵在与中，，，
∴故①正确；
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴故②正确；
如图，连接，过点D作，过点D作，
  
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∵，，，
∴是的角平分线，
∵，
∴，
∴故③正确；
故答案为：①②③．
【点拨】本题考查几何问题，涉及到角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，灵活运用所学知识是关键．
25．
【分析】作于点，证明，进而证明，得出，根据已知条件设，则，根据建立方程，解方程即可求解．
解：如图所示，作于点，

∴
在中，

∴
∴，
在中，
，
∴
∴，
∵，
∴
设，则
∴，
∵
即
解得：，
∴
故答案为：．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，与三角形高相关的计算，正确的添加辅助线是解题的关键．
26．/36度
【分析】根据证明，可得，，根据求出，进而可求出的度数．
解：，
∴．
在和中
，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，四边形内角和等知识，证明是解答本题的关键．
27．
【分析】利用同角的余角相等，证得，根据垂直定义，得，结合已知，证得，进而证得，，据此可求出，问题得解．
解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
在和中
∵
∴
∴，
∴
故答案为：
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质等知识，正确寻找全等三角形，学会利用同角的余角相等是解本题的关键．
28．
【分析】过点作，交的延长线于，首先证明，再，得，，再根据高相等的两个三角形面积比等于底之比解决问题．
解：如图，过点作，交的延长线于，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵


，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．

【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质以及三角形面积等知识．正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
29．
【分析】证明，，根据全等三角形对应边相等，得到，，由解得，继而解得，最后由解答．
解：，，，


，，
，









故答案为：．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、线段的和差等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
30．6或10/10或6
【分析】分两种情况：①当点C在线段上，证明，可得，证明，可得，则，②当点C在线段的延长线上时，同理可得．
解： ①如图1，当点C在线段上时，连接，

∵于E，于F，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
又∵在和中，，
∴，
∴，
∴；
②如图2，当点C在线段的延长线上时，

同理可得，，
∴．
故答案为：6或10．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握证明全等三角形是关键，分类讨论是解答的关键．
31．(1)证明过程见详解；(2)和的位置关系是垂直，证明过程见详解
【分析】（1）根据直角三角形的全等的条件：斜边直角边即可求证；
（2）延长与线段相交，根据全等，可找出线段与角的关系，由此即可求解．
（1）解：在，中，
∵
∴
（2）解：根据题意，画图如下，

延长交于点，由（1）可知，，，
∴在中，，
∵在中，，
∴，
∵，
∴在中，，
∴是直角三角形，即，
∵点、、在同一条线段上，
∴，
故和的位置关系是垂直．
【点拨】本题主要考查直角三角形的全等及线段的关系，理解三角形全等的条件，合理构造线段关系是解题的关键．
32．AD+DE的值为8．
【分析】连接BD，先根据HL定理得出△BCD≌△BED，故可得出DE=DC，由此可得出结论．
解：连接BD．

∵∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴△BCD与△BED均是直角三角形．
在Rt△BCD与Rt△BED中，，
∴△BCD≌△BED（HL），
∴CD=DE，
∴AD+DE=AD+CD=AC=8．
故AD+DE的值为8．
【点拨】本题考查的是角平分线的性质，熟知根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
33．(1)见分析；(2)，理由见分析
【分析】（1）根据即可证明．
（2）根据得到，结合得到，即可得结论．
（1）解：在和中，
∴．
（2）解：．理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，常用的判定方法有：、、、、等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
34．(1)见分析；(2)
【分析】（1）先说明，再根据即可证明结论；
（2）由（1）可知，再利用平角的性质即可解答．
（1）解：∵，
∴，
∴，
在和中，

∴．
（2）解：∵，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平角的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判断与性质是解题的关键．
35．(1)见分析；(2)见分析．
【分析】（1）由可证明；
（2）证明．得出，则可得出结论．
解：（1）证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，
∴∠DEG＝∠ABH＝90°，
在Rt△ABH和Rt△DEG中，
∵，
∴Rt△ABH≌Rt△DEG（HL）；
（2）∵Rt△ABH≌Rt△DEG（HL），
∴AB＝DE，
在△ABC和△DEF中，
∵，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴BC＝EF，
∴CE＝FB．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定、垂直的定义；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
36．(1)见分析；(2)△ADC≌△ABE，△DFC≌△BFE；(3)见分析
【分析】（1）利用“HL”直接证明即可；
（2）求出∠DAC＝∠BAE，利用SAS可证△ADC≌△ABE，得到CD＝BE，∠ACD＝∠AEB，再求出∠DCF＝∠BEF，利用AAS可证△DFC≌△BFE；
（3）根据全等三角形的性质可直接得出结论．
解：（1）证明：在Rt△ABC和Rt△ADE中，，
∴Rt△ABC≌Rt△ADE（HL）；
（2）图中还有两对全等三角形：△ADC≌△ABE，△DFC≌△BFE；
证明：∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC－∠BAD＝∠DAE－∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAE，
又∵AD＝AB，AC＝AE，
∴△ADC≌△ABE（SAS）；
∴CD＝BE，∠ACD＝∠AEB，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠ACB＝∠AED，
∴∠ACB−∠ACD＝∠AED−∠AEB，
∴∠DCF＝∠BEF，
又∵∠DFC＝∠BFE，
∴△DFC≌△BFE（AAS）；
（3）由（2）可得：△DFC≌△BFE，
∴CF＝EF．
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和对应边相等、对应角相等的性质是解题的关键．