数学北师大版2 矩形的性质与判定精练

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专题1.4 矩形的性质与判定（知识梳理与考点分类讲解）

【知识点1】矩形的定义：有一个内角为90度的平行四边形叫做矩形。
【例1】已知平行四边形，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可．
解：、四边形是平行四边形，
∴，
，
，
平行四边形是矩形，故选项不符合题意；
、四边形是平行四边形，
，
选项B不能判定这个平行四边形为矩形，故选项B符合题意；
、四边形是平行四边形，，
平行四边形是矩形，故选项C不符合题意；
、，
，
平行四边形是矩形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了矩形的判定和平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
【变式】如图，在平行四边形ABCD中，在不添加任何辅助线的情况下，添加以下哪个条件，能使平行四边形ABCD是矩形（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形．
解∵四边形ABCD是平行四边形；且AD⊥AB
∴四边形ABCD是矩形
故选A
【点拨】本题考查矩形的判定，掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形的概念是解题关键．
【知识点2】矩形的性质
从角的角度看：矩形四个内角是直角；
从对角线角度看：矩形的对角线相等；
从对称性角度看：矩形是轴对称图形，也是中心对称图形。
【例2】菱形具有而矩形不一定具有的性质是（    ）
A．对边平行 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角互补
【答案】C
【分析】直接根据菱形与矩形的性质定理求解即可求得答案．注意掌握排除法在选择题中的应用．
【详解】解：∵菱形的性质：对角相等，对边平行且相等，对角线垂直且互相平分；矩形具有的性质：对角相等，对边平行且相等，对角线相等且互相平分，
∴菱形具有而矩形不具有的性质是：对角线互相垂直．
故选C．
【点拨】本题考查了菱形的性质以及矩形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解答此题的关键．
【变式】平行四边形没有而矩形具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．对角相等
【答案】A
【分析】根据平行四边形和矩形的性质进行解答即可．
解：平行四边形和矩形都具有的性质是对角线互相平分，对角相等，平行四边形没有而矩形具有的性质是对角线相等，对角线互相垂直平行四边形和矩形都不具有，故A正确．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了平行四边形和矩形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的矩形的性质．

【知识点3】直角三角形斜边上的中线
性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边一半
【例3】如图中，，，的周长是11，于F，于点E，且点D是的中点，则的长为（　　）
  
A．36 B． C．8 D．7
【答案】B
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，然后代入数据计算即可得解．
解：，，是的中点，
，
，，
点是的中点，
，
，
，
的周长，
，
由勾股定理知．
故选：B．
【点拨】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟记各性质是解题的关键．


【知识点4】矩形的判定
判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形；
判定定理2：有三个内角是直角的四边形是矩形。
【例4】如图，矩形中，，．

(1)利用尺规在边上求作点，使得（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连结，过点作，垂足为，求的长．
【答案】(1)见解析； (2) 1
【分析】（1）利用基本作图，作即可；
（2）先利用矩形的性质得到，，则，然后证明得到，据此即可求解．
解：（1）解：如图，

点为所求作的点；
（2）解：由（1）作图知，，
在矩形中有，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是此类问题的关键．也考查了矩形的性质和全等三角形的判定与性质．
【变式1】如图，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段上（不与点A、B重合），过点P分别作和的垂线，垂足为C、D．
(1) 直接写出A、B两点的坐标．；
(2) 点P在何处时，矩形的面积为1．

【答案】(1)，； (2) 1
【分析】（1）分别令，，即可求解；
（2）设，则，根据矩形的面积为1，可得到关于a的方程，解出即可．
（1）解：当时，；
当时，，
解得：，
∴，；
（2）解：∵点P在一次函数的图像上，
∴可设，则，
∵矩形的面积为1，
∴，
即，
解得，，
∴或，
综上所述，当或时，矩形的面积为1．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质．熟练掌握一次函数图象上所有点的坐标都满足该函数关系式是解题的关键．
【变式2】如图，已知，延长到E，使，连接，，，若．
(1) 求证：四边形是矩形；
(2) 连接，若，，求的长．

【答案】(1)证明见解析； (2)
【分析】（1）证明四边形是平行四边形，根据题意得到，根据矩形的判定定理证明；
（2）根据矩形的性质得到，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算即可．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：如图，

∵，
∴．
∵矩形中，，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．

【题型一】运用矩形的性质进行计算
【例1】如图，在矩形中，点在上，，且，垂足为．
（1）求证：；
（2）若，求四边形的面积．

【答案】（1）见详解；（2）4-8
【分析】（1）由矩形的性质可得∠D=90°，AB∥CD，从而得∠D=∠ANB，∠BAN=∠AMD，进而即可得到结论；
（2）由以及勾股定理得AN=DM=4，AB=，进而即可求解．
（1）证明：∵在矩形中，
∴∠D=90°，AB∥CD，
∴∠BAN=∠AMD，
∵，
∴∠ANB=90°，即：∠D=∠ANB，
又∵，
∴（AAS），
（2）∵，
∴AN=DM=4，
∵，
∴，
∴AB=，
∴矩形的面积=×2=4，
又∵，
∴四边形的面积=4-4-4=4-8．
【点拨】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握AAS证明三角形全等，是解题的关键．
【变式1】如图，矩形中，，．

(1)利用尺规在边上求作点，使得（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连结，过点作，垂足为，求的长．
【答案】(1)见解析； (2) 1
【分析】（1）利用基本作图，作即可；
（2）先利用矩形的性质得到，，则，然后证明得到，据此即可求解．
（1）解：如图，

点为所求作的点；
（2）解：由（1）作图知，，
在矩形中有，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是此类问题的关键．也考查了矩形的性质和全等三角形的判定与性质．
【变式2】如图，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段上（不与点A、B重合），过点P分别作和的垂线，垂足为C、D．
(1) 直接写出A、B两点的坐标．；
(2) 点P在何处时，矩形的面积为1．

【答案】(1)， (2)1
【分析】（1）分别令，，即可求解；
（2）设，则，根据矩形的面积为1，可得到关于a的方程，解出即可．
（1）解：当时，；
当时，，
解得：，
∴，；
（2）解：∵点P在一次函数的图像上，
∴可设，则，
∵矩形的面积为1，
∴，
即，
解得，，
∴或，
综上所述，当或时，矩形的面积为1．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质．熟练掌握一次函数图象上所有点的坐标都满足该函数关系式是解题的关键．
【题型二】运用直角形角形斜边上的中线解决问题
【例2】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
(1) 求证：△AEF≌△DEB；
(2) 证明四边形ADCF是菱形；
(3) 若AC=4，AB=5，求菱形ADCF 的面积．

【答案】(1) 证明详见解析；(2) 证明详见解析；(3) 10．
【分析】（1）利用平行线的性质及中点的定义，可利用AAS证得结论；
（2）由（1）可得AF=BD，结合条件可求得AF=DC，则可证明四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可证得AD=CD，可证得四边形ADCF为菱形；
（3）连接DF，可证得四边形ABDF为平行四边形，则可求得DF的长，利用菱形的面积公式可求得答案．
（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB．
∵AD为BC边上的中线，
∴DB=DC，
∴AF=CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴AD=DC=BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（3）解：连接DF，

∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB=5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴S菱形ADCF=AC▪DF=×4×5=10．
【点拨】本题主要考查菱形的性质及判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，利用全等三角形的性质证得AF=CD是解题的关键，注意菱形面积公式的应用．

【变式】如图，在中，D、E分别为的中点，点F在上，且，若，则的长为（    ）

A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【答案】A
【分析】利用三角形中位线定理得到．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再根据即可解答．
解：∵是的中位线，
∴．
∵，D是的中点，
∴，
∴．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了三角形的中位线定理、直角三角形的性质等知识点掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是，解题的关键．
【题型三】矩形中的折叠问题
【例3】如图，在矩形ABCD中，AB＝15，E是BC上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，且CE＝，
（1）求AD的长；
（2）求FG的长

【答案】（1）AD= 9；（2）FG=7.5
【分析】（1）设CE，则BE，在Rt△CEG和Rt△AGD中，分别求得CG，GD=，再利用CG+GD=CD=15，构造方程求得的值，即可求解；
（1）设，利用，构造方程求得的值，即可求解．
解：（1）∵CE＝，
∴设CE，则BE，
∴BC=AD=CE+ BE，
∵△AGE是由△ABE翻折得到的，
∴GE= BE，AG=AB=15，
在Rt△CEG中，由勾股定理可知：
CG=，
在Rt△AGD中，由勾股定理可知：
GD=，
∵CG+GD=CD=15，
∴，
解得：，
AD；
（2）由（1）知：CG=3，GD=12，
设，
∵△AHF是由△ADF翻折得到的，
∴，
∵，即，
∴，
解得：，即DF，
∴．
【点拨】本题考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
【变式】如图，长方形是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，为原点，点在 轴上，点在轴上，，．在上取一点，使得沿翻折后，点落在轴上，记作点．

(1) 点的坐标是　　．
(2) 求折痕所在直线的解析式．
(3) 在轴上是否能找到一点，使△的面积为？若存在，直接写出点的坐标？若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ； (2) ； (3)存在，或
【分析】（1）由矩形的性质及翻折的性质可得，在中由勾股定理即可求得的长，从而求得点的坐标；
（2）由翻折的性质，在△中由勾股定理建立关于AM的方程，解得AM，则可得点M的坐标，用待定系数法即可求得直线CM的解析式；
（3）由面积条件可求得的长，再根据点P的位置即可确定点P的坐标．
（1）长方形，
，
，            
，
沿翻折，  
，
在△中，，，
，  
，
故答案为：；
（2），，       
，
沿翻折，      
，
∵，
在△中，，
，解得，
，
设所在直线的解析式为，将、代入得：
，解得，，
所在直线的解析式为；
（3）存在，理由如下：
△的面积为，
，
，        
，
，  
当点P在点的右侧时，点P的坐标为(10，0)；当点P在点的左侧时，点P的坐标为(−2，0)；
或．
【点拨】本题是一次函数与矩形的综合，考查了矩形的性质，折叠的性质，待定系数法求一次函数的解析式，三角形面积，勾股定理等知识，掌握折叠的性质是解题的关键．

【题型四】矩形中的最值问题
【例4】如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，且已知AB=8，BC=4
（1）判断△ACF的形状，并说明理由；
（2）求△ACF的面积；
（3）点P为AC上一动点，则PE+PF最小值为 ．

【答案】（1）△ACF是等腰三角形，理由见解析；（2）10；（3）
【分析】（1）根据折叠的性质可得：∠1=∠2，再由矩形的性质，可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，即可求解；
（2）设FD=x，则AF=CF=8-x，再由勾股定理，可得DF=3，从而得到CF=5，即可求解；
（3）连接PB，根据折叠的性质可得△ECP≌△BCP，从而得到PE=PB，进而得到当点F、P、B三点共线时，PE+PF最小，最小值为BF的长，再由勾股定理，即可求解．
（1）解：△ACF是等腰三角形，理由如下：
如图，

由折叠可知，∠1=∠2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AF=CF，
∴△ACF是等腰三角形；
（2）∵四边形ABCD是矩形且AB=8，BC=4，
∴AD=BC=4，CD=AB=8，∠D=90°，
设FD=x，则AF=CF=8-x，
在Rt△AFD中，根据勾股定理得AD2+DF2=AF2，
∴42+x2=（8-x）2，
解得x=3  ，即DF=3，
∴CF=8-3=5，
∴；
（3）如图，连接PB，

根据折叠得：CE=CB，∠ECP=∠BCP，
∵CP=CP，
∴△ECP≌△BCP，
∴PE=PB，
∴PE+PF=PE+PB，
∴当点F、P、B三点共线时，PE+PF最小，最小值为BF的长，
由（2）知：CF=5，
∵BC=4，∠BCF=90°，
∴ ，
即PE+PF最小值为 ．
故答案为：
【点拨】本题主要考查了矩形与折叠问题，等腰三角形的判定，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题的关键．
【变式】如图所示，已知是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，且，在边上选取一点D，将沿翻折，使点A落在边上，记为点E．
(1)求所在直线的解析式；
(2)设点P在x轴上，以点O、E、P为顶点的三角形是等腰三角形，问这样的点P有几个？并求出所有满足条件的点P的坐标；
(3)在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使四边形的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．

【答案】(1)； (2) 有四个；或或或 (3)
【分析】（1）由于，在中，由勾股定理求得的值，再在中，由勾股定理建立关于的方程求解；
（2）分四种情况：在x的正半轴上，时；在x的负半轴上，时；时；时，分别可以求得点P对应的点的坐标；
（3）作点D关于x的对称点，点E关于y轴的对称点，连接，分别交于y轴、x轴于点N、点M，则点M、N是所求得的点，能使四边形的周长最小，最小周长为．
（1）解：由题意知，，
在中，由勾股定理得： ，
∴，
在中，，
即，
解得，
∴，
∴
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：当在x的正半轴上，时，点与点A重合，则点P的坐标为；
当在x的负半轴上，时，则；
当时，作于点H，有，则；

当时，由勾股定理知：，
即
解得：，
即；
∴满足为等腰三角形的点有四个：或或或；
（3）解：作点D关于x的对称点，点E关于y轴的对称点，连接，分别交于y轴、x轴于点N、点M，则点M、N是所求得的点，

在中，
∴四边形的周长．
【点拨】本题主要考查了折叠问题，待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的判定，矩形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
【题型五】与矩形有关的探究题
【例5】将矩形如图放置在平面直角坐标系中，若，，点D为上一点，将矩形沿折叠使得点C恰好落在边上的点E处．
  
(1)求点D的坐标；
(2)将线段沿射线平移，使得点E恰好与点O重合，若此时点D的对应点为F，则四边形是什么四边形？请证明，并求出点F的坐标．
【答案】(1) ； (2) 四边形是矩形，证明见解析，
【分析】（1）设，则，，先在中，根据勾股定理求出的长，再在中，根据勾股定理列方程求解得出的长，即可求解；
（2）由平移性质和折叠性质即可证明四边形是矩形；过F作轴于G，根据两角互余得出，从而可证，得出，，从而得到点的坐标．
解：（1）设，则，，
∵，，
∴中，，
∴，
∵中，，
∴，
解得，
∴，
又∵，
∴；
（2）四边形是矩形．
证明：由平移性质可知，，
∴四边形是平行四边形，
由折叠可得，
∴四边形是矩形，
如图所示，过F作轴于G，则，
  
∵，
∴，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴．
【点拨】本题考查了矩形与平面直角坐标系的综合，熟练掌握矩形的性质与判定，折叠的性质，平移的性质，勾股定理和全等三角形的性质与判定是解题的关键．
【变式】实践与探究

【操作一】如图①，已知矩形纸片，点E和点F分别是和上的点，将矩形沿EF折叠，使点B与点D重合，点C的对应点是点．求证：
【操作二】在操作一的基础上， 将矩形纸片沿DF继续折叠，点A的对应点是点．我们发现，当矩形的邻边长度比值不同时，点的位置也不同．如图（2），当点恰好落在折痕EF上时，______．
【拓展】如图（3），在【操作二】中点恰好落在折痕EF上时，点N为上任意一点，连接EN、．若，则的最小值为______．
【答案】【操作一】见解析；【操作二】；【操作三】
【分析】操作一：（方法一）根据矩形的性质得出，，由折叠得，，，
进而得出，即可得出结论；（方法二）根据矩形的性质得出，，由折叠得，，，再证明，根据平行线的性质得出，即可得出结论；
操作二：由折叠得，，，，
根据平行线的性质得出，进而得出，设，则，，即可得出，求出，即可得出答案；
操作三：根据【操作二】可得：是的垂直平分线，得出，进而得出，推出当、、共线时，最小，即为，再根据勾股定理求解即可．
解：（方法一）∵四边形是矩形，
∴，，
由折叠得，，，
∵，，
∴，
∴．
（方法二）∵四边形是矩形，
∴，，
由折叠得，，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【操作二】解：由折叠得，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∴；
【操作三】解：根据【操作二】可得：是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴当、、共线时，最小，即为
∵，
∴，，
∴，，
∴．
【点拨】本题考查矩形与折叠，勾股定理，垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，掌握理解题意是解题的关键．