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初中数学2 矩形的性质与判定习题
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这是一份初中数学2 矩形的性质与判定习题，共36页。
专题1.6 矩形的性质与判定（直通中考）
【要点回顾】
1：矩形的性质：（1）从角的角度看：矩形四个内角是直角；（2）从对角线角度看：矩形的对角线相等；
（3）从对称性角度看：矩形是轴对称图形，也是中心对称图形。
2.直角三角形斜边上的中线：性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边一半
3.矩形的判定：判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形；判定定理2：有三个内角是直角的四边形是矩形。
一、单选题
1．（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图，在中，，的平分线交于点，为的中点，若，则的长是（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
2．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（ ）
A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形 B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形
C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形
3．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图所示，将一矩形纸片沿AB折叠，已知，则（ ）
A．48° B．66° C．72° D．78°
4．（2022·山东济南·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若BF＝3，AE＝5，以下结论错误的是（ ）
A．AF＝CF B．∠FAC＝∠EAC C．AB＝4 D．AC＝2AB
5．（2022·湖南湘西·统考中考真题）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为（ ）
A．4 B．4 C．8 D．8
6．（2022·湖北恩施·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（ ）
A．当时，四边形ABMP为矩形
B．当时，四边形CDPM为平行四边形
C．当时，
D．当时，或6s
7．（2022·湖南永州·统考中考真题）如图，在中，，，点为边的中点，，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．4
8．（2022·贵州黔西·统考中考真题）在如图所示的纸片中，，D是斜边AB的中点，把纸片沿着CD折叠，点B到点E的位置，连接AE．若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·湖北恩施·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，连接BD，分别以B、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD、BC交于点M、N，连接BM、DN．若，．则四边形MBND的周长为（ ）
A． B．5 C．10 D．20
10．（2022·浙江宁波·统考中考真题）如图，在中，D为斜边的中点，E为上一点，F为中点．若，，则的长为（ ）
A． B．3 C． D．4
二、填空题
11．（2022·青海·统考中考真题）如图矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F，AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为_____．
12．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝________．
13．（2022·江苏镇江·统考中考真题）如图，在和中，，、、分别为、、的中点，若，则_________．
14．（2022·广西梧州·统考中考真题）如图，在中，，点D，E分别是边上的中点，连接．如果，，那么的长是_______m．
15．（2022·广西贺州·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，，E，F分别是AD，AB的中点，的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则的周长最小值为__________．
16．（2022·河南·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______．
17．（2022·山东潍坊·中考真题）小莹按照如图所示的步骤折叠A4纸，折完后，发现折痕AB′与A4纸的长边AB恰好重合，那么A4纸的长AB与宽AD的比值为___________．
18．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在中，，，，点，分别在，上，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在上，连接，若，则的长为_________．
19．（2022·黑龙江·统考中考真题）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，AH是的平分线，于点E，点P是直线AB上的一个动点，则的最小值是________．
20．（2022·辽宁抚顺·统考中考真题）如图，在中，，点P为斜边上的一个动点（点P不与点A．B重合），过点P作，垂足分别为点D和点E，连接交于点Q，连接，当为直角三角形时，的长是_____________
三、解答题
21．（2022·四川巴中·统考中考真题）如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG=CE，连接DG、DE、FG．
(1) 求证：△ABE≌△FCE；
(2) 若AD=2AB，求证：四边形DEFG是矩形．
22．（2022·山西·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．
(1) 实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母），
(2) 猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明．
23．（2022·西藏·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=BC，点F在BC边的延长线上，点P是线段BC上一点（与点B，C不重合），连接AP并延长，过点C作CG⊥AP，垂足为E．
(1) 若CG为∠DCF的平分线．请判断BP与CP的数量关系，并证明；
(2) 若AB=3，△ABP≌△CEP，求BP的长．
24．（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE=EF=FD，∠BAF=∠DCE=90°．
(1)求证：△ABF≌△CDE；
(2)连接AE，CF，已知__________（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．
条件①：∠ABD=30°；
条件2：AB=BC．
（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）
25． （2022·海南·统考中考真题）如图1，矩形中，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E．
(1)当点P是的中点时，求证：；
(2)将沿直线折叠得到，点落在矩形的内部，延长交直线于点F．
①证明，并求出在（1）条件下的值；
②连接，求周长的最小值；
③如图2，交于点H，点G是的中点，当时，请判断与的数量关系，并说明理由．
26．（2022·吉林长春·统考中考真题）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在上，点B的对应点为点E，折痕为；再沿过点F的直线折叠，使点C落在上，点C的对应点为点H，折痕为；然后连结，沿所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想．
【问题解决】
(1)小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：
证明：四边形是矩形，
∴．
由折叠可知，，．
∴．
∴．
请你补全余下的证明过程．
【结论应用】
(2)的度数为________度，的值为_________；
(3)在图①的条件下，点P在线段上，且，点Q在线段上，连结、，如图②，设，则的最小值为_________．（用含a的代数式表示）
参考答案
1．C
【分析】利用等腰三角形三线合一以及直角三角形斜边上的中线进行求解即可．
【详解】∵，平分，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
故选C．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线．熟练掌握等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
2．D
【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∵OA=OD，
∴AC=BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键．
3．C
【分析】由折叠及矩形的性质可得，再根据平行线的性质求出，根据周角的定义求解即可．
【详解】∵将一矩形纸片沿AB折叠，
∴，
，
，
，
，
故选：C．
【点拨】本题考查了矩形的性质，折叠的性质及平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
4．D
【分析】根据作图过程可得，是的垂直平分线，再由矩形的性质可以证明，可得再根据勾股定理可得AB的长，即可判定得出结论．
【详解】解：A，根据作图过程可得，是的垂直平分线，
故此选项不符合题意．
B，如图，
由矩形的性质可以证明，
∵是的垂直平分线，
故此选项不符合题意．
C，
在中
故此选项不符合题意．
D，
故此选项符合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质、矩形的性质、勾股定理，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
5．C
【分析】在Rt△BDH中先求得BD的长，根据菱形面积公式求得AC长，再根据勾股定理求得CD长．
【详解】∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，OC＝OA＝，AC⊥BD，
∴OH＝OB＝OD＝（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），
∴OD＝4，BD＝8，
由得，
＝32，
∴AC＝8，
∴OC＝＝4，
∴CD＝＝8，
故答案为：C．
【点拨】本题考查了菱形性质，直角三角形性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是先求得BD的长．
6．D
【分析】计算AP和BM的长，得到AP≠BM，判断选项A；计算PD和CM的长，得到PD≠CM，判断选项B；按PM=CD，且PM与CD不平行，或PM=CD，且PM∥CD分类讨论判断选项C和D．
【详解】解：由题意得PD=t，AP=AD-PD=10-t，BM=t，CM=8-t，∠A=∠B=90°，
A、当时，AP=10-t=6 cm，BM=4 cm，AP≠BM，则四边形ABMP不是矩形，该选项不符合题意；
B、当时，PD=5 cm，CM=8-5=3 cm，PD≠CM，则四边形CDPM不是平行四边形，该选项不符合题意；
作CE⊥AD于点E，则∠CEA=∠A=∠B=90°，
∴四边形ABCE是矩形，
∴BC=AE=8 cm，
∴DE=2 cm，
当PM=CD，且PM与CD不平行时，作MF⊥AD于点F，CE⊥AD于点E，
∴四边形CEFM是矩形，
∴FM=CE；
∴Rt△PFM≌Rt△DEC（HL），
∴PF=DE=2，EF=CM=8-t，
∴AP=10-4-(8-t)=10-t，
解得t=6 s；
当PM=CD，且PM∥CD时，
∴四边形CDPM是平行四边形，
∴DP=CM，
∴t=8-t，
解得t=4 s；
综上，当PM=CD时，t=4s或6s；选项C不符合题意；选项D符合题意；
故选：D．
【点拨】此题重点考查矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，应注意分类讨论，求出所有符合条件的t的值．
7．C
【分析】根据三角形内角和定理可得∠A=30°，由直角三角形斜边上的中线的性质得出AC=2BD=4，再利用含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵∠ABC=90°，∠C=60°，
∴∠A=30°，
∵点D为边AC的中点，BD=2
∴AC=2BD=4，
∴BC=，
故选：C．
【点拨】题目主要考查三角形内角和定理及直角三角形斜边上中线的性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
8．B
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知CD=BD=AD，根据折叠的性质可知∠B=∠DCB=∠DCE=∠EDC=，根据平行线的性质，可得出∠AED=∠EDC，根据等边对等角即可求得∠EAD的度数，最后=∠EAD-∠CAD即可求出．
【详解】∵D是斜边AB的中点，△ABC为直角三角形，
∴CD=BD=AD，
∵△CDE由△CDB沿CD折叠得到，
∴△CDE≌△CDB，
则CD=BD=AD=ED，
∴∠B=∠DCB=∠DCE=∠DEC=，
∴∠EDC=180°-2，
∵，
∴∠AED=∠EDC=180°-2，
∵ED=AD，
∴∠EAD=∠AED=180°-2，
∵∠B=，△ABC为直角三角形，
∴∠CAD=90°-，
∴=∠EAD-∠CAD=180°-2-（90°-）=90°-，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，折叠的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形两个锐角互余，熟练地掌握相关知识是解题的关键．
9．C
【分析】先根据矩形的性质可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，根据平行线的判定可得，然后根据菱形的判定可得四边形是菱形，设，则，在中，利用勾股定理可得的值，最后根据菱形的周长公式即可得．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，
由作图过程可知，垂直平分，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形，
设，则，
在中，，即，
解得，
则四边形的周长为，
故选：C．
【点拨】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键．
10．D
【分析】根据三角形中位线可以求得AE的长，再根据AE＝AD，可以得到AD的长，然后根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，可以求得BD的长．
【详解】解：∵D为斜边AC的中点，F为CE中点，DF＝2，
∴AE＝2DF＝4，
∵AE＝AD，
∴AD＝4，
在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，
∴BD＝AC＝AD＝4，
故选：D．
【点拨】本题考查直角三角线斜边上的中线和斜边的关系、三角形的中位线，解答本题的关键是求出AD的长．
11．6．
【分析】首先结合矩形的性质证明△AOE≌△COF，得△AOE、△COF的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为△BCD的面积．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，∠AEO＝∠CFO；
又∵∠AOE＝∠COF，
在△AOE和△COF中，
∵，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴S△AOE＝S△COF，
∴S阴影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△BCD；
∵S△BCD＝BC•CD＝6，
∴S阴影＝6．
故答案为6．
【点拨】本题主要考查矩形的性质，三角形全等的判定和性质定理，掌握三角形的判定和性质定理，是解题的关键．
12．/
【分析】由折叠性质可得CF=BC=5，BE=EF，由矩形性质有CD=AB=3，BC=AD=5，勾股定理求得DF，AF．设BE=EF=x，则AE=AB-BE，在直角三角形AEF中，根据勾股定理，建立方程，解方程即可求解．
【详解】解：由折叠性质可得CF=BC=5，BE=EF，
由矩形性质有CD=AB=3，BC=AD=5，
∵∠D=90°，
∴，
所以，
所以 BE=EF=x，则AE=AB-BE=3-x，在直角三角形AEF中:
，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了图形折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，在直角三角形AEF中运用勾股定理建立方程求解是关键．
13．1
【分析】由直角三角形斜边中线的性质得出AB=2DE，再由三角形中位线的性质可得FG的长；
【详解】解：∵Rt△ABC中，点E是AB的中点，DE=1，
∴AB=2DE=2，
∵点F、G分别是AC、BC中点，
∴，
故答案为：1
【点拨】本题考查了直角三角形的性质及三角形中位线的性质等知识；熟练掌握中位线定理是解题的关键．
14．4
【分析】由D、E分别是AB和AC的中点得到DE是△ABC的中位线，进而得到，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，由此即可求出．
【详解】解：∵D、E分别是AB和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，
∵，
∴由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：，
∴，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了三角形的中位线定理及直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，属于基础题，熟练掌握中位线定理是解决本题的关键．
15．/
【分析】在CD上取点H，使DH=DE，连接EH，PH，过点F作FK⊥CD于点K，可得DG垂直平分EH，从而得到当点F、P、H三点共线时，的周长最小，最小值为FH+EF，再分别求出EF和FH，即可求解．
【详解】解：如图，在CD上取点H，使DH=DE，连接EH，PH，过点F作FK⊥CD于点K，
在矩形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，
∴△DEH为等腰直角三角形，
∵DG平分∠ADC，
∴DG垂直平分EH，
∴PE=PH，
∴的周长等于PE+PF+EF=PH+PF+EF≥FH+EF，
∴当点F、P、H三点共线时，的周长最小，最小值为FH+EF，
∵E，F分别是AD，AB的中点，
∴AE=DE=DH=3，AF=4，
∴EF=5，
∵FK⊥CD，
∴∠DKF=∠A=∠ADC=90°，
∴四边形ADKF为矩形，
∴DK=AF=4，FK=AD=6，
∴HK=1，
∴，
∴FH+EF=，即的周长最小为．
故答案为：
【点拨】本题主要考查了最短距离问题，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，明确题意，准确得到当点F、P、H三点共线时，的周长最小，最小值为FH+EF是解题的关键．
16．或/或
【分析】连接，根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，分点在线段上和的延长线上，且，勾股定理求得即可．
【详解】如图，连接，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，
，，
，
根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，点在上，且，
，
如图，在中，，
在中，
故答案为：或．
【点拨】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，确定点的位置是解题的关键．
17．
【分析】判定△AB′D′是等腰直角三角形，即可得出AB′=AD，再根据AB′= AB，再计算即可得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=∠DAB=90°，
由操作一可知：∠DAB′=∠D′AB′=45°，∠AD′B′=∠D=90°，AD=AD′，
∴△AB′D′是等腰直角三角形，
∴AD=AD′= B′D′，
由勾股定理得AB′=AD，
又由操作二可知：AB′=AB，
∴AD=AB，
∴=，
∴A4纸的长AB与宽AD的比值为．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质以及折叠变换的运用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．7.5
【分析】在中，利用勾股定理求出的长，然后根据得出，再根据折叠的性质可得．根据求得的长．
【详解】解：在中，
，
，，
．
，
，
，
．
．
．
．
将沿直线翻折，点的对应点恰好落在上，
．
．
故答案为：7.5．
【点拨】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键是在直角三角形中根据通过推理论证得到是斜边上的中线．
19．/
【分析】作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF，利用菱形的性质与直角三角形的性质，勾股定理，求出OF，OE长，再证明△EOF是直角三角形，然后由勾股定理求出EF长即可．
【详解】解：如图，作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF的长，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AD=AB=3，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=3，∠BAO=30°，
∴OB==，
∴OA=，
∴点O关于AB的对称点F，
∴OF⊥AB，OG=FG，
∴OF=2OG=OA=，∠AOG=60°，
∵CE⊥AH于E，OA=OC，
∴OE=OC=OA=，
∴∠AEC=∠CAE，
∵AH平分∠BAC，
∴∠CAE=15°，
∴∠AEO=∠CAE=15°，
∴∠COE=∠AEO+∠CAE=30°，
∴∠COE+∠AOG=30°+60°=90°，
∴∠FOE=90°，
∴由勾股定理，得EF=,
∴PO+PE最小值=．
故答案为：．
【点拨】本题考查菱形的性质，利用轴对称求最短距离问题，直角三角形的性质，勾股定理，作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，则PO+PE最小，最小值=EF的长是解题的关键．
20．3或
【分析】根据题意，由为直角三角形，可进行分类讨论：①当；②当两种情况进行分析，然后进行计算，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∵当为直角三角形时，可分情况进行讨论
①当时，如图：
则，
∴，
∴，
∴；
在直角△ACP中，由勾股定理，则
；
②当时，如图
∵，，
∴四边形CDPE是矩形，
∴CQ=PQ，
∵AQ⊥CP，
∴△ACP是等腰三角形，即AP=AC=
综合上述，的长是3或；
故答案为：3或；
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，30度直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，运用分类讨论的思想进行解题．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由平行四边形的性质推出∠EAB=∠CFE，利用AAS即可判定△ABE≌△FCE；
（2）先证明四边形DEFG是平行四边形，
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，再证明DF=EG，即可证明四边形DEFG是矩形．
∴ABCD，
∴∠EAB=∠CFE，
又∵E为BC的中点，
∴EC=EB，
∴在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE(AAS)；
（2）证明：∵△ABE≌△FCE，
∴AB=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，
∴DC=CF，
又∵CE=CG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∵E为BC的中点，CE=CG，
∴BC=EG，
又∵AD=BC=EG=2AB，DF=CD+CF=2CD=2AB，
∴DF=EG，
∴平行四边形DEFG是矩形．
【点拨】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE≌△FCE是解题的关键．
22．(1)作图见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据垂直平分线的尺规作图的画法，分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，交于两点，过两点作直线即可得到线段AC的垂直平分线．
（2）利用矩形及垂直平分线的性质，可以证得，根据全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，
（2）解：．证明如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴．
∴．
∵EF为AC的垂直平分线，
∴．
∴．
∴．
【点拨】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图的画法、矩形的性质、全等三角形的判定和性质．
23．(1)BP=PC，证明见解析
(2)BP=．
【分析】（1）由角平分线的性质和直角三角形的性质可求∠BAP=∠APB=45°，可得AB=BP，即可得结论；
（2）由全等得到AP=PC,在△ABP中应用勾股定理可求解．
【详解】（1）解：BP=CP，理由如下：
∵CG为∠DCF的平分线，
∴∠DCG=∠FCG=45°，
∴∠PCE=45°，
∵CG⊥AP，
∴∠E=∠B=90°，
∴∠CPE=45°=∠APB，
∴∠BAP=∠APB=45°，
∴AB=BP，
∵AB=BC，
∴BC=2AB，
∴BP=PC；
（2）解：∵△ABP≌△CEP，
∴AP=CP，
∵AB=3，
∵BC=2AB=6，
∵，
∴，
∴BP=．
【点拨】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
24．(1)证明见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用AAS即可证明△ABF≌△CDE；
（2）若选择条件①：先证明四边形AECF是平行四边形，利用直角三角形斜边上的中线性质以及含30度角的直角三角形的性质证得AE=AF，即可证明平行四边形AECF是菱形．
若选择条件②：先证明四边形AECF是平行四边形，得到AO=CO，再根据等腰三角形的性质即可证明平行四边形AECF是菱形．
【详解】（1）证明：∵BE=FD，
∴BE+EF=FD+EF，
即BF=DE，
∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠CDE，
又∵∠BAF=∠DCE=90°，
∴△ABF≌△CDE(AAS)；
（2）解：若选择条件①：
四边形AECF是菱形，
由（1）得，△ABF≌△CDE，
∴AF=CE，∠AFB=∠CED，
∴AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠BAF=90°，BE=EF，
∴AE=BF，
∵∠BAF=90°，∠ABD=30°，
∴AF=BF，
∴AE=AF，
∴平行四边形AECF是菱形．
若选择条件②：
四边形AECF是菱形，
连接AC交BD于点O，
由（1）得，△ABF≌△CDE，
∴AF=CE，∠AFB=∠CED，
∴AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AO=CO，
∵AB=BC，
∴BO⊥AC，
即EF⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，菱形的判定，平行四边形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
25．(1)见解析
(2)①见解析；；②12,；③，见解析
【分析】（1）根据矩形的性质得到，再结合P是的中点证明；
（2）①设，在中，表示出三角形的其他两边，再由勾股定理列方程计算即可；
②当点恰好位于对角线上时，最小，利用勾股定理计算即可；
③过点作，交于点M，证明，再由即可得到．
【详解】（1）解：如图，在矩形中，，
即，
∴．
∵点P是的中点，
∴．
∴．
（2）①证明：如图，在矩形中，，
∴．
由折叠可知，
∴．
∴．
在矩形中，，
∵点P是的中点，
∴．
由折叠可知，．
设，则．
∴．
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
即．
②解：如图，由折叠可知，．
∴．
由两点之间线段最短可知，
当点恰好位于对角线上时，最小．
连接，在中，，
∴，
∴，
∴．
③解：与的数量关系是．
理由是：如图，由折叠可知．
过点作，交于点M，
∵，
∴，
∴．
∴，
∴点H是中点．
∵，即，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵点G为中点，点H是中点，
∴．
∴．
∴．
∴．
【点拨】此题考查了矩形的性质、折叠问题、勾股定理、全等三角形的判定、等腰三角形的性质，关键是作出辅助线，根据等腰三角形的性质证明．
26．(1)见解析
(2)22.5°，
(3)
【分析】（1）根据折叠的性质可得AD=AF，，由HL可证明结论；
（2）根据折叠的性质可得 证明是等腰直角三角形，可求出GF的长，从而可得结论 ；
（3）根据题意可知点F与点D关于AG对称，连接PD，则PD为PQ+FQ的最小值，过点P作PR⊥AD，求出PR=AR=，求出DR，根据勾腰定理可得结论．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
∴．
由折叠可知，，．
∴．
∴．
由折叠得，，
∴
∴
又AD=AF，AG=AG
∴
（2）由折叠得，∠
又∠
∴∠
由得，∠
∠
又∠
∴∠
∴∠
∴
设则
∴
∴
∴
（3）如图，连接
∵
∴AG是FD的垂直平分线，即点F与点D关于AG轴对称，
连接PD交AG于点Q，则PQ+FQ的最小值为PD的长；
过点P作交AD于点R，
∵∠
∴∠
∴
又
∴
∴
在中，
∴
∴的最小值为
【点拨】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，最短路径问题，矩形的性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．
专题1.6 矩形的性质与判定（直通中考）
【要点回顾】
1：矩形的性质：（1）从角的角度看：矩形四个内角是直角；（2）从对角线角度看：矩形的对角线相等；
（3）从对称性角度看：矩形是轴对称图形，也是中心对称图形。
2.直角三角形斜边上的中线：性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边一半
3.矩形的判定：判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形；判定定理2：有三个内角是直角的四边形是矩形。
一、单选题
1．（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图，在中，，的平分线交于点，为的中点，若，则的长是（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
2．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（ ）
A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形 B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形
C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形
3．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图所示，将一矩形纸片沿AB折叠，已知，则（ ）
A．48° B．66° C．72° D．78°
4．（2022·山东济南·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若BF＝3，AE＝5，以下结论错误的是（ ）
A．AF＝CF B．∠FAC＝∠EAC C．AB＝4 D．AC＝2AB
5．（2022·湖南湘西·统考中考真题）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为（ ）
A．4 B．4 C．8 D．8
6．（2022·湖北恩施·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（ ）
A．当时，四边形ABMP为矩形
B．当时，四边形CDPM为平行四边形
C．当时，
D．当时，或6s
7．（2022·湖南永州·统考中考真题）如图，在中，，，点为边的中点，，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．4
8．（2022·贵州黔西·统考中考真题）在如图所示的纸片中，，D是斜边AB的中点，把纸片沿着CD折叠，点B到点E的位置，连接AE．若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·湖北恩施·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，连接BD，分别以B、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD、BC交于点M、N，连接BM、DN．若，．则四边形MBND的周长为（ ）
A． B．5 C．10 D．20
10．（2022·浙江宁波·统考中考真题）如图，在中，D为斜边的中点，E为上一点，F为中点．若，，则的长为（ ）
A． B．3 C． D．4
二、填空题
11．（2022·青海·统考中考真题）如图矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F，AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为_____．
12．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝________．
13．（2022·江苏镇江·统考中考真题）如图，在和中，，、、分别为、、的中点，若，则_________．
14．（2022·广西梧州·统考中考真题）如图，在中，，点D，E分别是边上的中点，连接．如果，，那么的长是_______m．
15．（2022·广西贺州·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，，E，F分别是AD，AB的中点，的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则的周长最小值为__________．
16．（2022·河南·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______．
17．（2022·山东潍坊·中考真题）小莹按照如图所示的步骤折叠A4纸，折完后，发现折痕AB′与A4纸的长边AB恰好重合，那么A4纸的长AB与宽AD的比值为___________．
18．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在中，，，，点，分别在，上，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在上，连接，若，则的长为_________．
19．（2022·黑龙江·统考中考真题）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，AH是的平分线，于点E，点P是直线AB上的一个动点，则的最小值是________．
20．（2022·辽宁抚顺·统考中考真题）如图，在中，，点P为斜边上的一个动点（点P不与点A．B重合），过点P作，垂足分别为点D和点E，连接交于点Q，连接，当为直角三角形时，的长是_____________
三、解答题
21．（2022·四川巴中·统考中考真题）如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG=CE，连接DG、DE、FG．
(1) 求证：△ABE≌△FCE；
(2) 若AD=2AB，求证：四边形DEFG是矩形．
22．（2022·山西·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．
(1) 实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母），
(2) 猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明．
23．（2022·西藏·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=BC，点F在BC边的延长线上，点P是线段BC上一点（与点B，C不重合），连接AP并延长，过点C作CG⊥AP，垂足为E．
(1) 若CG为∠DCF的平分线．请判断BP与CP的数量关系，并证明；
(2) 若AB=3，△ABP≌△CEP，求BP的长．
24．（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE=EF=FD，∠BAF=∠DCE=90°．
(1)求证：△ABF≌△CDE；
(2)连接AE，CF，已知__________（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．
条件①：∠ABD=30°；
条件2：AB=BC．
（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）
25． （2022·海南·统考中考真题）如图1，矩形中，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E．
(1)当点P是的中点时，求证：；
(2)将沿直线折叠得到，点落在矩形的内部，延长交直线于点F．
①证明，并求出在（1）条件下的值；
②连接，求周长的最小值；
③如图2，交于点H，点G是的中点，当时，请判断与的数量关系，并说明理由．
26．（2022·吉林长春·统考中考真题）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在上，点B的对应点为点E，折痕为；再沿过点F的直线折叠，使点C落在上，点C的对应点为点H，折痕为；然后连结，沿所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想．
【问题解决】
(1)小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：
证明：四边形是矩形，
∴．
由折叠可知，，．
∴．
∴．
请你补全余下的证明过程．
【结论应用】
(2)的度数为________度，的值为_________；
(3)在图①的条件下，点P在线段上，且，点Q在线段上，连结、，如图②，设，则的最小值为_________．（用含a的代数式表示）
参考答案
1．C
【分析】利用等腰三角形三线合一以及直角三角形斜边上的中线进行求解即可．
【详解】∵，平分，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
故选C．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线．熟练掌握等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
2．D
【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∵OA=OD，
∴AC=BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键．
3．C
【分析】由折叠及矩形的性质可得，再根据平行线的性质求出，根据周角的定义求解即可．
【详解】∵将一矩形纸片沿AB折叠，
∴，
，
，
，
，
故选：C．
【点拨】本题考查了矩形的性质，折叠的性质及平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
4．D
【分析】根据作图过程可得，是的垂直平分线，再由矩形的性质可以证明，可得再根据勾股定理可得AB的长，即可判定得出结论．
【详解】解：A，根据作图过程可得，是的垂直平分线，
故此选项不符合题意．
B，如图，
由矩形的性质可以证明，
∵是的垂直平分线，
故此选项不符合题意．
C，
在中
故此选项不符合题意．
D，
故此选项符合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质、矩形的性质、勾股定理，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
5．C
【分析】在Rt△BDH中先求得BD的长，根据菱形面积公式求得AC长，再根据勾股定理求得CD长．
【详解】∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，OC＝OA＝，AC⊥BD，
∴OH＝OB＝OD＝（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），
∴OD＝4，BD＝8，
由得，
＝32，
∴AC＝8，
∴OC＝＝4，
∴CD＝＝8，
故答案为：C．
【点拨】本题考查了菱形性质，直角三角形性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是先求得BD的长．
6．D
【分析】计算AP和BM的长，得到AP≠BM，判断选项A；计算PD和CM的长，得到PD≠CM，判断选项B；按PM=CD，且PM与CD不平行，或PM=CD，且PM∥CD分类讨论判断选项C和D．
【详解】解：由题意得PD=t，AP=AD-PD=10-t，BM=t，CM=8-t，∠A=∠B=90°，
A、当时，AP=10-t=6 cm，BM=4 cm，AP≠BM，则四边形ABMP不是矩形，该选项不符合题意；
B、当时，PD=5 cm，CM=8-5=3 cm，PD≠CM，则四边形CDPM不是平行四边形，该选项不符合题意；
作CE⊥AD于点E，则∠CEA=∠A=∠B=90°，
∴四边形ABCE是矩形，
∴BC=AE=8 cm，
∴DE=2 cm，
当PM=CD，且PM与CD不平行时，作MF⊥AD于点F，CE⊥AD于点E，
∴四边形CEFM是矩形，
∴FM=CE；
∴Rt△PFM≌Rt△DEC（HL），
∴PF=DE=2，EF=CM=8-t，
∴AP=10-4-(8-t)=10-t，
解得t=6 s；
当PM=CD，且PM∥CD时，
∴四边形CDPM是平行四边形，
∴DP=CM，
∴t=8-t，
解得t=4 s；
综上，当PM=CD时，t=4s或6s；选项C不符合题意；选项D符合题意；
故选：D．
【点拨】此题重点考查矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，应注意分类讨论，求出所有符合条件的t的值．
7．C
【分析】根据三角形内角和定理可得∠A=30°，由直角三角形斜边上的中线的性质得出AC=2BD=4，再利用含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵∠ABC=90°，∠C=60°，
∴∠A=30°，
∵点D为边AC的中点，BD=2
∴AC=2BD=4，
∴BC=，
故选：C．
【点拨】题目主要考查三角形内角和定理及直角三角形斜边上中线的性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
8．B
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知CD=BD=AD，根据折叠的性质可知∠B=∠DCB=∠DCE=∠EDC=，根据平行线的性质，可得出∠AED=∠EDC，根据等边对等角即可求得∠EAD的度数，最后=∠EAD-∠CAD即可求出．
【详解】∵D是斜边AB的中点，△ABC为直角三角形，
∴CD=BD=AD，
∵△CDE由△CDB沿CD折叠得到，
∴△CDE≌△CDB，
则CD=BD=AD=ED，
∴∠B=∠DCB=∠DCE=∠DEC=，
∴∠EDC=180°-2，
∵，
∴∠AED=∠EDC=180°-2，
∵ED=AD，
∴∠EAD=∠AED=180°-2，
∵∠B=，△ABC为直角三角形，
∴∠CAD=90°-，
∴=∠EAD-∠CAD=180°-2-（90°-）=90°-，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，折叠的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形两个锐角互余，熟练地掌握相关知识是解题的关键．
9．C
【分析】先根据矩形的性质可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，根据平行线的判定可得，然后根据菱形的判定可得四边形是菱形，设，则，在中，利用勾股定理可得的值，最后根据菱形的周长公式即可得．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，
由作图过程可知，垂直平分，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形，
设，则，
在中，，即，
解得，
则四边形的周长为，
故选：C．
【点拨】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键．
10．D
【分析】根据三角形中位线可以求得AE的长，再根据AE＝AD，可以得到AD的长，然后根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，可以求得BD的长．
【详解】解：∵D为斜边AC的中点，F为CE中点，DF＝2，
∴AE＝2DF＝4，
∵AE＝AD，
∴AD＝4，
在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，
∴BD＝AC＝AD＝4，
故选：D．
【点拨】本题考查直角三角线斜边上的中线和斜边的关系、三角形的中位线，解答本题的关键是求出AD的长．
11．6．
【分析】首先结合矩形的性质证明△AOE≌△COF，得△AOE、△COF的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为△BCD的面积．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，∠AEO＝∠CFO；
又∵∠AOE＝∠COF，
在△AOE和△COF中，
∵，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴S△AOE＝S△COF，
∴S阴影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△BCD；
∵S△BCD＝BC•CD＝6，
∴S阴影＝6．
故答案为6．
【点拨】本题主要考查矩形的性质，三角形全等的判定和性质定理，掌握三角形的判定和性质定理，是解题的关键．
12．/
【分析】由折叠性质可得CF=BC=5，BE=EF，由矩形性质有CD=AB=3，BC=AD=5，勾股定理求得DF，AF．设BE=EF=x，则AE=AB-BE，在直角三角形AEF中，根据勾股定理，建立方程，解方程即可求解．
【详解】解：由折叠性质可得CF=BC=5，BE=EF，
由矩形性质有CD=AB=3，BC=AD=5，
∵∠D=90°，
∴，
所以，
所以 BE=EF=x，则AE=AB-BE=3-x，在直角三角形AEF中:
，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了图形折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，在直角三角形AEF中运用勾股定理建立方程求解是关键．
13．1
【分析】由直角三角形斜边中线的性质得出AB=2DE，再由三角形中位线的性质可得FG的长；
【详解】解：∵Rt△ABC中，点E是AB的中点，DE=1，
∴AB=2DE=2，
∵点F、G分别是AC、BC中点，
∴，
故答案为：1
【点拨】本题考查了直角三角形的性质及三角形中位线的性质等知识；熟练掌握中位线定理是解题的关键．
14．4
【分析】由D、E分别是AB和AC的中点得到DE是△ABC的中位线，进而得到，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，由此即可求出．
【详解】解：∵D、E分别是AB和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，
∵，
∴由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：，
∴，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了三角形的中位线定理及直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，属于基础题，熟练掌握中位线定理是解决本题的关键．
15．/
【分析】在CD上取点H，使DH=DE，连接EH，PH，过点F作FK⊥CD于点K，可得DG垂直平分EH，从而得到当点F、P、H三点共线时，的周长最小，最小值为FH+EF，再分别求出EF和FH，即可求解．
【详解】解：如图，在CD上取点H，使DH=DE，连接EH，PH，过点F作FK⊥CD于点K，
在矩形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，
∴△DEH为等腰直角三角形，
∵DG平分∠ADC，
∴DG垂直平分EH，
∴PE=PH，
∴的周长等于PE+PF+EF=PH+PF+EF≥FH+EF，
∴当点F、P、H三点共线时，的周长最小，最小值为FH+EF，
∵E，F分别是AD，AB的中点，
∴AE=DE=DH=3，AF=4，
∴EF=5，
∵FK⊥CD，
∴∠DKF=∠A=∠ADC=90°，
∴四边形ADKF为矩形，
∴DK=AF=4，FK=AD=6，
∴HK=1，
∴，
∴FH+EF=，即的周长最小为．
故答案为：
【点拨】本题主要考查了最短距离问题，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，明确题意，准确得到当点F、P、H三点共线时，的周长最小，最小值为FH+EF是解题的关键．
16．或/或
【分析】连接，根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，分点在线段上和的延长线上，且，勾股定理求得即可．
【详解】如图，连接，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，
，，
，
根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，点在上，且，
，
如图，在中，，
在中，
故答案为：或．
【点拨】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，确定点的位置是解题的关键．
17．
【分析】判定△AB′D′是等腰直角三角形，即可得出AB′=AD，再根据AB′= AB，再计算即可得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=∠DAB=90°，
由操作一可知：∠DAB′=∠D′AB′=45°，∠AD′B′=∠D=90°，AD=AD′，
∴△AB′D′是等腰直角三角形，
∴AD=AD′= B′D′，
由勾股定理得AB′=AD，
又由操作二可知：AB′=AB，
∴AD=AB，
∴=，
∴A4纸的长AB与宽AD的比值为．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质以及折叠变换的运用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．7.5
【分析】在中，利用勾股定理求出的长，然后根据得出，再根据折叠的性质可得．根据求得的长．
【详解】解：在中，
，
，，
．
，
，
，
．
．
．
．
将沿直线翻折，点的对应点恰好落在上，
．
．
故答案为：7.5．
【点拨】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键是在直角三角形中根据通过推理论证得到是斜边上的中线．
19．/
【分析】作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF，利用菱形的性质与直角三角形的性质，勾股定理，求出OF，OE长，再证明△EOF是直角三角形，然后由勾股定理求出EF长即可．
【详解】解：如图，作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF的长，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AD=AB=3，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=3，∠BAO=30°，
∴OB==，
∴OA=，
∴点O关于AB的对称点F，
∴OF⊥AB，OG=FG，
∴OF=2OG=OA=，∠AOG=60°，
∵CE⊥AH于E，OA=OC，
∴OE=OC=OA=，
∴∠AEC=∠CAE，
∵AH平分∠BAC，
∴∠CAE=15°，
∴∠AEO=∠CAE=15°，
∴∠COE=∠AEO+∠CAE=30°，
∴∠COE+∠AOG=30°+60°=90°，
∴∠FOE=90°，
∴由勾股定理，得EF=,
∴PO+PE最小值=．
故答案为：．
【点拨】本题考查菱形的性质，利用轴对称求最短距离问题，直角三角形的性质，勾股定理，作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，则PO+PE最小，最小值=EF的长是解题的关键．
20．3或
【分析】根据题意，由为直角三角形，可进行分类讨论：①当；②当两种情况进行分析，然后进行计算，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∵当为直角三角形时，可分情况进行讨论
①当时，如图：
则，
∴，
∴，
∴；
在直角△ACP中，由勾股定理，则
；
②当时，如图
∵，，
∴四边形CDPE是矩形，
∴CQ=PQ，
∵AQ⊥CP，
∴△ACP是等腰三角形，即AP=AC=
综合上述，的长是3或；
故答案为：3或；
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，30度直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，运用分类讨论的思想进行解题．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由平行四边形的性质推出∠EAB=∠CFE，利用AAS即可判定△ABE≌△FCE；
（2）先证明四边形DEFG是平行四边形，
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，再证明DF=EG，即可证明四边形DEFG是矩形．
∴ABCD，
∴∠EAB=∠CFE，
又∵E为BC的中点，
∴EC=EB，
∴在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE(AAS)；
（2）证明：∵△ABE≌△FCE，
∴AB=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，
∴DC=CF，
又∵CE=CG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∵E为BC的中点，CE=CG，
∴BC=EG，
又∵AD=BC=EG=2AB，DF=CD+CF=2CD=2AB，
∴DF=EG，
∴平行四边形DEFG是矩形．
【点拨】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE≌△FCE是解题的关键．
22．(1)作图见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据垂直平分线的尺规作图的画法，分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，交于两点，过两点作直线即可得到线段AC的垂直平分线．
（2）利用矩形及垂直平分线的性质，可以证得，根据全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，
（2）解：．证明如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴．
∴．
∵EF为AC的垂直平分线，
∴．
∴．
∴．
【点拨】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图的画法、矩形的性质、全等三角形的判定和性质．
23．(1)BP=PC，证明见解析
(2)BP=．
【分析】（1）由角平分线的性质和直角三角形的性质可求∠BAP=∠APB=45°，可得AB=BP，即可得结论；
（2）由全等得到AP=PC,在△ABP中应用勾股定理可求解．
【详解】（1）解：BP=CP，理由如下：
∵CG为∠DCF的平分线，
∴∠DCG=∠FCG=45°，
∴∠PCE=45°，
∵CG⊥AP，
∴∠E=∠B=90°，
∴∠CPE=45°=∠APB，
∴∠BAP=∠APB=45°，
∴AB=BP，
∵AB=BC，
∴BC=2AB，
∴BP=PC；
（2）解：∵△ABP≌△CEP，
∴AP=CP，
∵AB=3，
∵BC=2AB=6，
∵，
∴，
∴BP=．
【点拨】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
24．(1)证明见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用AAS即可证明△ABF≌△CDE；
（2）若选择条件①：先证明四边形AECF是平行四边形，利用直角三角形斜边上的中线性质以及含30度角的直角三角形的性质证得AE=AF，即可证明平行四边形AECF是菱形．
若选择条件②：先证明四边形AECF是平行四边形，得到AO=CO，再根据等腰三角形的性质即可证明平行四边形AECF是菱形．
【详解】（1）证明：∵BE=FD，
∴BE+EF=FD+EF，
即BF=DE，
∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠CDE，
又∵∠BAF=∠DCE=90°，
∴△ABF≌△CDE(AAS)；
（2）解：若选择条件①：
四边形AECF是菱形，
由（1）得，△ABF≌△CDE，
∴AF=CE，∠AFB=∠CED，
∴AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠BAF=90°，BE=EF，
∴AE=BF，
∵∠BAF=90°，∠ABD=30°，
∴AF=BF，
∴AE=AF，
∴平行四边形AECF是菱形．
若选择条件②：
四边形AECF是菱形，
连接AC交BD于点O，
由（1）得，△ABF≌△CDE，
∴AF=CE，∠AFB=∠CED，
∴AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AO=CO，
∵AB=BC，
∴BO⊥AC，
即EF⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，菱形的判定，平行四边形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
25．(1)见解析
(2)①见解析；；②12,；③，见解析
【分析】（1）根据矩形的性质得到，再结合P是的中点证明；
（2）①设，在中，表示出三角形的其他两边，再由勾股定理列方程计算即可；
②当点恰好位于对角线上时，最小，利用勾股定理计算即可；
③过点作，交于点M，证明，再由即可得到．
【详解】（1）解：如图，在矩形中，，
即，
∴．
∵点P是的中点，
∴．
∴．
（2）①证明：如图，在矩形中，，
∴．
由折叠可知，
∴．
∴．
在矩形中，，
∵点P是的中点，
∴．
由折叠可知，．
设，则．
∴．
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
即．
②解：如图，由折叠可知，．
∴．
由两点之间线段最短可知，
当点恰好位于对角线上时，最小．
连接，在中，，
∴，
∴，
∴．
③解：与的数量关系是．
理由是：如图，由折叠可知．
过点作，交于点M，
∵，
∴，
∴．
∴，
∴点H是中点．
∵，即，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵点G为中点，点H是中点，
∴．
∴．
∴．
∴．
【点拨】此题考查了矩形的性质、折叠问题、勾股定理、全等三角形的判定、等腰三角形的性质，关键是作出辅助线，根据等腰三角形的性质证明．
26．(1)见解析
(2)22.5°，
(3)
【分析】（1）根据折叠的性质可得AD=AF，，由HL可证明结论；
（2）根据折叠的性质可得 证明是等腰直角三角形，可求出GF的长，从而可得结论 ；
（3）根据题意可知点F与点D关于AG对称，连接PD，则PD为PQ+FQ的最小值，过点P作PR⊥AD，求出PR=AR=，求出DR，根据勾腰定理可得结论．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
∴．
由折叠可知，，．
∴．
∴．
由折叠得，，
∴
∴
又AD=AF，AG=AG
∴
（2）由折叠得，∠
又∠
∴∠
由得，∠
∠
又∠
∴∠
∴∠
∴
设则
∴
∴
∴
（3）如图，连接
∵
∴AG是FD的垂直平分线，即点F与点D关于AG轴对称，
连接PD交AG于点Q，则PQ+FQ的最小值为PD的长；
过点P作交AD于点R，
∵∠
∴∠
∴
又
∴
∴
在中，
∴
∴的最小值为
【点拨】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，最短路径问题，矩形的性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．
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