数学北师大版3 正方形的性质与判定课后练习题

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专题1.11 正方形的性质与判定（直通中考）
【要点回顾】
一、正方形的性质
（1）四边都相等；（2）四个角都是直角；（3）对称线垂直平分且相等；（4）是轴对称图形，也是中心对称图形。
二、正方形的判定
（1）定义法：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形；
（2）判定定理1：对角线相等的菱形是正方形；
（3）判定定理2：对角线相互垂直的矩形是正方形；
（4）判定定理3：有一个内角是直角的菱形是正方形；
（5）判定定理4：有一组邻边相等的矩形是正方形。
一、单选题
1．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，边长为的正方形两边与坐标轴正半轴重合，点的坐标是（    ）
  
A． B． C． D．
2．（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（    ）

A．1cm B．2cm C．(－1)cm D．(2－1)cm
3．（2023·四川广安·统考中考真题）下列说法正确的是（　　）
A．三角形的一个外角等于两个内角的和
B．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
C．在一组数据11，9，7，8，6，8，12，8中，众数和中位数都是8
D．甲乙两组各10名同学参加“安全知识竞赛”，若两组同学的平均成绩相同，甲组的方差，乙组的方差，则甲组同学的成绩比乙组同学的成绩稳定
4．（2022·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在平行四边形中，，，，是对角线上的动点，且，，分别是边，边上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形；②存在无数个矩形；③存在无数个菱形；④存在无数个正方形．其中正确的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2022·山东滨州·统考中考真题）正方形的对角线相交于点O（如图1），如果绕点O按顺时针方向旋转，其两边分别与边相交于点E、F（如图2），连接EF，那么在点E由B到A的过程中，线段EF的中点G经过的路线是（    ）

A．线段 B．圆弧 C．折线 D．波浪线
6．（2021·甘肃兰州·统考中考真题）如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图2的四边形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若四边形的面积为13，中间空白处的四边形的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为和，则（    ）

A．12 B．13 C．24 D．25
7．（2021·江苏泰州·统考中考真题）如图,P为AB上任意一点,分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF,设,则 为（　　）

A．2α B．90°﹣α C．45°+α D．90°﹣α
8．（2021·广西玉林·统考中考真题）一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：

a.两组对边分别相等        b.一组对边平行且相等
c.一组邻边相等         d.一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c
则正确的是：（    ）
A．仅① B．仅③ C．①② D．②③
9．（2021·湖南常德·统考中考真题）如图，已知F、E分别是正方形的边与的中点，与交于P．则下列结论成立的是（    ）

A． B． C． D．
10．（2021·重庆·统考中考真题）如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则的度数为（    ）

A．60° B．65° C．75° D．80°
二、填空题
11．（2023·湖南·统考中考真题）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为__________．
  
12．（2022·江苏常州·统考中考真题）如图，将一个边长为的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到时才会断裂．若，则橡皮筋_____断裂（填“会”或“不会”，参考数据：）．

13．（2022·江西·统考中考真题）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为__________．

14．（2021·上海·统考中考真题）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为__________．

15．（2021·浙江金华·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边BC及四边形②的边CD都在x轴上，“猫”耳尖E在y轴上．若“猫”尾巴尖A的横坐标是1，则“猫”爪尖F的坐标是___________．

16．（2023·河南南阳·统考三模）如图，在正方形中，，在等腰直角三角形中，，．边与在同一直线上．．若正方形以的速度沿直线向右运动，经过___________，此三角形和正方形重叠部分的面积是．
  
17．（2023·贵州贵阳·校考一模）如图，在正方形中，，点为上一动点，连接，以为边在上方作正方形．若点是的中点，且，则的长是______；点从点到点的运动过程中，点所运动的路径长是______．
  
18．（2023·安徽宣城·校考三模）在正方形中，将绕点B逆时针旋转得到，连接．
  
（1）当时，______；
（2）在上取点F，使，连接．若，当时，的最小值为______．
三、解答题
19．（2022·贵州遵义·统考中考真题）将正方形和菱形按照如图所示摆放，顶点与顶点重合，菱形的对角线经过点，点，分别在，上．
(1) 求证：；
(2) 若，求的长．








20．（2023·湖北十堰·统考中考真题）过正方形的顶点作直线，点关于直线的对称点为点，连接，直线交直线于点．
(1) 如图1，若，则___________；
(2) 如图1，请探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论；
(3) 在绕点转动的过程中，设，请直接用含的式子表示的长．






21．（2022·新疆·统考中考真题）如图，在巾，，点O为BC的中点，点D是线段OC上的动点（点D不与点O，C重合），将沿AD折叠得到，连接BE．
(1) 当时，___________；
(2) 探究与之间的数量关系，并给出证明；
(3) 设，的面积为x，以AD为边长的正方形的面积为y，求y关于x的函数解析式．





22．（2022·江苏常州·统考中考真题）在四边形中，是边上的一点．若，则点叫做该四边形的“等形点”．
(1) 正方形_______“等形点”（填“存在”或“不存在”）；
(2) 如图，在四边形中，边上的点是四边形的“等形点”．已知，，，连接，求的长；
(3) 在四边形中，EH//FG．若边上的点是四边形的“等形点”，求的值．




23．（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，连接AC．求证：BC+CD＝AC．
(1) 小明的思路是：延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．根据∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，从而得到∠B＝∠ADE，然后证明ADE≌ABC，从而可证BC+CD＝AC，请你帮助小明写出完整的证明过程．
(2)【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，连接AC，猜想BC，CD，AC之间的数量关系，并说明理由．
(3)【思维拓展】在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝，AC与BD相交于点O．若四边形ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD的长．



24．（2023·湖南·统考中考真题）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点G，以为边长向外作正方形，将正方形绕点B顺时针旋转．
    
特例感知：
（1）当在上时，连接相交于点P，小红发现点P恰为的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明；
（2）小红继续连接，并延长与相交，发现交点恰好也是中点P，如图②，根据小红发现的结论，请判断的形状，并说明理由；
规律探究：
（3） 如图③，将正方形绕点B顺时针旋转，连接，点P是中点，连接，，，的形状是否发生改变？请说明理由．





















参考答案
1．C
【分析】根据正方形的性质，结合坐标的意义即可求解．
解：∵边长为的正方形两边与坐标轴正半轴重合，
∴
∴,
故选：C．
【点拨】本题考查了坐标与图形，熟练掌握正方形的性质，数形结合是解题的关键．
2．D
【分析】先求出BD，再根据平移性质求得=1cm，然后由求解即可．
解：由题意，BD=cm，
由平移性质得=1cm，
∴点D，之间的距离为==（）cm，
故选：D．
【点拨】本题考查平移性质、正方形的性质，熟练掌握平移性质是解答的关键．
3．C
【分析】根据三角形的外角定理，正方形的判定，众数和中位数的定义，方差的意义判断即可．
解：A．三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和，故选项A错误；
B．要加上 “对角线互相平分”这个条件，故选项B错误；
C．这列数据从小到大排列为6，7，8，8，8，9，11，12，
8出现了3次，故众数是8，中位数是，
故选项C正确；
D．方差越小，数据越稳定，故选项D错误．
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形的外角定理，正方形的判定，众数和中位数的定义，方差的意义等知识，本题的关键是熟练掌握这些知识点，并能灵活运用．
4．C
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可．
解：
如图，连接AC、与BD交于点O，连接ME，MF，NF，EN，MN，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC，OB=OD
∵BE=DF
∴OE=OF
∵点E、F时BD上的点，
∴只要M，N过点O，
那么四边形MENF就是平行四边形
∴存在无数个平行四边形MENF，故①正确；
只要MN=EF，MN过点O，则四边形MENF是矩形，
∵点E、F是BD上的动点，
∴存在无数个矩形MENF，故②正确；
只要MN⊥EF，MN过点O，则四边形MENF是菱形；
∵点E、F是BD上的动点，
∴存在无数个菱形MENF，故③正确；
只要MN=EF，MN⊥EF，MN过点O，
则四边形MENF是正方形，
而符合要求的正方形只有一个，故④错误；
故选：C
【点拨】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定、解答本题的关键时明确题意，作出合适的辅助线．
5．A
【分析】连接，根据题意可知则线段EF的中点G经过的路线是的线段垂直平分线的一段，即线段
解：连接，根据题意可知，

，
∴点G在线段OB的垂直平分线上．
则线段EF的中点G经过的路线是的线段垂直平分线的一段，即线段．
故选：A．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正方形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
6．D
【分析】根据菱形的性质可得对角线互相垂直平分，进而可得4个直角三角形全等，结合已知条件和勾股定理求得，进而根据面积差以及三角形面积公式求得，最后根据完全平方公式即可求得．
解：菱形的对角线互相垂直平分，
个直角三角形全等；
，，
，
四边形是正方形，又正方形的面积为13，
正方形的边长为，
根据勾股定理，则，
中间空白处的四边形的面积为1，
个直角三角形的面积为，
，
，
，
．
故选D．
【点拨】本题考查了正方形的性质与判定，菱形的性质，勾股定理，完全平方公式，求得是解题的关键．
7．B
【分析】根据题意可得 ，从而 即可．
解：∵四边形APCD和四边形PBEF是正方形，
∴AP=CP，PF=PB，，
∴，
∴∠AFP=∠CBP，
又∵ ，
∴，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定方法是解题的关键．
8．C
【分析】根据题意及正方形的判定定理可直接进行排除选项．
解：①由两组对边分别相等可得该四边形是平行四边形，添加一组邻边相等可得该四边形是菱形，再添加一个角是直角则可得该四边形是正方形；正确，故符合题意；
②由一组对边平行且相等可得该四边形是平行四边形，添加一个角是直角可得该四边形是矩形，再添加一组邻边相等则可得该四边形是正方形；正确，故符合题意；
③a、b都为平行四边形的判定定理，故不能判定该四边形是正方形，故错误，不符合题意；
∴正确的有①②；
故选C．
【点拨】本题主要考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．
9．C
【分析】根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质逐一判断即可．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=CA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，
∵已知F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，
∴BE=BC=AB∠PCD，
∴PC>PD，故B选项错误，不符合题意；
∵AD>PD，
∴CD>PD，
∴∠DPC>∠DCP，
∴90°-∠DPC