初中数学北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定课时训练

这是一份初中数学北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定课时训练，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题1.9 正方形的性质与判定（分层练习）（提高练）
一、单选题
1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（    ）
A．四个角都是直角 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线相等
2．如图，正方形的边长为4，E为边上一点，，连接，过D作的垂线交于点F，交于点G，则的长为（    ）
  
A． B． C．3 D．5
3．如图，边长为2的正方形的对角线与相交于点是边上一点，是上一点，连接．若与关于直线对称，则的长为（    ）
  
A． B． C． D．
4．如图，四边形是正方形，点在上，连接，于点，，且，则正方形的边长为（    ）
  
A． B． C． D．
5．如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　）

A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定
6．如图，正方形和正方形的顶点，，在同一直线上上，且，，给出下列结论：①；②；③；④的面积为3．其中正确的结论有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．四边形的对角线，交点O，点M，N，P，Q分别为边，，，的中点，则下列说法不正确的是（    ）
  
A．对于任意四边形，四边形一定是平行四边形；
B．若，则四边形一定是菱形；
C．若，则四边形一定是矩形；
D．若四边形是菱形，则四边形也是菱形．
8．如图，点O为矩形的对称中心，点E从点A出发沿向点B运动，移动到点B停止，延长EO交于点F，则四边形形状的变化依次为（    ）

A．矩形→菱形→平行四边形→矩形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形 D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
9．如图，已知正方形的边长为4，点M在上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
10．已知，如图，正方形中，，，相交于点O，E，F分别为边，上的动点（点E，F不与线段，的端点重合）且，连接，，．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：
①始终是等腰直角三角形；
②面积的最小值是；
③至少存在一个．使得的周长是；
④四边形的面积始终是1．
所有正确结论的序号是（    ）
  
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．③④

二、填空题
11．如图，四边形，四边形分别是菱形与正方形．若，则=______°．
  
12．如图四边形是边长为1的正方形，是等边三角形，则的面积为___．
  
13．如图，要使矩形成为正方形，需添加一个条件为______．

14．如图，在中，，D，E，F分别是，，的中点，连接，，．如果_____________，那么四边形是正方形（要求：①不再添加辅助线；②只需填一个符合要求的条件）．

15．如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线 的距离为__________．
  
16．如图，已知四边形和四边形均为正方形，且是的中点，连接，若，则的长为___．
  
17．如图，点M是的中点，点P在上．分别以，为边，作正方形和正方形，连接和，设，，且，．则图中阴影部分的面积为__________．

18．把长方形OABC放在如图所示的平面直角坐标系中，点F、E分别在边OA和AB上，若点F （0，3），点C （9，0），且∠FEC＝90°，EF＝EC，则点E的坐标为_____．

三、解答题
19．如图，已知正方形中，，为对角线，平分，，垂足为．求的长．
  


20．如图，在中，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E．
(1) 求证：四边形为矩形；
(2) 当四边形是一个正方形时，试判断的形状．





21．如图，点P（3m-1，-2m+4）在第一象限的角平分线OC上，AP⊥BP，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上．
(1) 求点P的坐标．
(2) 当∠APB绕点P旋转时，
① OA+OB的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值．
② 请求出OA2+OB2的最小值．





22．如图，在菱形中，对角线、交于点．过作平行线，过作平行线，两平行线交于点． 
(1) 求证：四边形是矩形；
(2) 若四边形为正方形时，请直接判断四边形的形状．







23．如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．
(1)求证：BF=DE；
(2)当点E运动到AC中点时 (其他条件都保持不变)，问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．







24．如图，在正方形中，是边上的一动点（不与点重合），于点A，，连接． 
(1) 求证：；
(2) 延长，交于点，连接．
① 依题意补全图形；
② 用等式表示线段之间的数量关系，并证明．





























参考答案
1．C
【分析】对于四边形的性质我们从：①边；②角；③对角线三个方面去理解，因此，只需要根据正方形、矩形的这三个方面性质的不同，即可解答．
解：根据正方形和矩形的性质对比分析：
①边：有对边与邻边：正方形与矩形对边性质相同，没有区别；邻边性质不同，正方形邻边相等，矩形邻边不相等；
②角：正方形与矩形内角性质相同，对角相等、邻角互补、四个角都是直角；
③对角线：正方形与矩形对角线都相等且互相平分，但正方形对角线相互垂直，而矩形对角线不具有这个特征；
故选：C．
【点拨】本题考查了正方形和矩形的性质，解决本题的关键是熟记正方形和矩形的性质．
2．B
【分析】先通过全等证，再用勾股定理求，用面积公式求，最后计算的长．
解：在正方形中，，
∵，
∴，
∴，
在和中
∵，
∴，
∴，
在中
，
，
∴，
故选：B．
【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用这些知识是解题的关键．
3．C
【分析】根据正方形的性质可求出的长，根据轴对称的性质可得，再根据求解即可．
解：正方形的边长为2，
∴，
∴，
∴，
∵与关于直线对称，
∴，
∴；
故选：C．
【点拨】本题考查了正方形的性质和折叠的性质，属于基础题型，熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题的关键．
4．A
【分析】根据正方形的性质和余角关系得出，进而利用含角的直角三角形的性质解答即可．
解：四边形是正方形




于点，
，
故选：A．
【点拨】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和含角的直角三角形的性质解答．
5．A
【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=45°，再根据菱形的四条边都相等可得BD=DF，根据等边对等角可得∠DBF=∠DFB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可得解．
解：在正方形ABCD中，∠ADB=∠ADC=×90°=45°，
在菱形BDFE中，BD=DF，
所以，∠DBF=∠AFB，
在△BDF中，∠ADB=∠DBF+∠AFB=2∠AFB=45°，
解得∠AFB=22.5°．
故选：A．
【点拨】本题考查了正方形的四个角都是直角，对角线平分一组对角的性质，菱形的四条边都相等的性质，以及等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难度不大，熟记各性质是解题的关键．
6．B
【分析】①根据正方形的性质和平角的定义可求∠COD；
②根据正方形的性质可求OE，再根据线段的和差关系可求AE的长；
③作FG⊥CO交CO的延长线于G，过D作DH⊥AE于H，根据含45°的直角三角形的性质可求FG，根据正方形的性质可得DH=OH=1，根据勾股定理可求CF，AD，即可求解；
④根据三角形面积公式即可求解．
解：①∵四边形OABC和四边形ODEF是正方形，A，O，E共线，
∴∠AOC=90°，∠DOE=45°，
∴∠COD=180°-∠AOC-∠DOE=45°，故正确；
②∵EF=，
∴OE==2，
∵AO=AB=3，
∴AE=AO+OE=2+3=5，故正确；
③作FG⊥CO交CO的延长线于G，过D作DH⊥AE于H，

四边形DOFE为正方形
， OH=DH=OE=1，
∠GOF=45°，

则FG=1，
∴CF===，
AD===，
即CD=AD=，故错误；
④△COF的面积S△COF=×CO×GF=×3×1=，故错误；
故选：B．
【点拨】本题考查了正方形的性质，含45°的直角三角形的性质，三角形面积，勾股定理，平角的定义，综合性较强，有一定的难度．
7．D
【分析】根据中位线性质，结合矩形、菱形、平行四边形的判定方法，逐项进行判断即可．
解：A．∵点M，N，P，Q分别为边，，，的中点，
∴，，，，
∴，，
∴四边形一定是平行四边形，故A正确，不符合题意；
B．∵点M，N，P，Q分别为边，，，的中点，
∴，，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形一定是菱形，故B正确，不符合题意；
C．∵，
∴，
∵点M，N，P，Q分别为边，，，的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形一定是矩形，故C正确，不符合题意；
  
D．∵四边形是菱形，
∴，
根据C选项的解析可知，此时四边形一定是矩形，故D错误，符合题意．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了中点四边形，解题的关键是熟练掌握三角形中位线的性质，平行四边形，矩形、菱形的判定方法．
8．B
【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况：这个四边形先是平行四边形，当对角线互相垂直时是菱形，然后又是平行四边形，最后点E与点B重合时是矩形．
解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．
故选：B．
【点拨】本题考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，根据EF与AC的位置关系即可求解．
9．C
【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线对称，连接交于点，即为所求，在中利用勾股定理即可求出的长即可．
解：∵四边形是正方形，
∴点B与D关于直线对称，
连接交于点，连接，
则，
，
当B、N、M三点共线时，取得最小值，
则即为所求的点，

则的长即为的最小值，
∵四边形是正方形，
∴是线段的垂直平分线，
又，
在中，，
故的最小值是5．
故选：C．
【点拨】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，根据点B与点D关于直线对称，可知的长即为的最小值是解答此题的关键．
10．A
【分析】①根据正方形的性质可得，，根据全等三角形的判定和性质可得，根据等腰三角形的性质可得，推得，则可证得结论①正确；
②由的最小值是到的距离，即可求得的最小值1，根据三角形面积公式即可判断选项②正确；
③假设存在一个，使得的周长是，根据勾股定理求得,即可求得选项③正确；
④结合①中结论，根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出选项④正确．
解：①∵四边形是正方形，，相交于点，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形；
故①正确；
②∵当时，最小，此时，
∴面积的最小值是，
故②正确；
③∵，
∴，
假设存在一个，使得的周长是，
则，
由①得是等腰直角三角形，
∴．
∵，的最小值是1，
∴存在一个，使得的周长是．
故③正确；
④由①知：，
∴，
故④正确．
故选：A．
【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
11．46
【分析】根据正方形和菱形的性质：一条对角线平分一组对角，即可求解．
解：连接，如图所示：
  
平分




故答案为：
【点拨】本题综合考查正方形和菱形的性质．熟悉相关性质是解题的关键．
12．
【分析】过P作于E，于F，证四边形是矩形，得出，由等边三角形的性质和勾股定理求出的长，找到，进行求解即可．
解：如图所示：过P作于E，于F，
  
则，
∵正方形的边长是1，为等边三角形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴
．
故答案为：．
【点拨】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、勾股定理及三角形面积等知识；解决本题的关键是找到．
13．（答案不唯一）．
【分析】根据正方形的判定添加条件即可．
解：添加的条件可以是AB=BC．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形．
故答案为：AB=BC（答案不唯一）．
【点拨】本题考查了矩形的性质，正方形的判定，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键，注意：有一组邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形．此题是一道开放型的题目，答案不唯一，也可以添加AC⊥BD．
14．答案不唯一，如
【分析】本题可根据正方形的判定方法填空，由已知条件可首先判定四边形矩形，根据邻边相等的矩形为正方形可知时结论即可成立．
解：
证明：∵D，E分别是，的中点
∴，，
∵，
∴，
∵D，F分别是，的中点
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴矩形是正方形．
故答案为：．(答案不唯一)
【点拨】本题主要考查了三角形的中位线定理以及矩形的判定定理和正方形的判定定理．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；矩形的判定定理：（1）有三个角是直角的四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有一个角是直角的平行四边形是矩形；正方形的判定定理：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形．
15．
【分析】过点作于，证明四边形四边形是正方形，即可求解．
解：如图所示，过点作于，
  
∵点是正方形的对角线上的一点，于点
∴四边形是矩形，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴四边形是正方形，
∴，
即点到直线的距离为
故答案为：．
【点拨】本题考查了正方形的性质与判定，点到直线的距离，熟练掌握正方形的性质与判定是解题的关键．
16．
【分析】四边形和四边形均为正方形，且是的中点，，如图所示，过点作于，交于，与交于点，可证，，根据勾股定理即可求解．
解：∵四边形和四边形均为正方形，且是的中点，，
∴，
∴在中，，
如图所示，过点作于，交于，与交于点，
  
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，即为中点，
同理，可证，
∴，
∴在中，
，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查正方形与直角三角形勾股定理的综合，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
17．90
【分析】由，点M是的中点，AM=BM=AB=6，分别用含代数式表示面积S正方形APCD，S正方形PBE，S△AMD，S△MBE，阴影面积为S阴影=S正方形APCD+S正方形PBEF-S△AMD-S△BME求出即可．
解：点M是的中点，，AM=BM=AB=6，
S正方形APCD=AP2=，S正方形PBEF=PB2=，S△AMD=，
S△MBE=，
S阴影=S正方形APCD+S正方形PBEF-S△AMD-S△BME，
=，
．
故答案为90．
【点拨】本题考查动点图形的面积问题，掌握求面积的方法，会求正方形面积，三角形面积，熟悉面积公式，会用割法求面积是解题关键．
18．（6，6）
【分析】根据矩形的性质得到AB＝OC＝9，∠FAE＝∠B＝90°，根据余角的性质得到∠AFE＝∠CEB，根据全等三角形的性质得到AF＝BE，AE＝BC，设AF＝BE＝x，列方程即可得到结论．
解：∵点F （0，3），点C （9，0），
∴OF＝3，OC＝9，
∵四边形ABCO是矩形，
∴AB＝OC＝9，∠FAE＝∠B＝90°，
∵∠FEC＝90°，
∴∠AEF+∠AFE＝∠AEF+∠CEB＝90°，
∴∠AFE＝∠CEB，
∵EF＝EC，
∴△AEF≌△BCE（AAS），
∴AF＝BE，AE＝BC，
设AF＝BE＝x，
∴AO＝BC＝AE＝x+3，
∴x+3+x＝9，
∴x＝3，
∴AE＝BC＝6，
∴点E的坐标为（6，6），
故答案为：（6，6）．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，坐标与图形性质，证全等三角形是本题的关键，也是本题的难点.

19．
【分析】利用正方形的性质求出，再根据角平分线的性质可得，进而可证明，问题随之得解．
【详解】∵正方形中，，为对角线，
∴，
∴，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，证明，是解答本题的关键．
20．(1)证明见解析 (2)是等腰直角三角形
【分析】（1）利用三个角是直角的四边形是矩形来判定即可．
（2）根据正方形的性质得到，则，再由，即可得到是等腰直角三角形．
【详解】（1）解：∵，垂足为点D，
∴．
∵是△外角的平分线，
∴，
∵与是邻补角，
∴，
∴，
∵，
∴
∴四边形为矩形．
（2）解：∵四边形是一个正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形．
【点拨】本题主要考查矩形的判定，正方形的性质，三线合一定理等等，熟知距离的判定定理和正方形的性质是解题关键．
21．(1)P（2，2）；
(2)①不变，定值为4；②OA2+OB2的最小值为8．

【分析】（1）根据在第一象限的角平分线OC上的点的横坐标与纵坐标相等，构建方程求出m即可．
（2）①过点P作PM⊥y轴于M，PN⊥OA于N．证明四边形OMPN是正方形，再证明△PMB≌△PNA（ASA），推出BM=AN，可得结论；
②根据垂线段最短原理以及勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵点P （3m-1，-2m+4）在第一象限的角平分线OC上，
∴3m-1=-2m+4，
∴m=1，
∴P（2，2）；
（2）①过点P作PM⊥y轴于M，PN⊥OA于N．

∵∠PMO=∠PNO=∠MON=90°，
∴四边形OMPN是矩形，
∵OP平分∠MON，PM⊥OM，PN⊥ON，
∴PM=PN，
∴四边形OMPN是正方形，
∵P（2，2），
∴PM=PN=OM=ON=2，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠MPN=90°，
∴∠MPB+∠BPN=∠BPN+∠NPA=90°，
∴∠MPB=∠NPA，
在△PMB和△PNA中，
，
∴△PMB≌△PNA（ASA），
∴BM=AN，
∴OB+OA=OM-BM+ON+AN=2OM=4．
②连接AB，

∵∠AOB=90°，
∴OA2+OB2=AB2．
∵∠BPA=90°，
∴AB2=PA2+PB2=2PA2，
∴OA2+OB2=2PA2，
当PA最小时，OA2+OB2也最小．
根据垂线段最短原理，PA最小值为2．
∴OA2+OB2的最小值为8．
【点拨】本题考查坐标与图形变化-旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
22．(1)证明见解析
(2)四边形是正方形，理由见解析

【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据菱形对角线互相垂直得到，即可证明平行四边形是矩形；
（2）同理可证四边形是平行四边形，再根据正方形对角线互相垂直平分且相等得到，平行四边形是正方形．
【详解】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，对角线、交于点
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：四边形是正方形，理由如下：
同理可证四边形是平行四边形，
∵四边形是正方形，对角线、交于点，
∴，
∴平行四边形是矩形，
∴矩形是正方形．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，正方形的判定，菱形的性质等等，熟知平行四边形，矩形，菱形，正方形等特殊平行四边形的性质和判定定理是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)当点E运动到AC的中点时，四边形AFBE是正方形，理由见解析

【分析】（1）根据正方形的性质判定△ADE≌△ABF后即可得到BF=DE；
（2）利用正方形的判定方法判定四边形AFBE为正方形即可．
【详解】（1）证明：∵正方形ABCD，

∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AF⊥AC，
∴∠EAF=90°，
∴∠BAF=∠EAD，
在△ADE和△ABF中，
∴△ADE≌△ABF（SAS），
∴BF=DE；
（2）解：当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方形，
理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC，
∴BE⊥AC，BE=AE=AC，
∵AF=AE，
∴BE=AF=AE，
又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，
∴BE∥AF，
∵BE=AF，
∴四边形AFBE是平行四边形，
∵∠FAE=90°，AF=AE，
∴四边形AFBE是正方形．
【点拨】本题考查了正方形的判定和性质，解题的关键是正确的利用正方形的性质．
24．(1)见解析
(2)①见解析；②，见解析

【分析】（1）根据证明，得出即可；
（2）①根据题意补全图形即可；
②延长到点，使，连接，证明，得出，证明是等腰直角三角形，得出，即可得出，即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵边形是正方形，
∴，
∵于点A，
∴，
∴，
  
又∵，
∴，
∴．
（2）解：①
  
②线段之间的数量关系是，
延长到点，使，连接，如图所示：
  
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
即，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，数形结合，熟练掌握三角形全等的判定方法．