八年级数学教案：锐角三角函数

八年级数学教案：锐角三角函数

　　下面是查字典数学网为您推荐的锐角三角函数，希望能给您带来帮助。

锐角三角函数

锐角三角函数、解直角三角形，它们既是相似三角形及函数的继续，也是继续学习三角形的基础.本章知识首先从工作和生活中经常遇到的问题人手，研究直角三角形的边角关系、锐角三角函数等知识，进而学习解直角三角形，进一步解决一些简单的实际问题.只有掌握锐角三角函数和直角三角形的解法，才能继续学习任意角的三角函数和解斜三角形等知识，同时解直角三角形的知识有利于培养数形结合思想，应牢固掌握.

小结2 本章学习重难点

【本章重点】 通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数(sin A，cos A，tan A)，知道30，45，60角的三角函数值，会运用三角函数知识解决与直角三角形有关的简单的实际问题.

【本章难点】 综合运用直角三角形的边边关系、边角关系来解决实际问题.

【学习本章应注意的问题】

在本章的学习中，应正确掌握四种三角函数的定义，熟记特殊角的三角函数值，要善于运用方程思想求直角三角形的某些未知元素，会运用转化思想通过添加辅助线把不规则的图形转化为规则的图形来求解，会用数学建模思想和转化思想把一些实际问题转化为数学模型，从而提高分析问题和解决问题的能力.

小结3 中考透视

这一章在中考中主要考查一些特殊角的三角函数值及几个三角函数间的关系，主要题型是选择题、填空题.另外解直角三角形在实际问题中的应用也是考查的一个重点，主要题型是填空题和解答题，约占3～7分.

知识网络结构图

专题总结及应用

一、知识性专题

专题1：锐角三角函数的定义

【专题解读】 锐角三角函数定义的考查多以选择题、填空题为主.

例1 如图28-123所示，在Rt△ABC中，ACB=90，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是 ( )

A.sin A= B.tan A=

C.cosB= D.tan B=

分析 sinA= = ，tan A= = ，cos B= = .故选D.

例2 在△ABC中，C=90，cosA= ,则tan A等于 ( )

A. B. C. D.

分析 在Rt△ABC中，设AC=3k，AB=5k，则BC=4k，由定义可知tan A= .故选D.

分析 在Rt△ABC中，BC= =3，sin A= .故填 .

专题2 特殊角的三角函数值

【专题解读】 要熟记特殊角的三角函数值.

例4 计算|-3|+2cos 45-( -1)0.

分析 cos 45= .

解：原式=3+2 -1= +2.

例5 计算- + +(-1)2019-cos 60.

分析 cos 60= .

解：原式= +3+(-1)- =3-1=2.

例6 计算|- |+(cos 60-tan 30)0+ .

分析 cos 60= ，tan 30= ，cos 60-tan 300，(cos 60-tan 30)0=1，

解：原式= +1十+2 =3 +1.

例7 计算 -(-3.14)0-|1-tan 60|- .

分析 tan 60= .

解：原式=8-1- +1+ +2=10.

专题3 锐角三角函数与相关知识的综合运用

【专题解读】 锐角三角函数常与其他知识综合起来运用，考查综合运用知识解决问题的能力.

例8 如图28-124所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，E为AC边的中点，BC=14，AD=12，sin B= .

(1)求线段DC的长;

(2)求tanEDC的值.

分析 在Rt△ABD中，由sinB= ，可求得BD，从而求得CD.由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得DE= AC=EC，则EDC=C，所以求tanEDC可以转化为求tan C.

解：(1)∵AD是BC边上的高，ADBC

在Rt△ABD中，sin B= .

∵AD=12，sin B= ，AB=15，

BD= = =9.

∵BC=14，CD=5.

(2)在Rt△ADC中，∵AE=EC，DE= AC=EC，

EDC=C

∵tan C= = ,tanEDC=tan C= .

例9 如图28-125所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan B=cosDAC.

(1)求证AC=BD;

(2)若sin C= ，BC=12，求AD的长.

分析 (1)利用锐角三角函数的定义可得AC=BD.(2)利用锐角三角函数与勾股定理可求得AD的长.

证明：(1)∵AD是BC边上的高，ADBC，

ADB=90，ADC=90.

在Rt△ABD和Rt△ADC中，

∵tan B= ，cosDAC= ，tan B=cosDAC，

= ，AC=BD.

解：(2)在Rt△ADC中，sin C= ，设AD=12k，AC=13k，

CD= =5k.

∵BC=BD+CD，AC=BD，

BC=13k+5k=18k.

由已知BC=12，18k=12，k= ，

AD=12k=12 =8.

例10 如图28-126所示，在△ABC中，B=45，C=30，BC=30+30 ，求AB的长.

分析 过点A作ADBC于D，把斜三角形转化为直角三角形，利用AD是两个直角三角形的公共边，设AD=x，把BD，DC用含x的式子表示出来，再由BD+CD=BC这一等量关系列方程，求得AD，则AB可在Rt△ABD中求得.

解：过点A作ADBC于D，设AD=x.

在Rt△ADB中，tanB= ，BD= =x，

在Rt△ADC中，tan C= ，CD= = = x.

又∵BD+CD=BC，BC=30+30 ，

x+ x=30+30 ,x=30.

在Rt△ABD中，sin B= ，

AB= = =30 .

专题4 用锐角三角函数解决实际问题

【专题解读】 加强数学与实际生活的联系，提高数学的应用意识，培养应用数学的能力是当今数学改革的方向，围绕本章内容，纵观近几年各地的中考试题，与解直角三角形有关的应用问题逐步成为命题的热点，其主要类型有轮船定位问题、堤坝工程问题、建筑测量问题、高度测量问题等，解决各类应用问题时要注意把握各类图形的特征及解法.

例11 如图28-127所示，小山上有一棵树，现有一测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚的水平地面上测出小树顶端A到水平地面上的距离AB.

(1)画出测量示意图;

(2)写出测量步骤(测量数据用字母表示);

(3)根据(2)中的数据计算AB.

解：(1)测量示意图如图28128所示.

(2)测量步骤.

第一步：在地面上选择点C安装测角仪，测得此时小树顶端A的仰角AHE=.

第二步：沿CB方向前进到点D，用皮尺量出C，D之间的距离

CD=m.

第三步：在点D安装测角仪，测得此时小树顶端A的仰角

AFE=.

第四步：用皮尺测出测角仪的高h.

(3)令AE=x，则tan = ，得HE= .

又tan = ，得EF= ，

∵HE-FE=HF=CD=m，

=m，解得x= .

AB= +h.

例12 如图28-129所示，一条小船从港口A出发，沿北偏东40方向航行20海里后到达B处，然后又沿北偏西30方向航行10海里后到达C处，则此时小船距港口A多少海里?(结果保留整数，提示：sin 400.6428，cos 400.7660，tan 400.8391， 1.732)

分析 此题可作CDAP构造直角三角形求AC，而CD，AD的长可转移到其他三角形中解决，可作BEAD，CFBE，CF，BF在Rt△BCF中可求，进而求解.

解：如图28-130所示，过点B作BEAP，垂足为点E，过点C分别作CDAP，CFBE，垂足分别为点D，F，则四边形CDEF为矩形，

CD=EF，DE=CF.

∵QBC=30，CBF=60.

∵AB=20，BAD=40，

AE=ABcos 40200.766015.3，

BE=ABsin 40200.6428=12.85612.9.

又∵BC=10，CBF=60，

CF=BCsin 6010 =5 8.7，

BF=BCcos 60=100.5=5，

CD=EF=BE-BF12.9-5=7.9.

∵DE=CF8.7，AD=DE+AE8.7+15.3=24.0，

由勾股定理得AC= = 25，

即此时小船距港口A约25海里.

【解题策略】 正确理解方位角，作出恰当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键.

例13 如图28-131所示，我市某中学数学课外活动小组的同学利用所学知识去测量沱江流经我市某段的河宽.小凡同学在点A处观测到对岸C点，测得CAD=45，又在距A处60米远的B处测得CBA=30，请你根据这些数据算出河宽是多少?(结果保留小数点后两位)

分析 本题可作CEAB，垂足为E，求出CE的长即为河宽.

解：如图28-131所示，过点C作CEAB于E，则CE即为河宽，

设CE=x(米)，则BE=x+60(米).

在Rt△BCE中，tan30= ，即 = ,

解得x=30( +1)81.96(米).

答：河宽约为81.96米.

【解题策略】 解本题的关键是设CE=x，然后根据BE=AB+AE列方程求解.

例14 如图28-132所示，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发现海中的B点有人求救，便立即派三名救生员前去营救.1号救生员从A点直接跳入海中;2号救生员沿岸边(岸边可以看成是直线)向前跑到C点再跳入海中;3号救生员沿岸边向前跑300米到离B点最近的D点，再跳入海中，救生员在岸上跑的速度都是6米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒.若BAD=45，BCD=60，三名救生员同时从A点出发，请说明谁先到达营救地点B.(参考数据 1.4， 1.7)

分析 在Rt△ABD中，已知A=45和AD，可求AB，BD，在Rt△BCD中，可利用求出的BD和BCD=60求出BC，然后根据计算出的数据判断谁先到达.

解：在Rt△ABD中，A=45，D=90，AD=300，

AB= =300 .

=tan 45，即BD=ADtan 45=300.

要练说，先练胆。说话胆小是幼儿语言发展的障碍。不少幼儿当众说话时显得胆怯：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。总之，说话时外部表现不自然。我抓住练胆这个关键，面向全体，偏向差生。一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，消除幼儿畏惧心理，让他能主动的、无拘无束地和我交谈。二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学模式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的机会，培养幼儿爱说话敢说话的兴趣，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地帮助和鼓励他把话说完、说好，增强其说话的勇气和把话说好的信心。三是要提明确的说话要求，在说话训练中不断提高，我要求每个幼儿在说话时要仪态大方，口齿清楚，声音响亮，学会用眼神。对说得好的幼儿，即使是某一方面，我都抓住教育，提出表扬，并要其他幼儿模仿。长期坚持，不断训练，幼儿说话胆量也在不断提高。

在Rt△BCD中，BCD=60，D=90，

BC= =200 ，CD= = =100 .

要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。1号救生员到达B点所