八年级数学教案：一次函数

八年级数学教案：一次函数

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一次函数

知识技能目标

1.掌握一次函数y=kx+b(k0)的性质.

2.能根据k与b的值说出函数的有关性质.

过程性目标

1.经历探索一次函数图象性质的过程，感受一次函数中k与b的值对 函数性质的影响;

2.观察图 象，体会一次函数k、b的取值和直线位置的关系，提高学生数形结合能力.

教学过程

一、创设情境

1.一次函数的图象是一条直线，一般情况下我们画一次函数的图象，取哪两个点比较简便?

2.在同一直角坐标系中，画出函数 和y=3x-2的图象.

问 在你所画的一次函数图象中，直线经过几个象限.

二、探究归纳

1.在所画的一次函数图象中，直线经过了三个象限.

2.观察图象发现在直线 上，当一个点 在直线上从左向右移动时，(即自变量x从小到大时)，点的位置也在逐步从低到高变化(函数y的值也从小变到大).

即：函数值y随自变量x的增大而增大.

请同学们讨论：函数y=3x-2是否也有这种现象?

既然，一次函数的图象经过三个象限，观察上述两个函数的图象，从它经过的象限看，它必经过哪两个象限(可以再画几条直线分析)?

发现上述两条直线都经过一、三象限.又由于直线与y轴的交点坐标是(0,b)所以，当b0时，直线与x轴的交点在y轴的正半轴，也称在x轴的上方;当b0时，直线与x轴的交点在y轴的负半轴，也称在x轴的下方.所以当k0时，直线经过一、三、二象限或一、三、四象限.

3.在同一坐标系中，画出函 数y=-x+2和 的图象(图略).

根据上面分析的过程，请同学们研究这两个函数图象是否也有相应的性质?你能发现什么规律.

观察函数y=-x+2和 的图象发现：当一个点在直线上从左向右移动时(即自变量x从小到大时)，点的位置 逐步从高到低变化(函数y的值也从大变到小)

即：函数值y随自变量x的增大而减小.

又发现上述两条直线都经过二、四象限，且当b0时，直线与x轴的 交点在y轴的正半轴，或在x轴的上方;当 b0时，直线与x轴的交点在y轴的负半 轴 ，或在x轴的下方.所以当k0时，直线经过二、四 、一象限或经过二、四、三象限.

一次函数y=kx+b有下列性质：

(1 )当k0时，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升;

( 2)当k0时，y随x的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降.

特别地，当b=0时，正比例函数也有上述性质.

当b0,直线与y轴交于正半轴;当b0时，直线与y轴交于正半轴.

下面，我们把一次函数中k与b的正、负与它的图象经过的象限归纳列表为：

4. 利用上面的性质，我们来看问题1和问题2反映了怎样的实际意义?

问题1 随着时间的增长,小明离北京越来越近.

问题2 随着时间的增长,小张的 存款越来越多.

三、实践应用

例1 已知一次函数y=(2m-1)x +m+5,当m是什么数时，函数值y随x的增大而 减小?

分 析 一次函数y=kx+b(k0)，若k0，则y随x的增大而减小.

解 因为一次函数y=(2m-1)x+m+5，函数值y随x的增大而减小.

所以，2m-10,即 .

例2 已知一次函数 y=(1-2m)x+m-1，若函数y随x的增大而减小，并且函数的图象经过二、三、四象限,求m的取值范围.

分析 一次函数y=kx+b(k0)，若函数y随x的增大而减小，则k0,若函数的图象经过二、三、四象限，则k0.

解 由题意得: ,

解得，

例3 已知一次函数y=(3m-8)x+1-m图象与y轴交点在x轴下方，且y随x的增大而减小，其中m为整数.

(1)求m的值;(2)当x取何值时，0

分析 一次函数y=kx+b(k0)与y轴的交点坐标是(0,b)，而交点在x轴下方，则b0,而y随x的增大而减小,则k0.

解 (1)由题意得： ，

解之得， ,又因为m为整数,所以m=2.

(2)当m=2时，y=-2x-1.

又由于0

解得： .

例4 画出函数y=-2x+2的图象，结合图象回答下列问题：

(1)这个函数中，随着x的增大，y将增大还是减小?它的图象从左到右怎样变化?

(2)当x取何 值时，y=0?

(3)当x取何值时，y0?

分析 (1)由于k=-20,y随着x的增大而减小.

(2) y=0,即图象上纵坐标为0的点,所以这个点在x轴上.

(3) y0,即图象上纵坐标为正的点,这些点在x轴的上方.

解 (1)由于k=-20,所以随着x的增大，y将减小. 当一个点在直线上从 左向右移动时，点的位置也在逐步从高到低变化,即图象从左到右呈下降趋势.

(2)当x=1时, y=0 .

(3)当x1时, y0.

四、交流反思

1.(1)当k0时，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升;

(2)当k0时，y随x的增大而减小， 这时函数的图象从左到右下降.

当b0,直线与y轴交于正半轴;当b0时，直线与y轴交于负半轴;当b=0时，直线与y轴交于坐标原点.

2.k0时，直线 经过一、二、三象限;k0时，直线经过一、三、四象限;

k0时，直线经过一、二、四象限;k0时，直线经过二、三、四象限.

五、检测反馈

1.已知函数 ,当m为何值时，这个函数 是一次函数.并且图象经过第二 、三、四象限?

2.已知关于x的一次函数y=(-2 m+1)x+2m2+m-3.

(1)若一次函数为正比例函数，且图象经过第一、第三象限，求m的值;

(2)若 一次函数的图象经过点(1，-2),求m的值.

3.已知函数 .

(1)当m取何值时，y随x的增大而增大?

(2)当m取何值时，y随x的增大而减小?

要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。

4.已知点(-1,a)和 都在直线 上，试比较a和b的大小.你能想出几种判断的方法?

一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。

5.某个一次函数的图象位置大致如下图所示，试分别确定k、 b的符号，并说出函数的性质.

宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。