江苏省淮安市盱眙县三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编

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江苏省淮安市盱眙县三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．根的判别式（共1小题）
1．（2021秋•盱眙县期末）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长为4，另两边长m，n恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
二．一元二次方程的应用（共2小题）
2．（2022秋•盱眙县期末）在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图①）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图②）．如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽．

3．（2022秋•盱眙县期末）某商场将每件进价为160元的某种商品原来按每件200元出售，一天可售出100件，后来经过市场调查，发现这种商品每降低2元，其销量可增加10件．
（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？
（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．
①若商场经营该商品一天要获利润4320元，则每件商品售价应降价多少元？
②求出y与x之间的函数关系式，当x取何值时，商场获利润最大？并求最大利润值．
三．二次函数与不等式（组）（共1小题）
4．（2021秋•盱眙县期末）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）求点D的坐标；
（2）求二次函数的解析式；
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．

四．二次函数的应用（共2小题）
5．（2020秋•盱眙县期末）如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．
（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
（2）求这条抛物线的解析式．

6．（2020秋•盱眙县期末）某公司经销甲、乙两种产品，经调研发现如下规律：
①销售甲产品所获利润y （万元）与销售x （万件）的关系为y＝0.6x；
②销售乙产品所获利润y （万元）与销售x （万件）的关系为y＝ax2+bx；当x＝1时，y＝1.3；当x＝2时，y＝2.4．
（1）求销售乙产品所获利润y （万元）与销售x （万件）的函数关系式；
（2）该公司计划购进甲、乙两种产品共20万件，要想使销售总利润最大，应如何安排经销方案？总利润最大为多少？
五．二次函数综合题（共3小题）
7．（2020秋•盱眙县期末）如图，抛物线y＝ax2+x+c交y轴于点A（0，2），交x轴于点B（﹣1，0）及点C．
（1）填空：a＝　 　，c＝　 　，点C的坐标为 　 　；
（2）把△ABO逆时针旋转90°得△A′B'O'（其中点A与A′，B与B′分别是对应点），当△A′B'O'恰好有两点落在抛物线上时，求点A的坐标；
（3）点P（m，n）是位于x轴上方抛物线上的一点，△PAB的面积记为S1，△PAC的面积记为S2，△PBC的面积记为S3，若满足S1+S2＝S3，求m的值．


8．（2021秋•盱眙县期末）如图，直线y＝x+1与x，y轴分别交于点B，A，顶点为P的抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A．
（1）求出点A，B的坐标及c的值；
（2）若函数y＝ax2﹣2ax+c在3≤x≤4时有最大值为a+2，求a的值；
（3）连接AP，过点A作AP的垂线交x轴于点M．设△BMP的面积为S．
①直接写出S关于a的函数关系式及a的取值范围；
②结合S与a的函数图象，直接写出S＞时a的取值范围．

9．（2022秋•盱眙县期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（﹣1，0），连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
（1）求b、c的值．
（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？
（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

六．直线与圆的位置关系（共1小题）
10．（2020秋•盱眙县期末）如图，C．D是以AB为直径的⊙O上两点，且∠ADC＝45°，过点C作CE∥AB．
（1）请判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，∠ACD＝60°，求图中阴影部分的面积．

七．切线的性质（共2小题）
11．（2021秋•盱眙县期末）如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．
（1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC＝2，⊙O的半径是3，求BE的长．

12．（2022秋•盱眙县期末）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．
（1）求证：△CBA≌△DAB；
（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．

八．切线的判定与性质（共1小题）
13．（2022秋•盱眙县期末）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．

九．弧长的计算（共1小题）
14．（2022秋•盱眙县期末）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上．（每个小方格的顶点叫格点）
（1）画出△ABC向下平移3个单位后的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A2B2C2，并求点A旋转到A2所经过的路线长．

一十．圆的综合题（共3小题）
15．（2020秋•盱眙县期末）如图，△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，过点C任作一条直线CD，将线段BC沿直线CD翻折得线段CE，直线AE交直线CD于点F．
（1）小智同学通过思考推得当点E在AB上方时，∠AEB的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程：
∵AC＝BC＝EC，
∴A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上．
∴∠AEB＝　 　∠ACB＝　 　°．
（2）若BE＝2，求CF的长．
（3）线段AE最大值为 　 　；若取BC的中点M，则线段MF的最小值为 　 　．


16．（2021秋•盱眙县期末）（1）【学习心得】
小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝　 　°．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．
小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆；△BCD的外接圆也是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．
（3）【问题拓展】
如图3，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝6，CD＝2，求AD的长．

17．（2022秋•盱眙县期末）阅读理解：
小明热爱数学，在课外数学资料上看到平行四边形一个性质定理：任意平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和．如图1，在平行四边形ABCD中，AC2+BD2＝AB2+BC2+CD2+DA2．由此，他探究得到三角形的一个性质：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．
（1）说理证明：
如图2，在△ABC中，若点D为BC的中点，则有：AB2+AC2＝2AD2+2BD2．请你证明小明得到的三角形性质的正确性．

（2）理解运用：
①在△ABC中，点D为BC的中点，AB＝4，AC＝3，BC＝6，则AD＝　 　；
②如图3，⊙O的半径为6，点A在圆内，且OA＝4，点B和点C在⊙O上，且∠BAC＝90°，点E、F分别为AO、BC的中点，则EF的长为 　 　；
（3）拓展延伸：
如图4，已知⊙O的半径为2，以A（2，2）为直角顶点的△ABC的另两个顶点B，C都在⊙O上，D为BC的中点，则AD长的最大值为 　 　．


江苏省淮安市盱眙县三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．根的判别式（共1小题）
1．（2021秋•盱眙县期末）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长为4，另两边长m，n恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵Δ＝（k+2）2﹣8k＝k2+4k+4﹣8k＝（k﹣2）2≥0，
∴无论k取何值，方程总有实数根；
（2）解：当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个实数根为4，
∴16﹣4（k+2）+2k＝0，解得k＝4，
∴方程为x2﹣6x+8＝0，解得x＝4或x＝2，
∴m、n的值分别为2、4，
∴△ABC的周长为10；
当边长为4的边为底时，则m＝n，即方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即（k﹣2）2＝0，解得k＝2，
∴方程为x2﹣4x+4＝0，解得m＝n＝2，
此时2+2＝4，不符合三角形的三边关系，舍去；
综上可知△ABC的周长为10．
二．一元二次方程的应用（共2小题）
2．（2022秋•盱眙县期末）在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图①）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图②）．如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：设金色纸边的宽为x分米，
方程为（8+2x）（6+2x）＝80，
解方程得：x＝﹣8或x＝1，
经检验x＝﹣8或1都是所列方程的解，但是宽不能为负数，
即x＝1，
答：金色纸边的宽是1分米．
3．（2022秋•盱眙县期末）某商场将每件进价为160元的某种商品原来按每件200元出售，一天可售出100件，后来经过市场调查，发现这种商品每降低2元，其销量可增加10件．
（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？
（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．
①若商场经营该商品一天要获利润4320元，则每件商品售价应降价多少元？
②求出y与x之间的函数关系式，当x取何值时，商场获利润最大？并求最大利润值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）原来一天可获利润是：（200﹣160）×100＝4000元；
（2）①，依题意，得（200﹣160﹣x）（100+5x）＝4320
解得：x＝4或x＝16
则每件商品应降价4元或16元；
②y＝（200﹣160﹣x）（100+5x）＝﹣5（x﹣10）2+4500
∴当x＝10时，y有最大值，最大值是4500元，
三．二次函数与不等式（组）（共1小题）
4．（2021秋•盱眙县期末）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）求点D的坐标；
（2）求二次函数的解析式；
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），
∴抛物线对称轴为：直线x＝﹣1，
∵点C、D是二次函数图象上的一对对称点，
∴D（﹣2，3），

（2）设二次函数的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
把C（0，3）代入得a•3•（﹣1）＝3，
解得a＝﹣1，
所以抛物线解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1），
即y＝﹣x2﹣2x+3；

（3）观察函数图象得当x＜﹣2或x＞1时，一次函数值大于二次函数值．
四．二次函数的应用（共2小题）
5．（2020秋•盱眙县期末）如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．
（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
（2）求这条抛物线的解析式．

【答案】（1）M（12，0），P（6，6）．
（2）y＝﹣x2+2x（0≤x≤12）．
【解答】解：（1）∵其最大高度为6米，底部宽度OM为12米，
∴点M及抛物线顶点P的坐标分别为：M（12，0），P（6，6）．

（2）设抛物线解析式为：y＝a（x﹣6）2+6，
∵抛物线y＝a（x﹣6）2+6经过点（0，0），
∴0＝a（0﹣6）2+6，即a＝﹣，
∴抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣6）2+6（0≤x≤12），即y＝﹣x2+2x（0≤x≤12）．
6．（2020秋•盱眙县期末）某公司经销甲、乙两种产品，经调研发现如下规律：
①销售甲产品所获利润y （万元）与销售x （万件）的关系为y＝0.6x；
②销售乙产品所获利润y （万元）与销售x （万件）的关系为y＝ax2+bx；当x＝1时，y＝1.3；当x＝2时，y＝2.4．
（1）求销售乙产品所获利润y （万元）与销售x （万件）的函数关系式；
（2）该公司计划购进甲、乙两种产品共20万件，要想使销售总利润最大，应如何安排经销方案？总利润最大为多少？
【答案】（1）y＝﹣0.1x2+1.4x；
（2）销售甲产品16万件，乙产品4万件，总利润最大为为13.6万元．
【解答】解：（1）在y＝ax2+bx中，当x＝1时，y＝1.3；当x＝2时，y＝2.4，
∴，解得，
∴销售乙产品所获利润y （万元）与销售x （万件）的函数关系式为y＝﹣0.1x2+1.4x；
（2）设总利润为w万元，销售甲m万件，则销售乙（20﹣m）万件，根据题意得：
w＝0.6m+[﹣0.1（20﹣m）2+1.4（20﹣m）]＝﹣0.1m2+3.2m﹣12＝﹣0.1（m﹣16）2+13.6，
∵﹣0.1＜0，
∴m＝16时，w最大为13.6，
∴销售甲产品16万件，乙产品4万件，总利润最大为为13.6万元．
五．二次函数综合题（共3小题）
7．（2020秋•盱眙县期末）如图，抛物线y＝ax2+x+c交y轴于点A（0，2），交x轴于点B（﹣1，0）及点C．
（1）填空：a＝　﹣1　，c＝　2　，点C的坐标为 　（2，0）　；
（2）把△ABO逆时针旋转90°得△A′B'O'（其中点A与A′，B与B′分别是对应点），当△A′B'O'恰好有两点落在抛物线上时，求点A的坐标；
（3）点P（m，n）是位于x轴上方抛物线上的一点，△PAB的面积记为S1，△PAC的面积记为S2，△PBC的面积记为S3，若满足S1+S2＝S3，求m的值．


【答案】（1）﹣1，2，（2，0）；
（2）A'（﹣，）；
（3）m的值为或．
【解答】解：（1）将A（0，2），B（﹣1，0）代入y＝ax2+x+c得，
，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2，
当y＝0时，即﹣x2+x+2＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣1，
∵点C在正半轴，
∴点C的坐标为（2，0），点B的坐标为（﹣1，0）；
故答案为：﹣1，2，（2，0）；
（2）如图所示，

由（1）知，OB＝1，OA＝OC＝2，
∴A'B'＝＝＝，
∵△AOB绕点M逆时针方向旋转90°，
①当A1、O1在抛物线上时，A1O1∥x轴且A1O1＝AO＝2，
根据抛物线的对称性得A'点的横坐标为﹣1＝﹣，
∴A'（﹣，）；
②当A1、B1在抛物线上时，不存在．
∴A'（﹣，）；
（3）连接BP交y轴于点M，过P点作PE⊥x轴，交AC于N，则E（m，0），

∴S1＝S△PAB＝S△ABM+S△PAM，S2＝S△PAC＝S△PAN+S△PNC，
设直线BP为y＝kx+t，将B（﹣1，0），P（m，﹣m2+m+2）代入得，
，
解得：，
∴y＝（2﹣m）x+2﹣m，
当x＝0时，y＝2﹣m，
∴M（0，2﹣m），
设直线AC为y＝lx+s，
将A（0，2），C（2，0）代入得，
，
解得，
∴y＝﹣x+2，
当x＝m时，y＝﹣m+2，
∴N（m，2﹣m），
∴S△ABM＝×AM•OB＝，
S△PAM＝AM•OE＝，
S△PAN＝OE•PN＝，
S△PNC＝，
S△PBC＝PE•BC＝，
∴S1+S2＝，
∴，
解得：m＝或；
故m的值为或．
8．（2021秋•盱眙县期末）如图，直线y＝x+1与x，y轴分别交于点B，A，顶点为P的抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A．
（1）求出点A，B的坐标及c的值；
（2）若函数y＝ax2﹣2ax+c在3≤x≤4时有最大值为a+2，求a的值；
（3）连接AP，过点A作AP的垂线交x轴于点M．设△BMP的面积为S．
①直接写出S关于a的函数关系式及a的取值范围；
②结合S与a的函数图象，直接写出S＞时a的取值范围．

【答案】（1）点A（0，1），点B（﹣2，0），c＝1；
（2）a＝；
（3）①S＝；
②a＜且a≠0或a＞．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+1与x，y轴分别交于点B，A，
∴点A（0，1），点B（﹣2，0），
∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A，
∴c＝1；
（2）∵y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2+1﹣a，
∴对称轴为直线x＝1，
当a＞0，3≤x≤4时，y随x的增大而增大，
∴当x＝4时，y有最大值，
∴9a+1﹣a＝a+2，
解得：a＝；
当a＜0，3≤x≤4时，y随x的增大而减小，
∴当x＝3时，y有最大值，
∴4a+1﹣a＝a+2，
解得：a＝（不合题意舍去），
综上所述：a＝；
（3）①当a＜0时，则1﹣a＞1，
如图1，过点P作PN⊥y轴于N，

∵y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2+1﹣a，
∴点P坐标为（1，1﹣a），
∴PN＝AO＝1，AN＝1﹣a﹣1＝﹣a，
∵AM⊥AP，PN⊥y轴，
∴∠PNA＝∠PAM＝90°＝∠AOM，
∴∠PAN+∠OAM＝90°，∠OAM+∠AMO＝90°，
∴∠PAN＝∠AMO，
∴△AOM≌△PNA（AAS），
∴OM＝AN＝﹣a，
∴BM＝2﹣a，
∴S＝×（2﹣a）（1﹣a）＝a2﹣a+1；
当a＞0，1﹣a＞0时，即0＜a＜1，
如图2，过点P作PN⊥y轴于N，

∴PN＝1＝OA，AN＝1﹣（1﹣a）＝a，
同理可得△AOM≌△PNA，
∴OM＝AN＝a，
∴BM＝2﹣a，
∴S＝×（2﹣a）（1﹣a）＝a2﹣a+1；
当a＞0，﹣1＜1﹣a＜0时，即1＜a＜2，
如图3，过点P作PN⊥y轴于N，

∴PN＝1＝OA，ON＝a﹣1，AN＝1+a﹣1＝a，
同理可得△AOM≌△PNA，
∴OM＝AN＝a，
∴BM＝2﹣a，
∴S＝×（2﹣a）（a﹣1）＝﹣a2+a﹣1；
当a＝2时，点B与点M重合，不合题意，
当a＞0，1﹣a＜﹣1时，即a＞2，
如图4，过点P作PN⊥y轴于N，

∴PN＝1＝OA，ON＝a﹣1，AN＝1+a﹣1＝a，
同理可得△AOM≌△PNA，
∴OM＝AN＝a，
∴BM＝a﹣2，
∴S＝×（a﹣2）（a﹣1）＝a2﹣a+1；
综上所述：S＝．
②当1＜a＜2时，S＝﹣a2+a﹣1＝﹣（a﹣）2+≤，
∴当1＜a＜2时，不存在a的值使S＞；
当a＜1且a≠0时，S＝a2﹣a+1＞，
∴（a﹣）（a﹣）＞0，
∴a＜或a＞（不合题意舍去）；
当a＞2时，S＝a2﹣a+1＞，
∴（a﹣）（a﹣）＞0，
∴a＜（不合题意舍去）或a＞，
综上所述：a＜且a≠0或a＞．
9．（2022秋•盱眙县期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（﹣1，0），连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
（1）求b、c的值．
（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？
（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）b＝2，c＝3；（2）t＝2，最小值为4；（3）（，）．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（﹣1，0），
则 ，
解得：；
（2）由（1）得：抛物线表达式为y＝﹣x2+2x+3，C（0，3），A（3，0），
∴△OAC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
由点P的运动可知：AP＝t，
过点P作PH⊥x轴，垂足为H，如图，

∴AH＝PH＝＝t，即H（3﹣t，0），
又Q（﹣1+t，0），
∴S四边形BCPQ＝S△ABC﹣S△APQ
＝
＝
＝（t﹣2）2+4，
∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，
AC＝，AB＝4，
∴0≤t≤3，
∴当t＝2时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为4；
（3）存在．假设点M是线段AC上方的抛物线上的点，
如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，连接MQ，MP．
∵△PMQ是等腰直角三角形，PM＝PQ，∠MPQ＝90°，
∴∠MPF+∠QPE＝90°，又∠MPF+∠PMF＝90°，
∴∠PMF＝∠QPE，
在△PFM和△QEP中，
，
∴△PFM≌△QEP（AAS），
∴MF＝PE＝t，PF＝QE＝4﹣2t，
∴EF＝4﹣2t+t＝4﹣t，
又OE＝3﹣t，
∴点M的坐标为（3﹣2t，4﹣t），
∵点M在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，
∴4﹣t＝﹣（3﹣2t）2+2（3﹣2t）+3，
解得：t＝或（舍），
∴M点的坐标为（，）．

六．直线与圆的位置关系（共1小题）
10．（2020秋•盱眙县期末）如图，C．D是以AB为直径的⊙O上两点，且∠ADC＝45°，过点C作CE∥AB．
（1）请判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，∠ACD＝60°，求图中阴影部分的面积．

【答案】（1）见解析；
（2）﹣．
【解答】解：（1）直线CE与⊙O相切．
理由如下：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ADC＝45°，
∴∠BDC＝45°，
连接OC，BC，
∵＝，＝，
∴∠BAC＝∠BDC＝45°，∠ABC＝∠ADC＝45°，
∴∠BAC＝∠ABC，
∴AC＝BC，
∵AO＝BO，
∴CO⊥AB，
∴∠AOC＝90°，
∵CE∥AB，
∴∠OCE＝∠AOC＝90°，
∴OC⊥CE，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线CE与⊙O相切；
（2）连接OD，∵＝，
∴∠ABD＝∠ACD＝60°，
∵OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD＝OB＝2，
在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝2，AB2＝AD2+BD2，
∴AD＝＝＝2，
∴S△ABC＝AD•BD＝×2×2＝2，
∵AO＝BO，
∴S△BOD＝S△ABD＝，
∵S扇形OBD＝＝，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形OBD﹣S△BOD＝﹣．

七．切线的性质（共2小题）
11．（2021秋•盱眙县期末）如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．
（1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC＝2，⊙O的半径是3，求BE的长．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）直线CD和⊙O的位置关系是相切，
理由是：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∵∠CDA＝∠CBD，
∴∠DAB+∠CDA＝90°，
∵OD＝OA，
∴∠DAB＝∠ADO，
∴∠CDA+∠ADO＝90°，即OD⊥CE，
已知D为⊙O的一点，∴直线CD是⊙O的切线，
即直线CD和⊙O的位置关系是相切；
（2）∵AC＝2，⊙O的半径是3，
∴OC＝2+3＝5，OD＝3，
在Rt△CDO中，由勾股定理得：CD＝4，
∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，
∴DE＝EB，∠CBE＝90°，
设DE＝EB＝x，
在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE2＝BE2+BC2，
则（4+x）2＝x2+（5+3）2，
解得：x＝6，
即BE＝6．

12．（2022秋•盱眙县期末）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．
（1）求证：△CBA≌△DAB；
（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．

【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△CBA与Rt△DAB中，，
∴Rt△CBA≌Rt△DAB（HL）；
（2）解：∵BE＝BF，由（1）知BC⊥EF，
∴∠E＝∠BFE，
∵BE是半圆O所在圆的切线，
∴∠ABE＝90°，
∴∠E+∠BAE＝90°，
由（1）知∠D＝90°，
∴∠DAF+∠AFD＝90°，
∵∠AFD＝∠BFE，
∴∠AFD＝∠E，
∵∠DAF＝90°﹣∠AFD，∠BAF＝90°﹣∠E，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴AC平分∠DAB．
八．切线的判定与性质（共1小题）
13．（2022秋•盱眙县期末）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）连接OD，如图，

∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAE＝∠OAD，
∴∠ADO＝∠DAE，
∴OD∥AE，
∵DE∥BC，
∴∠E＝90°，
∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OF＝1，BF＝2，
∴OB＝3，
∴AF＝4，BA＝6．
∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°，
∴∠ADB＝∠DFB，
又∵∠DBF＝∠ABD，
∴△DBF∽△ABD，
∴＝，
∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．
∴BD＝2．
解法二：利用勾股定理求出DF，再利用勾股定理求出BD即可．
九．弧长的计算（共1小题）
14．（2022秋•盱眙县期末）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上．（每个小方格的顶点叫格点）
（1）画出△ABC向下平移3个单位后的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A2B2C2，并求点A旋转到A2所经过的路线长．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）画出△A1B1C1；
（2）画出△A2B2C2
连接OA，OA2，，
点A旋转到A2所经过的路线长为．

一十．圆的综合题（共3小题）
15．（2020秋•盱眙县期末）如图，△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，过点C任作一条直线CD，将线段BC沿直线CD翻折得线段CE，直线AE交直线CD于点F．
（1）小智同学通过思考推得当点E在AB上方时，∠AEB的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程：
∵AC＝BC＝EC，
∴A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上．
∴∠AEB＝　　∠ACB＝　45　°．
（2）若BE＝2，求CF的长．
（3）线段AE最大值为 　8　；若取BC的中点M，则线段MF的最小值为 　2﹣2　．


【答案】（1），45；（2）﹣1；（3）8；2﹣2．
【解答】解：（1）∵AC＝BC＝EC，
∴A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上，
∴∠AEB＝，
故答案为：，45；
（2）由折叠可知，CD垂直平分BE，
∴BE⊥CD，
设CD、BE交于点G，则GE＝BG＝，

∴∠FGE＝90°，
∵∠AEB＝45°，
∴FG＝GE＝1，
在Rt△CEG中，
由勾股定理得，CG＝＝，
∴CF＝CG﹣FG＝﹣1；
（3）∵A，B，E，三点在以C为圆心，以AC为半径的圆上，

∴当AE经过圆心C时，线段AE的最大值为2AC＝8，
在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝4，
BM＝CM＝，∠ABC＝∠BAC＝45°，
连接BF，取AB的中点O，连接OF，如图，

∵CD垂直平分BE，∠AEB＝45°，
∴BF＝EF，
∴∠EBF＝∠AEB＝45°，
∴∠EFB＝90°，
∴∠AFB＝90°，
∴OF＝，
∴点F在以点O为圆心，AB为直径的圆上，
∵∠ACB＝90°，
∴点C在⊙O上，
∴当OF经过点M时，MF最短，此时OF⊥BC，
∴OM＝BM•tan∠ABC＝2×1＝2，
∴MF＝OF﹣OM＝2﹣2，
即线段MF的最小值为2﹣2，
故答案为：8；2﹣2．
16．（2021秋•盱眙县期末）（1）【学习心得】
小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝　45或135　°．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．
小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆；△BCD的外接圆也是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．
（3）【问题拓展】
如图3，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝6，CD＝2，求AD的长．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，
∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上，
∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，
∴∠BDC＝∠BAC＝45°，
同理，当点D在弧BC上时，∠BDC＝135°．
故答案为：45°或135；

（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴点A、B、C、D共圆，
∴∠BDC＝∠BAC，
∵∠BDC＝25°，
∴∠BAC＝25°，

（3）如图3，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E，作OF⊥AD于点F，连接OA、OB、OC．
∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°．
在Rt△BOC中，BC＝6+2＝8，
∴BO＝CO＝4．
∵OE⊥BC，O为圆心，
∴BE＝BC＝4，
∴DE＝OF＝2．
在Rt△BOE中，BO＝4，BE＝4，
∴OE＝DF＝4．
在Rt△AOF中，AO＝4，OF＝2，
∴AF＝2，
∴AD＝2+4．



17．（2022秋•盱眙县期末）阅读理解：
小明热爱数学，在课外数学资料上看到平行四边形一个性质定理：任意平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和．如图1，在平行四边形ABCD中，AC2+BD2＝AB2+BC2+CD2+DA2．由此，他探究得到三角形的一个性质：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．
（1）说理证明：
如图2，在△ABC中，若点D为BC的中点，则有：AB2+AC2＝2AD2+2BD2．请你证明小明得到的三角形性质的正确性．

（2）理解运用：
①在△ABC中，点D为BC的中点，AB＝4，AC＝3，BC＝6，则AD＝　　；
②如图3，⊙O的半径为6，点A在圆内，且OA＝4，点B和点C在⊙O上，且∠BAC＝90°，点E、F分别为AO、BC的中点，则EF的长为 　　；
（3）拓展延伸：
如图4，已知⊙O的半径为2，以A（2，2）为直角顶点的△ABC的另两个顶点B，C都在⊙O上，D为BC的中点，则AD长的最大值为 　3　．

【答案】（1）证明见解答过程；
（2）①；②；
（3）3．
【解答】（1）证明：过点A作AE⊥BC于点E，如图，

设BD＝CD＝x，DE＝y，
在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2，
同理可得：AC2＝AE2+CE2，AD2＝AE2+DE2，
∴AB2+AC2＝2AE2+CE2+BE2＝2AE2+（x﹣y）2+（x+y）2＝2AE2+2x2+2y2，
∵BD2＝x2，DE2＝y2，
∴AB2+AC2＝2AE2+2BD2+2DE2＝2（AE2+DE2）+2BD2＝2AD2+2BD2；
（2）解：①由（1）知AB2+AC2＝2AD2+2BD2，
∵点D为BC的中点，BC＝6，
∴BD＝3，
∵AB＝4，AC＝3，
∴42+32＝2AD2+2×32，
∴AD＝；
故答案为：；
②连接OC，OF，OB，AF，如图，

∵AF是△ABC的中线，EF是△AFO的中线，
∴2AF2+2BF2＝AB2+AC2，2EF2+2AE2＝AF2+OF2，
∴BF2＝AB2+AC2﹣AF2，OF2＝2EF2+2AE2﹣AF2，
∵OB＝OC，OF是△BOC的中线，
∴OF⊥BC，
∴OF2＝OB2﹣BF2，
∴2EF2+2AE2﹣AF2＝OB2﹣（AB2+AC2﹣AF2），
∴4EF2＝2OB2﹣AB2﹣AC2+4AF2﹣4AE2，
∵∠BAC＝90°，
∴AB2+AC2＝BC2＝（2AF）2＝4AF2，
∴4EF2＝2OB2﹣4AE2，
∵OA＝2AE，
∴4AE2＝OA2，
∴4EF2＝2OB2﹣OA2，
∴EF2＝OB2﹣OA2＝×62﹣×（4）2＝10，
∴EF＝（负值已经舍弃），
故答案为 ；
（3）解：连接OA，取OA的中点E，连接DE，AD，如图：

∵A（2，2），
∴OA＝2，
由（2）的②可知：DE2＝OB2﹣OA2＝×（2）2﹣×（2）2＝8，
∴DE＝2，
在△ADE中，AE＝，DE＝2，
∴当A，E，D共线时，AD长的最大值为+2＝3，如图：

故答案为：3．