上海市徐汇区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编
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上海市徐汇区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题(提升题)知识点分类
一.二次函数综合题(共3小题)
1.(2020秋•徐汇区期末)已知二次函数y=ax2﹣2ax+a+4(a<0)的大致图象如图所示,这个函数图象的顶点为点D.
(1)求该函数图象的开口方向、对称轴及点D的坐标;
(2)设该函数图象与y轴正半轴交于点C,与x轴正半轴交于点B,图象的对称轴与x轴交于点A,如果DC⊥BC,tan∠DBC=,求该二次函数的解析式;
(3)在(2)的条件下,设点M在第一象限该函数的图象上,且点M的横坐标为t(t>1),如果△ACM的面积是,求点M的坐标.
2.(2021秋•徐汇区期末)如图,抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,C为线段OA上的一个动点,过点C作x轴的垂线,交直线AB于点D,交该抛物线于点E.
(1)求直线AB的表达式,直接写出顶点M的坐标;
(2)当以B,E,D为顶点的三角形与△CDA相似时,求点C的坐标;
(3)当∠BED=2∠OAB时,求△BDE与△CDA的面积之比.
3.(2022秋•徐汇区期末)在平面直角坐标系xOy(如图)中,抛物线y=ax2+bx+2经过点A(4,0)、B(2,2),与y轴的交点为C.
(1)试求这个抛物线的表达式;
(2)如果这个抛物线的顶点为M,求△AMC的面积;
(3)如果这个抛物线的对称轴与直线BC交于点D,点E在线段AB上,且∠DOE=45°,求点E的坐标.
二.相似三角形的判定与性质(共2小题)
4.(2021秋•徐汇区期末)已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=4,BC=6,对角线BD,AC相交于点E,过点A作AF∥DC,交对角线BD于点F.
(1)求的值;
(2)设=,=,请用向量、表示向量.
5.(2021秋•徐汇区期末)如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,射线CD交AB于点D,点E是CD上一点,且∠AEC=∠ABC,联结BE.
(1)求证:△ACD∽△EBD;
(2)如果CD平分∠ACB,求证:AB2=2ED•EC.
三.相似形综合题(共3小题)
6.(2020秋•徐汇区期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=12,BC=5,点D是边AC上的动点,以CD为边在△ABC外作正方形CDEF,分别联结AE、BE,BE与AC交于点G
(1)当AE⊥BE时,求正方形CDEF的面积;
(2)延长ED交AB于点H,如果△BEH和△ABG相似,求sin∠ABE的值;
(3)当AG=AE时,求CD的长.
7.(2021秋•徐汇区期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,cotA=,点D为边AC上的一个动点,以点D为顶点作∠BDE=∠A,射线DE交边AB于点E,过点B作射线DE的垂线,垂足为点F.
(1)当点D是边AC中点时,求tan∠ABD的值;
(2)求证:AD•BF=BC•DE;
(3)当DE:EF=3:1时,求AE:EB.
8.(2022秋•徐汇区期末)如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,点D为边BC上一动点(与点B、C不重合),点E为AB上一点,∠EDB=∠ADC,过点E作EF⊥AD,垂足为点G,交射线AC于点F.
(1)如果点D为边BC的中点,求∠DAB的正切值;
(2)当点F在边AC上时,设CD=x,CF=y,求y关于x的函数解析式及x的取值范围;
(3)联结DF,如果△CDF与△AGE相似,求线段CD的长.
四.解直角三角形(共1小题)
9.(2022秋•徐汇区期末)如图,已知在△ABC中,CD⊥AB,垂足为点D,AD=2,BD=6,tanB=,点E是边BC的中点.
(1)求边AC的长;
(2)求∠EAB的正弦值.
五.解直角三角形的应用-坡度坡角问题(共1小题)
10.(2021秋•徐汇区期末)图1是一种自卸货车,图2是该货车的示意图,货箱侧面是一个矩形,长AB=4米,宽BC=2米,初始时点A、B、F在同一水平线上,车厢底部AB离地面的高度为1.3米.卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点A旋转,箱体底部AB形成不同角度的斜坡.
(1)当斜坡AB的坡角为37°时,求车厢最高点C离地面的距离;
(2)点A处的转轴与后车轮转轴(点E处)的水平距离叫做安全轴距,已知该车的安全轴距为0.7m.货厢对角线AC、BD的交点G是货厢侧面的重心,卸货时如果A、G两点的水平距离小于安全轴距时,会发生车辆倾覆安全事故.
当斜坡AB的坡角为45°时,根据上述车辆设计技术参数,该货车会发生车辆倾覆安全事故吗?试说明你的理由.(精确到0.1米,参考值:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37≈0.75,≈1.4142)
六.解直角三角形的应用-仰角俯角问题(共2小题)
11.(2020秋•徐汇区期末)为加强对市内道路交通安全的监督,王警官利用无人机进行检测.某高架路有一段限速每小时60千米的道路AB(如图所示),当无人机在限速道路的正上方C处时,测得限速道路的起点A的俯角是37°,无人机继续向右水平飞行220米到达D处,此时又测得起点A的俯角是30°,同时测得限速道路终点B的俯角是45°(注:即四边形ABDC是梯形).
(1)求限速道路AB的长(精确到1米);
(2)如果李师傅在道路AB上行驶的时间是1分20秒,请判断他是否超速?并说明理由.
(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,≈1.73)
12.(2022秋•徐汇区期末)如图,在大楼AB的正前方有一斜坡CD,CD=26米,坡度i=1:2.4,小明在斜坡下端C处测得楼顶点B的仰角为60°,在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为30°,DE与地面垂直,垂足为E,其中点A、C、E在同一直线上.
(1)求DE的值;
(2)求大楼AB的高度(结果保留根号).
上海市徐汇区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题(提升题)知识点分类
参考答案与试题解析
一.二次函数综合题(共3小题)
1.(2020秋•徐汇区期末)已知二次函数y=ax2﹣2ax+a+4(a<0)的大致图象如图所示,这个函数图象的顶点为点D.
(1)求该函数图象的开口方向、对称轴及点D的坐标;
(2)设该函数图象与y轴正半轴交于点C,与x轴正半轴交于点B,图象的对称轴与x轴交于点A,如果DC⊥BC,tan∠DBC=,求该二次函数的解析式;
(3)在(2)的条件下,设点M在第一象限该函数的图象上,且点M的横坐标为t(t>1),如果△ACM的面积是,求点M的坐标.
【答案】(1)对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,4),开口向下;
(2)y=﹣x2+2x+3;
(3)(,).
【解答】解:(1)∵y=ax2﹣2ax+a+4=a(x2﹣2x+1)+4=a(x﹣1)2+4,
∴抛物线的对称轴为直线x=1,顶点D(1,4),
∵a<0,
∴抛物线的开口向下;
(2)由(1)知,抛物线的对称轴为x=1,
∴A(1,0),
对于y=ax2﹣2ax+a+4,
令x=0,则y=a+4,
∴C(0,a+4),
如图1,
过点D作DH⊥y轴于H,
∴∠CDH+∠DCH=90°,
∵DC⊥BC,
∴∠BCD=90°,
∴∠DCH+∠OCB=90°,
∴∠CDH=∠BCO,
∵∠BOC=∠CHD=90°,
∴△CDH∽△BCO,
∴,
在Rt△BDC中,tan∠DBC=,
∵D(1,4),
∴DH=1,
∴,
∴CO=3,
∴a+4=3,
∴a=﹣1,
∴二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3;
(3)如图2,
由(2)知,a=﹣1,
∴C(0,3),
∴OC=3,
连接OM,设点M的横坐标为t(t>1),
∴点M的纵坐标为﹣t2+2t+3,
∵△ACM的面积是,
∴S△ACM=S△OCM+S△OAM﹣S△AOC
=×3t+×1×(﹣t2+2t+3)﹣×1×3
=,
∴t=,
∴M(,).
2.(2021秋•徐汇区期末)如图,抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,C为线段OA上的一个动点,过点C作x轴的垂线,交直线AB于点D,交该抛物线于点E.
(1)求直线AB的表达式,直接写出顶点M的坐标;
(2)当以B,E,D为顶点的三角形与△CDA相似时,求点C的坐标;
(3)当∠BED=2∠OAB时,求△BDE与△CDA的面积之比.
【答案】(1)y=﹣x+2,M(,); (2)(,0)或(,0);(3).
【解答】解:(1)令y=0,则﹣x2+x+2=0,
∴x=﹣或x=3,
∴A(3,0),
令x=0,则y=2,
∴B(0,2),
设直线AB的解析式为y=kx+b,
∴,
∴,
∴y=﹣x+2,
∵y=﹣x2+x+2=﹣(x﹣)2+,
∴M(,);
(2)∵∠ADC=∠BDE,∠ACD=90°,
∴△BED是直角三角形,
设C(t,0),
①如图1,当∠BED=90°,时,BE∥AC,
∴E(t,2),
∴﹣t2+t+2=2,
∴t=0(舍)或t=,
∴C(,0);
②如图2,当∠EBD=90°时,
过点E作EQ⊥y轴交于点Q,
∵∠BAO+∠ABO=90°,∠ABO+∠QBE=90°,
∴∠QBE=∠BAO,
∴△ABO∽△BEQ,
∴=,即=,
∴BQ=t,
∴E(t,2+t),
∴2+t=﹣t2+t+2,
∴t=0(舍)或t=,
∴C(,0);
综上所述:C点的坐标为(,0)或(,0);
(3)如图3,作BA的垂直平分线交x轴于点Q,连接BQ,过点B作BG⊥EC于点G,
∴BQ=AQ,
∴∠BQA=∠QAB,
∵∠BED=2∠OAB,
∴∠BQO=∠BED,
在Rt△BOQ中,BQ2=BO2+OQ2,
∴BQ2=4+(3﹣BQ)2,
∴BQ=,
∴QO=,
∴tan∠BQO=,
∴tan∠BEG=,
设C(t,0),则D(t,﹣t+2),E(t,﹣t2+t+2),
∵BG=t,DE=﹣t2+4t,AC=3﹣t,DC=﹣t+2,EG=﹣t2+t,
∴=,
∴t=,
∴S△BDE=ED•BG,
S△CDA=AC•CD,
∴===.
3.(2022秋•徐汇区期末)在平面直角坐标系xOy(如图)中,抛物线y=ax2+bx+2经过点A(4,0)、B(2,2),与y轴的交点为C.
(1)试求这个抛物线的表达式;
(2)如果这个抛物线的顶点为M,求△AMC的面积;
(3)如果这个抛物线的对称轴与直线BC交于点D,点E在线段AB上,且∠DOE=45°,求点E的坐标.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)将A(4,0),B(2,2)代入y=ax2+bx+2,得:,
解得:,
∴抛物线的表达式为y=﹣x2+x+2.
(2)∵y=﹣x2+x+2=﹣(x﹣1)2+,
∴顶点M的坐标为(1,).
当x=0时,y=﹣x2+x+2=2,
∴点C的坐标为(0,2).
过点M作MH⊥y轴,垂足为点H,如图1所示.
∴S△AMC=S梯形AOHM﹣S△AOC﹣S△CHM,
=(HM+AO)•OH﹣AO•OC﹣CH•MH,
=×(1+4)×﹣×4×2﹣×(﹣2)×1,
=.
(3)连接OB,过点B作BG⊥x轴,垂足为点G,如图2所示.
∵点B的坐标为(2,2),点A的坐标为(4,0),
∴BG=2,GA=2,
∴△BGA是等腰直角三角形,
∴∠BAO=45°.
同理,可得:∠BOA=45°.
∵点C的坐标为(2,0),
∴BC=2,OC=2,
∴△OCB是等腰直角三角形,
∴∠DBO=45°,BO=2,
∴∠BAO=∠DBO.
∵∠DOE=45°,
∴∠DOB+∠BOE=45°.
∵∠BOE+∠EOA=45°,
∴∠EOA=∠DOB,
∴△AOE∽△BOD,
∴=.
∵抛物线y=﹣x2+x+2的对称轴是直线x=1,
∴点D的坐标为(1,2),
∴BD=1,
∴=,
∴AE=,
过点E作EF⊥x轴,垂足为点F,则△AEF为等腰直角三角形,
∴EF=AF=1,
∴点E的坐标为(3,1).
二.相似三角形的判定与性质(共2小题)
4.(2021秋•徐汇区期末)已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=4,BC=6,对角线BD,AC相交于点E,过点A作AF∥DC,交对角线BD于点F.
(1)求的值;
(2)设=,=,请用向量、表示向量.
【答案】(1);(2).
【解答】解:(1)∵AD∥BC,
∴△ADE∽△CBE,
∴,
∵AF∥CD,
∴,
设EF=4x,则DE=6x,BF=5x,
∴,
(2)∵AD=4,BC=6,AD∥BC,
∴BC=,△ADE∽△CBE,
∴,,
∴AE=,
∵,
∴,
∴
=+,
∴
=
=.
5.(2021秋•徐汇区期末)如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,射线CD交AB于点D,点E是CD上一点,且∠AEC=∠ABC,联结BE.
(1)求证:△ACD∽△EBD;
(2)如果CD平分∠ACB,求证:AB2=2ED•EC.
【答案】(1)证明过程见解答;
(2)证明过程见解答.
【解答】证明:(1)∵∠AEC=∠ABC,∠ADE=∠BDC,
∴△ADE∽△CDB,
∴,
又∵∠ADC=∠EDB,
∴△ACD∽△EBD;
(2)∵△ADE∽△CDB,
∴∠DCB=∠EAB,
∵△ACD∽△EBD,
∴∠ACD=∠EBD,
∵∠ACB=90°,
∴∠EAB+∠EBD=∠DCB+∠ACD=90°,
∴∠AEB=90°,
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD=45°,
∴∠EBD=∠EAB=45°,
∴EA=EB,
∴△EAB是等腰直角三角形,
∴∠EAD=∠ACE,∠AED=∠CEA,
∵△AED∽△CEA,
∴=,
∴AE2=ED•EC,
∵AE2+EB2=AB2,
∴2AE2=AB2,
∴AE2=AB2,
∴AB2=ED•EC,
∴AB2=2ED•EC.
三.相似形综合题(共3小题)
6.(2020秋•徐汇区期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=12,BC=5,点D是边AC上的动点,以CD为边在△ABC外作正方形CDEF,分别联结AE、BE,BE与AC交于点G
(1)当AE⊥BE时,求正方形CDEF的面积;
(2)延长ED交AB于点H,如果△BEH和△ABG相似,求sin∠ABE的值;
(3)当AG=AE时,求CD的长.
【答案】(1).
(2).
(3)1+.
【解答】解:(1)如图1中,
∵四边形ABCD是正方形,
∴CD=DE=EF=CF,∠CDE=∠DEF=∠F=90°,
∵AE⊥BE,
∴∠AEB=∠DEF=90°,
∴∠AED=∠BEF,
∵∠ADE=∠F=90°,DE=FE,
∴△ADE≌△BFE(ASA),
∴AD=BF,
∴AD=5+CF=5+CD,
∵AC=CD+AD=12,
∴CD+5+CD=12,
∴CD=,
∴正方形CDEF的面积为.
(2)如图2中,过点A作AM⊥BE于M.
∵∠ABG=∠EBH,
∴当∠BAG=∠BEH=∠CBG时,△ABG∽△EBH,
∵∠BCG=∠ACB,∠CBG=∠BAG,
∴△CBG∽△CAB,
∴CB2=CG•CA,
∴CG=,
∴BG===,
∴AG=AC﹣CG=,
∵∠BCG=∠AMG=90°,∠CGB=∠AGM,
∴∠GAM=∠CBG,
∴cos∠GAM=cos∠CBG===,
∴AM=,
∵AB===13,
∴sin∠ABM==.
(3)如图3中,延长CA到N,使得AN=AG.
∵AE=AG=AN,
∴∠GEN=90°,
由(1)可知,△NDE≌△BFE,
∴ND=BF,
设CD=DE=EF=CF=x,则AD=12﹣x,DN=BF=5+x,
∴AN=AE=5+x﹣(12﹣x)=2x﹣7,
在Rt△ADE中,∵AE2=AD2+DE2,
∴x2+(12﹣x)2=(2x﹣7)2,
∴x=1+或1﹣(舍弃),
∴CD=1+.
7.(2021秋•徐汇区期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,cotA=,点D为边AC上的一个动点,以点D为顶点作∠BDE=∠A,射线DE交边AB于点E,过点B作射线DE的垂线,垂足为点F.
(1)当点D是边AC中点时,求tan∠ABD的值;
(2)求证:AD•BF=BC•DE;
(3)当DE:EF=3:1时,求AE:EB.
【答案】(1);(2)见解析;(3)5:3.
【解答】(1)解:如图,过点D作DG⊥AB于G,
在Rt△ABC中,
cotA=,
设AC=a,BC=a,
∵∠ACB=90°,
∴AB===a,
∵D是AC的中点,
∴AD=,
∵S,
∴DG=,
在Rt△ADG中,
AG===,
∴BG=AB﹣AG=a﹣=,
在Rt△GDB中,tan;
(2)证明:∵∠BDE=∠A,∠DBE=∠ABD,
∴△ADB∽△DEB,
∴,
∵∠F=∠C=90°,∠A=∠BDE,
∴△ACB∽△DFB,
∴,
∴,
∴AD•BF=BC•DE;
(3)解:∵DE:EF=3:1,
∴设DE=3x,EF=x,
∴DF=4x,
∵∠A=∠BDE,
∴cotA=cot∠BDE=,
在 Rt△BDF中,cot,
∴BF=x,
在Rt△BEF中,BE=
=
=3x,
在Rt△BDF中,DB=
==2x,
由(2)可知,△ADB∽△DEB,
∴,
∴,
∴AB=8x,
∴AE=AB﹣BE=5x,
∴AE+EB=5:3,
即AE:EB=5:3.
8.(2022秋•徐汇区期末)如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,点D为边BC上一动点(与点B、C不重合),点E为AB上一点,∠EDB=∠ADC,过点E作EF⊥AD,垂足为点G,交射线AC于点F.
(1)如果点D为边BC的中点,求∠DAB的正切值;
(2)当点F在边AC上时,设CD=x,CF=y,求y关于x的函数解析式及x的取值范围;
(3)联结DF,如果△CDF与△AGE相似,求线段CD的长.
【答案】(1)tan△DAB=.
(2)y=4﹣2x(0<x<2).
(3)4﹣4或8﹣4或.
【解答】解:(1)如图1中,过点D作DH⊥AB于H.
∵CA=CB=4,∠ACB=90°,
∴AB===4,
∵CD=DB=2,∠B=45°,∠DHB=90°,
∴DH=BH=DB=,
∴AH=AB﹣BH=3,
∴tan∠DAB==.
(2)如图2中,过点A作AT⊥AC,延长FE交AT于T,直线DE交AT于K,交AC的延长线于R.
∵AT⊥AC,BC⊥AC,
∴AT∥BC,
∴∠ADC=∠DAK,∠EDB=∠AKD,
∵∠ADC=∠EDB,
∴∠DAK=∠DKA,
∴DA=DK,
∵∠R+∠DKA=90°,∠DAC+∠DAK=90°,
∴∠DAC=∠R,
∴DA=DR,
∵DC⊥AR,
∴AC=CR=4,
∵∠AFE+∠CAD=90°,∠AKE+∠R=90°,
∴∠AFE=∠AKE,
∵∠EAF=∠EAK=45°,AE=AE,
∴△AEF≌△AEK(AAS),
∴AF=AK,
∵∠RAK=∠TAF=90°,∠AKR=∠AFT,
∴△AKR≌△AFT(ASA),
∴AR=AT=8,∠R=∠T=∠DAC,
∵∠ACD=∠TAF,
∴△ACD∽△TAF,
∴==,
∴AF=2CD=2x,
∵CF+AF=4,
∴y+2x=4,
∴y=4﹣2x(0<x<2).
(3)如图3中,连接DF,作DH⊥AB于H.
∵∠GAE=∠DAH,∠AGE=∠AHD,
∴△AGE∽△AHD,
∵△CDF与△AGE相似,
∴△CFD与△ADH相似,
∴=或=,
∴=或=,
整理得,x2+8x﹣16=0或x2﹣16x+16=0,
解得,x=4﹣4或﹣4﹣4(舍弃)或8﹣4或8+4(舍弃),
∴CD=4﹣4或8﹣4,
当点F在下方时,同法可得,CD=,
综上所述,满足条件的CD的值为4﹣4或8﹣4或.
四.解直角三角形(共1小题)
9.(2022秋•徐汇区期末)如图,已知在△ABC中,CD⊥AB,垂足为点D,AD=2,BD=6,tanB=,点E是边BC的中点.
(1)求边AC的长;
(2)求∠EAB的正弦值.
【答案】(1)2;(2).
【解答】解:(1)∵CD⊥AB,
∴△ACD、△BCD均为直角三角形.
在Rt△CDB中,
∵BD=6,tanB==,
∴CD=4.
在Rt△CDA中,
AC=
=
=2.
(2)过点E作EF⊥AB,垂足为F.
∵CD⊥AB,EF⊥AB,
∴CD∥EF.
又∵点E是边BC的中点,
∴EF是△BCD的中位线.
∴DF=BF=3,EF=CD=2.
∴AF=AD+DF=5.
在Rt△AEF中,
AE=
=
=.
∴sin∠EAB=
=
=.
五.解直角三角形的应用-坡度坡角问题(共1小题)
10.(2021秋•徐汇区期末)图1是一种自卸货车,图2是该货车的示意图,货箱侧面是一个矩形,长AB=4米,宽BC=2米,初始时点A、B、F在同一水平线上,车厢底部AB离地面的高度为1.3米.卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点A旋转,箱体底部AB形成不同角度的斜坡.
(1)当斜坡AB的坡角为37°时,求车厢最高点C离地面的距离;
(2)点A处的转轴与后车轮转轴(点E处)的水平距离叫做安全轴距,已知该车的安全轴距为0.7m.货厢对角线AC、BD的交点G是货厢侧面的重心,卸货时如果A、G两点的水平距离小于安全轴距时,会发生车辆倾覆安全事故.
当斜坡AB的坡角为45°时,根据上述车辆设计技术参数,该货车会发生车辆倾覆安全事故吗?试说明你的理由.(精确到0.1米,参考值:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37≈0.75,≈1.4142)
【答案】(1)车厢最高点C离地面的距离是5.3米;
(2)不会发生安全事故,理由见解答.
【解答】解:过点C作CH⊥AF,垂足为H,过点B作BP⊥AF,垂足为P,过点B作BQ⊥CH,垂足为Q,
则四边形BPHQ为矩形,
∴BP=QH,
在Rt△ABP中,BP=ABsin37°=4×0.6=2.4(m),
∴BP=QH=2.4(m),
∵BQ∥AP,
∴∠BAF=∠QBA=37°,
∴∠CBQ=∠CBA﹣∠QBA=90°﹣37°=53°,
∵∠BQC=90°,
∴∠BCQ=90°﹣∠CBQ=37°,
在Rt△BCQ中,CQ=BCcos37°=2×0.8=1.6(m),
∴1.6+2.4+1.3=5.3(m),
答:车厢最高点C离地面的距离是5.3米;
(2)不会发生安全事故,
理由是:过点G作GO⊥AF,垂足为O,过点C作CM⊥AF,垂足为M,交AB于点I,过点B作BN⊥AF,垂足为N,过点B作BK⊥CM,垂足为K,
则四边形BNMK为矩形,
∴BN=KM,
在Rt△ABN中,BN=ABsin45°=4×=(m),
∴BN=KM=(m),
∵BK∥AN,
∴∠BAN=∠KBA=45°,
∴∠CBK=∠CBA﹣∠KBA=90°﹣45°=45°,
在Rt△BCK中,BK=BCcos45°=2×=(m),
∴BK=CK=(m),
在Rt△BKI中,
∵∠KBA=45°,
∴BK=KI=(m),
∴IM=KM﹣KI=(m),
在Rt△AMI中,
∵∠BAF=45°,
∴IM=AM=(m),
∵CM∥GO,
∴,
∵AG=CG,
∴AO=OM=AM=≈0.71(m),
∵0.71>0.7,
∴不会发生安全事故.
六.解直角三角形的应用-仰角俯角问题(共2小题)
11.(2020秋•徐汇区期末)为加强对市内道路交通安全的监督,王警官利用无人机进行检测.某高架路有一段限速每小时60千米的道路AB(如图所示),当无人机在限速道路的正上方C处时,测得限速道路的起点A的俯角是37°,无人机继续向右水平飞行220米到达D处,此时又测得起点A的俯角是30°,同时测得限速道路终点B的俯角是45°(注:即四边形ABDC是梯形).
(1)求限速道路AB的长(精确到1米);
(2)如果李师傅在道路AB上行驶的时间是1分20秒,请判断他是否超速?并说明理由.
(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,≈1.73)
【答案】(1)1507米;
(2)该车超速.
【解答】解:(1)根据题意,得∠CAB=37°,CD=220米,∠DAB=30°,∠DBA=45°,
如图,过点C和点D作CE和DF垂直于AB于点E和F,
∵CD∥AB,
∴四边形CDFE是矩形,
∴CE=DF,CD=EF,
∵∠DBA=45°,
∴DF=BF,
设DF=BF=CE=x米,
在Rt△ADF中,∠DAF=30°,DF=x米,
∴AF=DF=x(米),
∴AE=AF﹣EF=(x﹣220)米,
在Rt△AEC中,∠CAE=37°,
∵CE=AE•tan37°,
∴x=(x﹣220)×0.75,
解得x=60(3+4)=180+240,
∴AE=x﹣220=(320+240)米,
FB=x=(180+240)(米),
∴AB=AE+EF+FB
=320+240+220+180+240
=780+420
≈1507(米),
答:限速道路AB的长约为1507米;
(2)∵1分20秒=小时,
∴该汽车的速度约为:1507÷≈67.8km/h>60km/h,
∴该车超速.
12.(2022秋•徐汇区期末)如图,在大楼AB的正前方有一斜坡CD,CD=26米,坡度i=1:2.4,小明在斜坡下端C处测得楼顶点B的仰角为60°,在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为30°,DE与地面垂直,垂足为E,其中点A、C、E在同一直线上.
(1)求DE的值;
(2)求大楼AB的高度(结果保留根号).
【答案】大楼AB的高度为(15+12)米.
【解答】解:(1)∵斜坡CD的坡度为i=1:2.4,
∴=,
设DE=5x米,则CE=12x米,
在Rt△CDE中,CD=26米,
由勾股定理得(5x)2+(12x)2=(13x)2=262,
解得x=2.
∴斜坡CD的高度DE为10米;
(2)在Rt△CDE中,
∵CD=26米,DE=10米,
∴CE==24米,
过点D作DF⊥AB于点F.
则DE=AF=10米,DF=AE,
在Rt△BDF中,∠BDF=30°,
∴BF=DF,
设BF=a米,则DF=a米,
则AB=BF+AF=(10+a)米,
在Rt△ABC中,∠ACB=60°,
tan60°===,
解得AC=(10+a),
∴AE=AC+CE=(10+a)+24=a,
解得a=5+12.
∴AB=10+5+12=(15+12)米.
∴大楼AB的高度为(15+12)米.
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