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    上海市徐汇区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编

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    这是一份上海市徐汇区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编,文件包含上海市徐汇区三年2020-2022九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题提升题知识点分类doc、上海市徐汇区三年2020-2022九年级上学期期末数学试题汇编-02填空题知识点分类doc、上海市徐汇区三年2020-2022九年级上学期期末数学试题汇编-01选择题知识点分类doc、上海市徐汇区三年2020-2022九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题基础题知识点分类doc等4份试卷配套教学资源,其中试卷共86页, 欢迎下载使用。


    上海市徐汇区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题(提升题)知识点分类
    一.二次函数综合题(共3小题)
    1.(2020秋•徐汇区期末)已知二次函数y=ax2﹣2ax+a+4(a<0)的大致图象如图所示,这个函数图象的顶点为点D.
    (1)求该函数图象的开口方向、对称轴及点D的坐标;
    (2)设该函数图象与y轴正半轴交于点C,与x轴正半轴交于点B,图象的对称轴与x轴交于点A,如果DC⊥BC,tan∠DBC=,求该二次函数的解析式;
    (3)在(2)的条件下,设点M在第一象限该函数的图象上,且点M的横坐标为t(t>1),如果△ACM的面积是,求点M的坐标.

    2.(2021秋•徐汇区期末)如图,抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,C为线段OA上的一个动点,过点C作x轴的垂线,交直线AB于点D,交该抛物线于点E.
    (1)求直线AB的表达式,直接写出顶点M的坐标;
    (2)当以B,E,D为顶点的三角形与△CDA相似时,求点C的坐标;
    (3)当∠BED=2∠OAB时,求△BDE与△CDA的面积之比.

    3.(2022秋•徐汇区期末)在平面直角坐标系xOy(如图)中,抛物线y=ax2+bx+2经过点A(4,0)、B(2,2),与y轴的交点为C.
    (1)试求这个抛物线的表达式;
    (2)如果这个抛物线的顶点为M,求△AMC的面积;
    (3)如果这个抛物线的对称轴与直线BC交于点D,点E在线段AB上,且∠DOE=45°,求点E的坐标.

    二.相似三角形的判定与性质(共2小题)
    4.(2021秋•徐汇区期末)已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=4,BC=6,对角线BD,AC相交于点E,过点A作AF∥DC,交对角线BD于点F.
    (1)求的值;
    (2)设=,=,请用向量、表示向量.

    5.(2021秋•徐汇区期末)如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,射线CD交AB于点D,点E是CD上一点,且∠AEC=∠ABC,联结BE.
    (1)求证:△ACD∽△EBD;
    (2)如果CD平分∠ACB,求证:AB2=2ED•EC.

    三.相似形综合题(共3小题)
    6.(2020秋•徐汇区期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=12,BC=5,点D是边AC上的动点,以CD为边在△ABC外作正方形CDEF,分别联结AE、BE,BE与AC交于点G
    (1)当AE⊥BE时,求正方形CDEF的面积;
    (2)延长ED交AB于点H,如果△BEH和△ABG相似,求sin∠ABE的值;
    (3)当AG=AE时,求CD的长.

    7.(2021秋•徐汇区期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,cotA=,点D为边AC上的一个动点,以点D为顶点作∠BDE=∠A,射线DE交边AB于点E,过点B作射线DE的垂线,垂足为点F.
    (1)当点D是边AC中点时,求tan∠ABD的值;
    (2)求证:AD•BF=BC•DE;
    (3)当DE:EF=3:1时,求AE:EB.


    8.(2022秋•徐汇区期末)如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,点D为边BC上一动点(与点B、C不重合),点E为AB上一点,∠EDB=∠ADC,过点E作EF⊥AD,垂足为点G,交射线AC于点F.
    (1)如果点D为边BC的中点,求∠DAB的正切值;
    (2)当点F在边AC上时,设CD=x,CF=y,求y关于x的函数解析式及x的取值范围;
    (3)联结DF,如果△CDF与△AGE相似,求线段CD的长.

    四.解直角三角形(共1小题)
    9.(2022秋•徐汇区期末)如图,已知在△ABC中,CD⊥AB,垂足为点D,AD=2,BD=6,tanB=,点E是边BC的中点.
    (1)求边AC的长;
    (2)求∠EAB的正弦值.

    五.解直角三角形的应用-坡度坡角问题(共1小题)
    10.(2021秋•徐汇区期末)图1是一种自卸货车,图2是该货车的示意图,货箱侧面是一个矩形,长AB=4米,宽BC=2米,初始时点A、B、F在同一水平线上,车厢底部AB离地面的高度为1.3米.卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点A旋转,箱体底部AB形成不同角度的斜坡.

    (1)当斜坡AB的坡角为37°时,求车厢最高点C离地面的距离;
    (2)点A处的转轴与后车轮转轴(点E处)的水平距离叫做安全轴距,已知该车的安全轴距为0.7m.货厢对角线AC、BD的交点G是货厢侧面的重心,卸货时如果A、G两点的水平距离小于安全轴距时,会发生车辆倾覆安全事故.
    当斜坡AB的坡角为45°时,根据上述车辆设计技术参数,该货车会发生车辆倾覆安全事故吗?试说明你的理由.(精确到0.1米,参考值:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37≈0.75,≈1.4142)
    六.解直角三角形的应用-仰角俯角问题(共2小题)
    11.(2020秋•徐汇区期末)为加强对市内道路交通安全的监督,王警官利用无人机进行检测.某高架路有一段限速每小时60千米的道路AB(如图所示),当无人机在限速道路的正上方C处时,测得限速道路的起点A的俯角是37°,无人机继续向右水平飞行220米到达D处,此时又测得起点A的俯角是30°,同时测得限速道路终点B的俯角是45°(注:即四边形ABDC是梯形).
    (1)求限速道路AB的长(精确到1米);
    (2)如果李师傅在道路AB上行驶的时间是1分20秒,请判断他是否超速?并说明理由.
    (参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,≈1.73)

    12.(2022秋•徐汇区期末)如图,在大楼AB的正前方有一斜坡CD,CD=26米,坡度i=1:2.4,小明在斜坡下端C处测得楼顶点B的仰角为60°,在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为30°,DE与地面垂直,垂足为E,其中点A、C、E在同一直线上.
    (1)求DE的值;
    (2)求大楼AB的高度(结果保留根号).


    上海市徐汇区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题(提升题)知识点分类
    参考答案与试题解析
    一.二次函数综合题(共3小题)
    1.(2020秋•徐汇区期末)已知二次函数y=ax2﹣2ax+a+4(a<0)的大致图象如图所示,这个函数图象的顶点为点D.
    (1)求该函数图象的开口方向、对称轴及点D的坐标;
    (2)设该函数图象与y轴正半轴交于点C,与x轴正半轴交于点B,图象的对称轴与x轴交于点A,如果DC⊥BC,tan∠DBC=,求该二次函数的解析式;
    (3)在(2)的条件下,设点M在第一象限该函数的图象上,且点M的横坐标为t(t>1),如果△ACM的面积是,求点M的坐标.

    【答案】(1)对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,4),开口向下;
    (2)y=﹣x2+2x+3;
    (3)(,).
    【解答】解:(1)∵y=ax2﹣2ax+a+4=a(x2﹣2x+1)+4=a(x﹣1)2+4,
    ∴抛物线的对称轴为直线x=1,顶点D(1,4),
    ∵a<0,
    ∴抛物线的开口向下;

    (2)由(1)知,抛物线的对称轴为x=1,
    ∴A(1,0),
    对于y=ax2﹣2ax+a+4,
    令x=0,则y=a+4,
    ∴C(0,a+4),
    如图1,
    过点D作DH⊥y轴于H,
    ∴∠CDH+∠DCH=90°,
    ∵DC⊥BC,
    ∴∠BCD=90°,
    ∴∠DCH+∠OCB=90°,
    ∴∠CDH=∠BCO,
    ∵∠BOC=∠CHD=90°,
    ∴△CDH∽△BCO,
    ∴,
    在Rt△BDC中,tan∠DBC=,
    ∵D(1,4),
    ∴DH=1,
    ∴,
    ∴CO=3,
    ∴a+4=3,
    ∴a=﹣1,
    ∴二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3;

    (3)如图2,
    由(2)知,a=﹣1,
    ∴C(0,3),
    ∴OC=3,
    连接OM,设点M的横坐标为t(t>1),
    ∴点M的纵坐标为﹣t2+2t+3,
    ∵△ACM的面积是,
    ∴S△ACM=S△OCM+S△OAM﹣S△AOC
    =×3t+×1×(﹣t2+2t+3)﹣×1×3
    =,
    ∴t=,
    ∴M(,).


    2.(2021秋•徐汇区期末)如图,抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,C为线段OA上的一个动点,过点C作x轴的垂线,交直线AB于点D,交该抛物线于点E.
    (1)求直线AB的表达式,直接写出顶点M的坐标;
    (2)当以B,E,D为顶点的三角形与△CDA相似时,求点C的坐标;
    (3)当∠BED=2∠OAB时,求△BDE与△CDA的面积之比.

    【答案】(1)y=﹣x+2,M(,); (2)(,0)或(,0);(3).
    【解答】解:(1)令y=0,则﹣x2+x+2=0,
    ∴x=﹣或x=3,
    ∴A(3,0),
    令x=0,则y=2,
    ∴B(0,2),
    设直线AB的解析式为y=kx+b,
    ∴,
    ∴,
    ∴y=﹣x+2,
    ∵y=﹣x2+x+2=﹣(x﹣)2+,
    ∴M(,);
    (2)∵∠ADC=∠BDE,∠ACD=90°,
    ∴△BED是直角三角形,
    设C(t,0),
    ①如图1,当∠BED=90°,时,BE∥AC,
    ∴E(t,2),
    ∴﹣t2+t+2=2,
    ∴t=0(舍)或t=,
    ∴C(,0);
    ②如图2,当∠EBD=90°时,
    过点E作EQ⊥y轴交于点Q,
    ∵∠BAO+∠ABO=90°,∠ABO+∠QBE=90°,
    ∴∠QBE=∠BAO,
    ∴△ABO∽△BEQ,
    ∴=,即=,
    ∴BQ=t,
    ∴E(t,2+t),
    ∴2+t=﹣t2+t+2,
    ∴t=0(舍)或t=,
    ∴C(,0);
    综上所述:C点的坐标为(,0)或(,0);
    (3)如图3,作BA的垂直平分线交x轴于点Q,连接BQ,过点B作BG⊥EC于点G,
    ∴BQ=AQ,
    ∴∠BQA=∠QAB,
    ∵∠BED=2∠OAB,
    ∴∠BQO=∠BED,
    在Rt△BOQ中,BQ2=BO2+OQ2,
    ∴BQ2=4+(3﹣BQ)2,
    ∴BQ=,
    ∴QO=,
    ∴tan∠BQO=,
    ∴tan∠BEG=,
    设C(t,0),则D(t,﹣t+2),E(t,﹣t2+t+2),
    ∵BG=t,DE=﹣t2+4t,AC=3﹣t,DC=﹣t+2,EG=﹣t2+t,
    ∴=,
    ∴t=,
    ∴S△BDE=ED•BG,
    S△CDA=AC•CD,
    ∴===.



    3.(2022秋•徐汇区期末)在平面直角坐标系xOy(如图)中,抛物线y=ax2+bx+2经过点A(4,0)、B(2,2),与y轴的交点为C.
    (1)试求这个抛物线的表达式;
    (2)如果这个抛物线的顶点为M,求△AMC的面积;
    (3)如果这个抛物线的对称轴与直线BC交于点D,点E在线段AB上,且∠DOE=45°,求点E的坐标.

    【答案】见试题解答内容
    【解答】解:(1)将A(4,0),B(2,2)代入y=ax2+bx+2,得:,
    解得:,
    ∴抛物线的表达式为y=﹣x2+x+2.
    (2)∵y=﹣x2+x+2=﹣(x﹣1)2+,
    ∴顶点M的坐标为(1,).
    当x=0时,y=﹣x2+x+2=2,
    ∴点C的坐标为(0,2).
    过点M作MH⊥y轴,垂足为点H,如图1所示.
    ∴S△AMC=S梯形AOHM﹣S△AOC﹣S△CHM,
    =(HM+AO)•OH﹣AO•OC﹣CH•MH,
    =×(1+4)×﹣×4×2﹣×(﹣2)×1,
    =.
    (3)连接OB,过点B作BG⊥x轴,垂足为点G,如图2所示.
    ∵点B的坐标为(2,2),点A的坐标为(4,0),
    ∴BG=2,GA=2,
    ∴△BGA是等腰直角三角形,
    ∴∠BAO=45°.
    同理,可得:∠BOA=45°.
    ∵点C的坐标为(2,0),
    ∴BC=2,OC=2,
    ∴△OCB是等腰直角三角形,
    ∴∠DBO=45°,BO=2,
    ∴∠BAO=∠DBO.
    ∵∠DOE=45°,
    ∴∠DOB+∠BOE=45°.
    ∵∠BOE+∠EOA=45°,
    ∴∠EOA=∠DOB,
    ∴△AOE∽△BOD,
    ∴=.
    ∵抛物线y=﹣x2+x+2的对称轴是直线x=1,
    ∴点D的坐标为(1,2),
    ∴BD=1,
    ∴=,
    ∴AE=,
    过点E作EF⊥x轴,垂足为点F,则△AEF为等腰直角三角形,
    ∴EF=AF=1,
    ∴点E的坐标为(3,1).


    二.相似三角形的判定与性质(共2小题)
    4.(2021秋•徐汇区期末)已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=4,BC=6,对角线BD,AC相交于点E,过点A作AF∥DC,交对角线BD于点F.
    (1)求的值;
    (2)设=,=,请用向量、表示向量.

    【答案】(1);(2).
    【解答】解:(1)∵AD∥BC,
    ∴△ADE∽△CBE,
    ∴,
    ∵AF∥CD,
    ∴,
    设EF=4x,则DE=6x,BF=5x,
    ∴,
    (2)∵AD=4,BC=6,AD∥BC,
    ∴BC=,△ADE∽△CBE,
    ∴,,
    ∴AE=,
    ∵,
    ∴,

    =+,


    =.
    5.(2021秋•徐汇区期末)如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,射线CD交AB于点D,点E是CD上一点,且∠AEC=∠ABC,联结BE.
    (1)求证:△ACD∽△EBD;
    (2)如果CD平分∠ACB,求证:AB2=2ED•EC.

    【答案】(1)证明过程见解答;
    (2)证明过程见解答.
    【解答】证明:(1)∵∠AEC=∠ABC,∠ADE=∠BDC,
    ∴△ADE∽△CDB,
    ∴,
    又∵∠ADC=∠EDB,
    ∴△ACD∽△EBD;
    (2)∵△ADE∽△CDB,
    ∴∠DCB=∠EAB,
    ∵△ACD∽△EBD,
    ∴∠ACD=∠EBD,
    ∵∠ACB=90°,
    ∴∠EAB+∠EBD=∠DCB+∠ACD=90°,
    ∴∠AEB=90°,
    ∵CD平分∠ACB,
    ∴∠ACD=∠BCD=45°,
    ∴∠EBD=∠EAB=45°,
    ∴EA=EB,
    ∴△EAB是等腰直角三角形,
    ∴∠EAD=∠ACE,∠AED=∠CEA,
    ∵△AED∽△CEA,
    ∴=,
    ∴AE2=ED•EC,
    ∵AE2+EB2=AB2,
    ∴2AE2=AB2,
    ∴AE2=AB2,
    ∴AB2=ED•EC,
    ∴AB2=2ED•EC.
    三.相似形综合题(共3小题)
    6.(2020秋•徐汇区期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=12,BC=5,点D是边AC上的动点,以CD为边在△ABC外作正方形CDEF,分别联结AE、BE,BE与AC交于点G
    (1)当AE⊥BE时,求正方形CDEF的面积;
    (2)延长ED交AB于点H,如果△BEH和△ABG相似,求sin∠ABE的值;
    (3)当AG=AE时,求CD的长.

    【答案】(1).
    (2).
    (3)1+.
    【解答】解:(1)如图1中,

    ∵四边形ABCD是正方形,
    ∴CD=DE=EF=CF,∠CDE=∠DEF=∠F=90°,
    ∵AE⊥BE,
    ∴∠AEB=∠DEF=90°,
    ∴∠AED=∠BEF,
    ∵∠ADE=∠F=90°,DE=FE,
    ∴△ADE≌△BFE(ASA),
    ∴AD=BF,
    ∴AD=5+CF=5+CD,
    ∵AC=CD+AD=12,
    ∴CD+5+CD=12,
    ∴CD=,
    ∴正方形CDEF的面积为.

    (2)如图2中,过点A作AM⊥BE于M.

    ∵∠ABG=∠EBH,
    ∴当∠BAG=∠BEH=∠CBG时,△ABG∽△EBH,
    ∵∠BCG=∠ACB,∠CBG=∠BAG,
    ∴△CBG∽△CAB,
    ∴CB2=CG•CA,
    ∴CG=,
    ∴BG===,
    ∴AG=AC﹣CG=,
    ∵∠BCG=∠AMG=90°,∠CGB=∠AGM,
    ∴∠GAM=∠CBG,
    ∴cos∠GAM=cos∠CBG===,
    ∴AM=,
    ∵AB===13,
    ∴sin∠ABM==.

    (3)如图3中,延长CA到N,使得AN=AG.

    ∵AE=AG=AN,
    ∴∠GEN=90°,
    由(1)可知,△NDE≌△BFE,
    ∴ND=BF,
    设CD=DE=EF=CF=x,则AD=12﹣x,DN=BF=5+x,
    ∴AN=AE=5+x﹣(12﹣x)=2x﹣7,
    在Rt△ADE中,∵AE2=AD2+DE2,
    ∴x2+(12﹣x)2=(2x﹣7)2,
    ∴x=1+或1﹣(舍弃),
    ∴CD=1+.
    7.(2021秋•徐汇区期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,cotA=,点D为边AC上的一个动点,以点D为顶点作∠BDE=∠A,射线DE交边AB于点E,过点B作射线DE的垂线,垂足为点F.
    (1)当点D是边AC中点时,求tan∠ABD的值;
    (2)求证:AD•BF=BC•DE;
    (3)当DE:EF=3:1时,求AE:EB.


    【答案】(1);(2)见解析;(3)5:3.
    【解答】(1)解:如图,过点D作DG⊥AB于G,

    在Rt△ABC中,
    cotA=,
    设AC=a,BC=a,
    ∵∠ACB=90°,
    ∴AB===a,
    ∵D是AC的中点,
    ∴AD=,
    ∵S,
    ∴DG=,
    在Rt△ADG中,
    AG===,
    ∴BG=AB﹣AG=a﹣=,
    在Rt△GDB中,tan;
    (2)证明:∵∠BDE=∠A,∠DBE=∠ABD,
    ∴△ADB∽△DEB,
    ∴,
    ∵∠F=∠C=90°,∠A=∠BDE,
    ∴△ACB∽△DFB,
    ∴,
    ∴,
    ∴AD•BF=BC•DE;
    (3)解:∵DE:EF=3:1,
    ∴设DE=3x,EF=x,
    ∴DF=4x,
    ∵∠A=∠BDE,
    ∴cotA=cot∠BDE=,
    在 Rt△BDF中,cot,
    ∴BF=x,
    在Rt△BEF中,BE=

    =3x,

    在Rt△BDF中,DB=
    ==2x,
    由(2)可知,△ADB∽△DEB,
    ∴,
    ∴,
    ∴AB=8x,
    ∴AE=AB﹣BE=5x,
    ∴AE+EB=5:3,
    即AE:EB=5:3.

    8.(2022秋•徐汇区期末)如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,点D为边BC上一动点(与点B、C不重合),点E为AB上一点,∠EDB=∠ADC,过点E作EF⊥AD,垂足为点G,交射线AC于点F.
    (1)如果点D为边BC的中点,求∠DAB的正切值;
    (2)当点F在边AC上时,设CD=x,CF=y,求y关于x的函数解析式及x的取值范围;
    (3)联结DF,如果△CDF与△AGE相似,求线段CD的长.

    【答案】(1)tan△DAB=.
    (2)y=4﹣2x(0<x<2).
    (3)4﹣4或8﹣4或.
    【解答】解:(1)如图1中,过点D作DH⊥AB于H.

    ∵CA=CB=4,∠ACB=90°,
    ∴AB===4,
    ∵CD=DB=2,∠B=45°,∠DHB=90°,
    ∴DH=BH=DB=,
    ∴AH=AB﹣BH=3,
    ∴tan∠DAB==.

    (2)如图2中,过点A作AT⊥AC,延长FE交AT于T,直线DE交AT于K,交AC的延长线于R.

    ∵AT⊥AC,BC⊥AC,
    ∴AT∥BC,
    ∴∠ADC=∠DAK,∠EDB=∠AKD,
    ∵∠ADC=∠EDB,
    ∴∠DAK=∠DKA,
    ∴DA=DK,
    ∵∠R+∠DKA=90°,∠DAC+∠DAK=90°,
    ∴∠DAC=∠R,
    ∴DA=DR,
    ∵DC⊥AR,
    ∴AC=CR=4,
    ∵∠AFE+∠CAD=90°,∠AKE+∠R=90°,
    ∴∠AFE=∠AKE,
    ∵∠EAF=∠EAK=45°,AE=AE,
    ∴△AEF≌△AEK(AAS),
    ∴AF=AK,
    ∵∠RAK=∠TAF=90°,∠AKR=∠AFT,
    ∴△AKR≌△AFT(ASA),
    ∴AR=AT=8,∠R=∠T=∠DAC,
    ∵∠ACD=∠TAF,
    ∴△ACD∽△TAF,
    ∴==,
    ∴AF=2CD=2x,
    ∵CF+AF=4,
    ∴y+2x=4,
    ∴y=4﹣2x(0<x<2).

    (3)如图3中,连接DF,作DH⊥AB于H.

    ∵∠GAE=∠DAH,∠AGE=∠AHD,
    ∴△AGE∽△AHD,
    ∵△CDF与△AGE相似,
    ∴△CFD与△ADH相似,
    ∴=或=,
    ∴=或=,
    整理得,x2+8x﹣16=0或x2﹣16x+16=0,
    解得,x=4﹣4或﹣4﹣4(舍弃)或8﹣4或8+4(舍弃),
    ∴CD=4﹣4或8﹣4,
    当点F在下方时,同法可得,CD=,
    综上所述,满足条件的CD的值为4﹣4或8﹣4或.
    四.解直角三角形(共1小题)
    9.(2022秋•徐汇区期末)如图,已知在△ABC中,CD⊥AB,垂足为点D,AD=2,BD=6,tanB=,点E是边BC的中点.
    (1)求边AC的长;
    (2)求∠EAB的正弦值.

    【答案】(1)2;(2).
    【解答】解:(1)∵CD⊥AB,
    ∴△ACD、△BCD均为直角三角形.
    在Rt△CDB中,
    ∵BD=6,tanB==,
    ∴CD=4.
    在Rt△CDA中,
    AC=

    =2.
    (2)过点E作EF⊥AB,垂足为F.
    ∵CD⊥AB,EF⊥AB,
    ∴CD∥EF.
    又∵点E是边BC的中点,
    ∴EF是△BCD的中位线.
    ∴DF=BF=3,EF=CD=2.
    ∴AF=AD+DF=5.
    在Rt△AEF中,
    AE=

    =.
    ∴sin∠EAB=

    =.

    五.解直角三角形的应用-坡度坡角问题(共1小题)
    10.(2021秋•徐汇区期末)图1是一种自卸货车,图2是该货车的示意图,货箱侧面是一个矩形,长AB=4米,宽BC=2米,初始时点A、B、F在同一水平线上,车厢底部AB离地面的高度为1.3米.卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点A旋转,箱体底部AB形成不同角度的斜坡.

    (1)当斜坡AB的坡角为37°时,求车厢最高点C离地面的距离;
    (2)点A处的转轴与后车轮转轴(点E处)的水平距离叫做安全轴距,已知该车的安全轴距为0.7m.货厢对角线AC、BD的交点G是货厢侧面的重心,卸货时如果A、G两点的水平距离小于安全轴距时,会发生车辆倾覆安全事故.
    当斜坡AB的坡角为45°时,根据上述车辆设计技术参数,该货车会发生车辆倾覆安全事故吗?试说明你的理由.(精确到0.1米,参考值:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37≈0.75,≈1.4142)
    【答案】(1)车厢最高点C离地面的距离是5.3米;
    (2)不会发生安全事故,理由见解答.
    【解答】解:过点C作CH⊥AF,垂足为H,过点B作BP⊥AF,垂足为P,过点B作BQ⊥CH,垂足为Q,

    则四边形BPHQ为矩形,
    ∴BP=QH,
    在Rt△ABP中,BP=ABsin37°=4×0.6=2.4(m),
    ∴BP=QH=2.4(m),
    ∵BQ∥AP,
    ∴∠BAF=∠QBA=37°,
    ∴∠CBQ=∠CBA﹣∠QBA=90°﹣37°=53°,
    ∵∠BQC=90°,
    ∴∠BCQ=90°﹣∠CBQ=37°,
    在Rt△BCQ中,CQ=BCcos37°=2×0.8=1.6(m),
    ∴1.6+2.4+1.3=5.3(m),
    答:车厢最高点C离地面的距离是5.3米;
    (2)不会发生安全事故,
    理由是:过点G作GO⊥AF,垂足为O,过点C作CM⊥AF,垂足为M,交AB于点I,过点B作BN⊥AF,垂足为N,过点B作BK⊥CM,垂足为K,

    则四边形BNMK为矩形,
    ∴BN=KM,
    在Rt△ABN中,BN=ABsin45°=4×=(m),
    ∴BN=KM=(m),
    ∵BK∥AN,
    ∴∠BAN=∠KBA=45°,
    ∴∠CBK=∠CBA﹣∠KBA=90°﹣45°=45°,
    在Rt△BCK中,BK=BCcos45°=2×=(m),
    ∴BK=CK=(m),
    在Rt△BKI中,
    ∵∠KBA=45°,
    ∴BK=KI=(m),
    ∴IM=KM﹣KI=(m),
    在Rt△AMI中,
    ∵∠BAF=45°,
    ∴IM=AM=(m),
    ∵CM∥GO,
    ∴,
    ∵AG=CG,
    ∴AO=OM=AM=≈0.71(m),
    ∵0.71>0.7,
    ∴不会发生安全事故.
    六.解直角三角形的应用-仰角俯角问题(共2小题)
    11.(2020秋•徐汇区期末)为加强对市内道路交通安全的监督,王警官利用无人机进行检测.某高架路有一段限速每小时60千米的道路AB(如图所示),当无人机在限速道路的正上方C处时,测得限速道路的起点A的俯角是37°,无人机继续向右水平飞行220米到达D处,此时又测得起点A的俯角是30°,同时测得限速道路终点B的俯角是45°(注:即四边形ABDC是梯形).
    (1)求限速道路AB的长(精确到1米);
    (2)如果李师傅在道路AB上行驶的时间是1分20秒,请判断他是否超速?并说明理由.
    (参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,≈1.73)

    【答案】(1)1507米;
    (2)该车超速.
    【解答】解:(1)根据题意,得∠CAB=37°,CD=220米,∠DAB=30°,∠DBA=45°,
    如图,过点C和点D作CE和DF垂直于AB于点E和F,
    ∵CD∥AB,
    ∴四边形CDFE是矩形,
    ∴CE=DF,CD=EF,
    ∵∠DBA=45°,
    ∴DF=BF,
    设DF=BF=CE=x米,

    在Rt△ADF中,∠DAF=30°,DF=x米,
    ∴AF=DF=x(米),
    ∴AE=AF﹣EF=(x﹣220)米,
    在Rt△AEC中,∠CAE=37°,
    ∵CE=AE•tan37°,
    ∴x=(x﹣220)×0.75,
    解得x=60(3+4)=180+240,
    ∴AE=x﹣220=(320+240)米,
    FB=x=(180+240)(米),
    ∴AB=AE+EF+FB
    =320+240+220+180+240
    =780+420
    ≈1507(米),
    答:限速道路AB的长约为1507米;
    (2)∵1分20秒=小时,
    ∴该汽车的速度约为:1507÷≈67.8km/h>60km/h,
    ∴该车超速.
    12.(2022秋•徐汇区期末)如图,在大楼AB的正前方有一斜坡CD,CD=26米,坡度i=1:2.4,小明在斜坡下端C处测得楼顶点B的仰角为60°,在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为30°,DE与地面垂直,垂足为E,其中点A、C、E在同一直线上.
    (1)求DE的值;
    (2)求大楼AB的高度(结果保留根号).

    【答案】大楼AB的高度为(15+12)米.
    【解答】解:(1)∵斜坡CD的坡度为i=1:2.4,
    ∴=,
    设DE=5x米,则CE=12x米,
    在Rt△CDE中,CD=26米,
    由勾股定理得(5x)2+(12x)2=(13x)2=262,
    解得x=2.
    ∴斜坡CD的高度DE为10米;
    (2)在Rt△CDE中,
    ∵CD=26米,DE=10米,
    ∴CE==24米,
    过点D作DF⊥AB于点F.
    则DE=AF=10米,DF=AE,
    在Rt△BDF中,∠BDF=30°,
    ∴BF=DF,
    设BF=a米,则DF=a米,
    则AB=BF+AF=(10+a)米,
    在Rt△ABC中,∠ACB=60°,
    tan60°===,
    解得AC=(10+a),
    ∴AE=AC+CE=(10+a)+24=a,
    解得a=5+12.
    ∴AB=10+5+12=(15+12)米.
    ∴大楼AB的高度为(15+12)米.


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