上海市杨浦区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编

上海市杨浦区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（基础题）知识点分类

一．实数的运算（共1小题）

1．（2022秋•杨浦区期末）计算：．

二．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）

2．（2020秋•杨浦区期末）已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（0，3）、C（2，3）．

（1）求这个函数的解析式及对称轴；

（2）如果点P（x1，y1）、Q（x2，y2）在这个二次函数图象上，且x1＜x2＜0，那么y1　   　y2．（填“＜”或“＞”）

三．抛物线与x轴的交点（共1小题）

3．（2021秋•杨浦区期末）已知二次函数y＝2x2﹣4x+5．

（1）用配方法把二次函数y＝2x2﹣4x+5化为y＝a（x+m）2+k的形式，并指出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（2）如果将该函数图象沿y轴向下平移5个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，顶点为C，求△ABC的面积．

四．*平面向量（共2小题）

4．（2021秋•杨浦区期末）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE＝BC．

（1）如果AC＝6，求AE的长；

（2）设＝，＝，试用、的线性组合表示向量．

5．（2022秋•杨浦区期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，对角线AC、BD相交于点O，设＝，＝，试用、的式子表示向量．

五．平行线分线段成比例（共1小题）

6．（2022秋•杨浦区期末）如图，已知△ABC是等边三角形，AB＝6，点D在AC上，AD＝2CD，CM是∠ACB的外角平分线，连接BD并延长与CM交于点E．

（1）求CE的长；

（2）求∠EBC的正切值．

六．相似三角形的判定与性质（共2小题）

7．（2020秋•杨浦区期末）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD、AC相交于点E，过点A作AF∥DC，交对角线BD于点F．

（1）求证：＝；

（2）如果∠ADB＝∠ACD，求证：线段CD是线段DF、BE的比例中项．

8．（2021秋•杨浦区期末）已知，如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，点E在边BC上，AE∥CD，DE∥AB，过点C作CF∥AD，交线段AE于点F，联结BF．

（1）求证：△ABF≌△EAD；

（2）如果射线BF经过点D，求证：BE2＝EC•BC．

七．特殊角的三角函数值（共1小题）

9．（2020秋•杨浦区期末）计算：．

八．解直角三角形的应用（共1小题）

10．（2020秋•杨浦区期末）如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取B、C两点，对岸岸边有一块石头A，在△ABC中，测得∠B＝64°，∠C＝45°，BC＝50米，求河宽（即点A到边BC的距离）（结果精确到0.1米）．

（参考数据：≈1.41，sin64°＝0.90，cos64°＝0.44，tan64°＝2.05）

上海市杨浦区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（基础题）知识点分类

参考答案与试题解析

一．实数的运算（共1小题）

1．（2022秋•杨浦区期末）计算：．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：原式＝

＝

＝

＝．

二．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）

2．（2020秋•杨浦区期末）已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（0，3）、C（2，3）．

（1）求这个函数的解析式及对称轴；

（2）如果点P（x1，y1）、Q（x2，y2）在这个二次函数图象上，且x1＜x2＜0，那么y1　＜　y2．（填“＜”或“＞”）

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3，直线x＝1；

（2）＜．

【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）．

根据题意，得，

解得．

∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3，

∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1；

（2）由（1）可知，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，

∵点P（x1，y1）、Q（x2，y2）在这个二次函数图象上，且x1＜x2＜0，

∴y1＜y2，

故答案为＜．

三．抛物线与x轴的交点（共1小题）

3．（2021秋•杨浦区期末）已知二次函数y＝2x2﹣4x+5．

（1）用配方法把二次函数y＝2x2﹣4x+5化为y＝a（x+m）2+k的形式，并指出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（2）如果将该函数图象沿y轴向下平移5个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，顶点为C，求△ABC的面积．

【答案】（1）开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点（1，3）．

（2）2．

【解答】解：（1）y＝2x2﹣4x+5

＝2（x2﹣2x）+5

＝2（x2﹣2x+1﹣1）+5

＝2（x﹣1）2+3，

∴开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点（1，3）．

（2）抛物线y＝2x2﹣4x+5沿y轴向下平移5个单位后解析式是y＝2x2﹣4x+5﹣5，即y＝2x2﹣4x．

∵y＝2x2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣2，

∴顶点C的坐标是（1，﹣2）．

在y＝2x2﹣4x中令y＝0，则2x2﹣4x＝0，

解得x＝0或2，

∴A（2，0），B（0，0），

∴△ABC的面积为：＝2．

四．*平面向量（共2小题）

4．（2021秋•杨浦区期末）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE＝BC．

（1）如果AC＝6，求AE的长；

（2）设＝，＝，试用、的线性组合表示向量．

【答案】（1）4；（2）．

【解答】解：（1）∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴，

∵DE＝，

∴AE＝4；

（2）由（1）知，，

∴DE＝，

∵，

∴＝．

5．（2022秋•杨浦区期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，对角线AC、BD相交于点O，设＝，＝，试用、的式子表示向量．

【答案】＝+．

【解答】解：∵AD∥BC，BC＝2AD，

∴＝＝．

∴＝，即OA＝AC．

∵＝，＝，与同向，

∴＝2．

∵＝+＝+2．

∴＝+．

五．平行线分线段成比例（共1小题）

6．（2022秋•杨浦区期末）如图，已知△ABC是等边三角形，AB＝6，点D在AC上，AD＝2CD，CM是∠ACB的外角平分线，连接BD并延长与CM交于点E．

（1）求CE的长；

（2）求∠EBC的正切值．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）在BC延长线上取一点F，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝6，∠ACF＝120°，

∵CM是∠ACB的外角平分线，

∴∠ECF＝∠ACF＝60°，

∴∠ECF＝∠ABC，

∴CE∥AB，

∴＝，

又∵AD＝2CD，AB＝6，

∴＝，

∴CE＝3．

（2）过点E作EH⊥BC于点H．

∵∠ECF＝60°，∠EHC＝90°，CE＝3，

∴CH＝3，EH＝，

又∵BC＝6，

∴BH＝BC+CH＝，

∵∠EHB＝90°，

∴tan∠EBC＝＝．

六．相似三角形的判定与性质（共2小题）

7．（2020秋•杨浦区期末）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD、AC相交于点E，过点A作AF∥DC，交对角线BD于点F．

（1）求证：＝；

（2）如果∠ADB＝∠ACD，求证：线段CD是线段DF、BE的比例中项．

【答案】见解答．

【解答】证明：（1）∵AD∥BC，

∴∠CBD＝∠ADF，∠ADC+∠BCD＝180°，

∵AF∥CD，

∴∠ADC+∠DAF＝180°，

∴∠DAF＝∠BCD，

∴△DAF∽△BCD，

∴＝，

∵AD∥BC，

∴△ADE∽△CBE，

∴＝，

∴＝；

（2）∵∠ADB＝∠ACD，∠ADB＝∠CBD，

∴∠ECD＝∠CBD，

而∠CDE＝∠BDC，

∴△DCE∽△DBC，

∴＝，

∴DC2＝DE•DB，

∵＝，

∴DE•DB＝DF•BE，

∴DC2＝DF•BE，

即线段CD是线段DF、BE的比例中项．

8．（2021秋•杨浦区期末）已知，如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，点E在边BC上，AE∥CD，DE∥AB，过点C作CF∥AD，交线段AE于点F，联结BF．

（1）求证：△ABF≌△EAD；

（2）如果射线BF经过点D，求证：BE2＝EC•BC．

【答案】（1）见解析过程；

（2）见解析过程．

【解答】证明：（1）∵AE∥CD，

∴∠AEB＝∠BCD，

∵∠ABC＝∠BCD，

∴∠ABC＝∠AEB，

∴AB＝AE，

∵DE∥AB，

∴∠DEC＝∠ABC，∠AED＝∠BAF，

∵∠ABC＝∠BCD，

∴∠DEC＝∠BCD，

∴DE＝DC，

∵CF∥AD，AE∥CD，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∴AF＝CD，

∴AF＝DE，

在△ABF和△EAD中，

，

∴△ABF≌△EAD（SAS）；

（2）如图，连接FD，

∵射线BF经过点D，

∴点B，点F，点D三点共线，

∵AE∥DC，

∴△BEF∽△BCD，

∴，，

∵DE∥AB，

∴△DEF∽△BAF，

∴，

∴，

∵CD＝AF，

∴，

∴BE2＝EC•BC．

七．特殊角的三角函数值（共1小题）

9．（2020秋•杨浦区期末）计算：．

【答案】4﹣2．

【解答】解：原式＝

＝

＝

＝4﹣2．

八．解直角三角形的应用（共1小题）

10．（2020秋•杨浦区期末）如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取B、C两点，对岸岸边有一块石头A，在△ABC中，测得∠B＝64°，∠C＝45°，BC＝50米，求河宽（即点A到边BC的距离）（结果精确到0.1米）．

（参考数据：≈1.41，sin64°＝0.90，cos64°＝0.44，tan64°＝2.05）

【答案】33.6米．

【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D．如图所示：

在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，

∴tanC＝＝1，

∴CD＝AD，

在Rt△ABD中，∵∠B＝64°，

∴tan∠B＝＝2.05，

∴BD＝BD，

∵BC＝BD+CD＝50米，

∴AD+AD＝50米，

解得：AD≈33.6（米）．

答：河的宽度约为33.6米．