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2022-2023学年吉林省四平市铁西区八年级（下）期中数学试卷
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这是一份2022-2023学年吉林省四平市铁西区八年级（下）期中数学试卷，共26页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题（每小题5分，共20分，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年吉林省四平市铁西区
八年级（下）期中数学试卷
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）下列根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2分）下列各式中，从左向右变形正确的是（ ）
A．＝±2 B．＝3 C．＝ D．
3．（2分）在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，不能组成直角三角形的是（ ）
A．三边之比a：b：c＝1：1：
B．三边长满足a2﹣c2＝b2
C．三角之比∠A：∠B：∠C＝1：2：3
D．三边长满足a＝b＝2c
4．（2分）已知直线m∥n，如图，下列哪条线段的长可以表示直线m与n之间的距离（ ）
A．只有AB B．只有AE C．AB和CD均可 D．AE和CF均可
5．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，AD＝3，AB＝5，则EC的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
6．（2分）工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．这样做的道理是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是矩形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
8．（3分）若三角形的边长分别为5cm、12cm、13cm，则它的最长边上的中线为 cm．
9．（3分）若与最简二次根式可以合并，则m＝ ．
10．（3分）如图，某数学兴趣小组为测量学校C与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点A，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝1km．据此，可求得学校与工厂之间的距离BC等于 km．
11．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AD∥BC，请添加一个条件： ，使四边形ABCD为平行四边形（不添加任何辅助线）．
12．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，EF为过点O的一条直线，则图中阴影部分的面积为 ．
13．（3分）如图，在正方形ABCD内部作等边△CDE，连接BD．则∠BDE的度数为 ．
14．（3分）如图，正方形ABCD的面积为4，菱形AECF的面积为2，则EF的长是 ．
三、解答题（每小题5分，共20分
15．（5分）计算：
16．（5分）．
17．（5分）计算：．
18．（5分）已知x＝+1，求x2﹣2x﹣3的值．
四、解答题（每题7分，共28分）
19．（7分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图．
（1）在图①中，画一个面积为6的平行四边形；
（2）在图②中，画一个面积为5的正方形；
（3）在图③中，画一个三边长分别为，4，的三角形．
20．（7分）下面是小华同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务．
计算：．
解：原式＝2+2+1﹣4…第一步
＝…第二步
＝3…第三步
任务一：以上步骤中，从第 步开始出现错误，
这一步错误的原因是 ．
任务二：请写出正确的计算过程．
21．（7分）如图，点O是△ABC内部一点，连接OB，OC，并将边AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G顺次连接，DEFG构成四边形，求证：四边形DEFG是平行四边形．
22．（7分）小颖爸爸为了丰富活动，为小区里的小朋友们搭了一架简易秋千（如图），秋千AB在静止位置时，下端B距离地面0.6m，即OB＝0.6m，当秋千荡到AC的位置时，下端C距离地面1.4m，即CD＝1.4m，与静止位置的水平距离OD＝2.4m，求秋千AB的长．
五、解答题（每题8分，共16分）
23．（8分）（1）问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法．
例：已知，求x，y的值．
解：由，得x＝ ，∴y＝ ；
（2）尝试应用：若x，y为实数，且，化简：．
（3）拓展创新：已知，求m﹣n的值．
24．（8分）如图，正方形ABCD，E是对角线BD上一动点，点E不与点B、点D重合，DF⊥BD，且DF＝BE，连接CE，CF，EF．
（1）求证：△EBC≌△FDC；
（2）请直接写出EF与CE之间的数量关系；
（3）若AB＝2，请直接写出EF长度的最小值．
六、解答题（每题10分，共20分）
25．（10分）问题引入：如图1，AB∥CD，AB＞CD，∠ABD＝90°，E是线段AC的中点．连结DE并延长交AB于点F，连结BE．
（1）判断BE与DE之间的数量关系，并说明理由．
问题延伸：如图2，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，点G在BC上，P是线段DF的中点，连结PC、PG，且∠ABC＝∠BEF＝60°．
（2）判断PC与PG之间的位置关系，并说明理由．
（3）连结CF，若AB＝2，，则CF的长为 ．
26．（10分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，连接OE，且∠ADC＝60°，设．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若，请判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，当AB＝1时，请求出平行四边ABCD的面积；
（4）设＝k，请直接写出k与m满足的关系．
2022-2023学年吉林省四平市铁西区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）下列根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据最简二次根式的定义，即可判断．
【解答】解：A、＝，故A不符合题意；
B、＝2，故B不符合题意；
C、＝，故C不符合题意；
D、﹣是最简二次根式，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2．（2分）下列各式中，从左向右变形正确的是（ ）
A．＝±2 B．＝3 C．＝ D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质和运算法则逐一判断即可得．
【解答】解：A．＝2，此选项错误；
B．＝|﹣3|＝3，此选项计算正确；
C．＝×，此选项错误；
D．+＝2+＝3，此选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的性质和运算法则．
3．（2分）在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，不能组成直角三角形的是（ ）
A．三边之比a：b：c＝1：1：
B．三边长满足a2﹣c2＝b2
C．三角之比∠A：∠B：∠C＝1：2：3
D．三边长满足a＝b＝2c
【答案】D
【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【解答】解：A、因为a：b：c＝1：1：，设a＝x，b＝x，c＝x，x2+x2＝（x）2，故△ABC是直角三角形，此选项不符合题意；
B、因为a2﹣c2＝b2，所以a2＝b2+c2，故△ABC是直角三角形，此选项不符合题意；
C、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以∠C＝90°，故△ABC是直角三角形，此选项不符合题意；
D、三边长满足a＝b＝2c，无法判定△ABC是直角三角形，此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．
4．（2分）已知直线m∥n，如图，下列哪条线段的长可以表示直线m与n之间的距离（ ）
A．只有AB B．只有AE C．AB和CD均可 D．AE和CF均可
【答案】C
【分析】由平行线之间的距离的定义判定即可得解．
【解答】解：∵从一条平行线上的任意一点到另一条平行线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，
∴线段AB和CD都可以示直线m与n之间的距离，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线之间的距离，熟记平行线之间的距离的概念是解题的关键．
5．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，AD＝3，AB＝5，则EC的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】B
【分析】先由平行四边形的性质得BA∥CD，CD＝AB＝5，再证DE＝AD＝3，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，CD＝AB＝5，
∴∠DEA＝∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAB，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴DE＝AD＝3，
∴EC＝CD﹣DE＝5﹣3＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题．
6．（2分）工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．这样做的道理是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是矩形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】D
【分析】先平行四边形的判定、矩形的判定进行解答即可．
【解答】解：∵两组对边相等的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，
∴不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的判定以及平行四边形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 x≤3 ．
【答案】x≤3．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：3﹣x≥0，
解得：x≤3，
故答案为：x≤3．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
8．（3分）若三角形的边长分别为5cm、12cm、13cm，则它的最长边上的中线为 6.5 cm．
【答案】6.5．
【分析】首先根据三角形的三边长证明三角形是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案．
【解答】解：∵52+122＝132，
∴此三角形是直角三角形，
∴它的最长边上的中线为．
故答案为：6.5．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及直角三角形斜边上的中线的性质，关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
9．（3分）若与最简二次根式可以合并，则m＝ 2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次根式的性质得出＝2，根据同类二次根式的定义得出m+1＝3，再求出m即可．
【解答】解：＝2，
∵与最简二次根式可以合并，
∴m+1＝3，
解得：m＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了最简二次根式和同类二次根式，能得出方程m+1＝3是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
10．（3分）如图，某数学兴趣小组为测量学校C与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点A，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝1km．据此，可求得学校与工厂之间的距离BC等于 km．
【答案】．
【分析】直接利用直角三角形的性质得出∠B度数，进而利用直角三角形中30°所对直角边是斜边的一半，根据勾股定理即可得出答案．
【解答】解：∵∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝1km，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝2（km），
∴BC＝＝＝（km）．
故学校与工厂BC之间的距离是km．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，直角三角形的性质，正确掌握边角关系是解题关键．
11．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AD∥BC，请添加一个条件： AD＝BC（答案不唯一） ，使四边形ABCD为平行四边形（不添加任何辅助线）．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用平行四边形的判定方法直接得出答案．
【解答】解；当AD∥BC，AD＝BC时，四边形ABCD为平行四边形．
故答案为：AD＝BC（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，正确掌握平行四边形的判定方法是解题关键．
12．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，EF为过点O的一条直线，则图中阴影部分的面积为 6 ．
【答案】6．
【分析】根据菱形的性质可证出△CFO≌△AEO，可将阴影部分面积转化为△BOC的面积，根据菱形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵四边形ADCB为菱形，
∴OC＝OA，AB∥CD，∠FCO＝∠OAE，
∵∠FOC＝∠AOE，
△CFO≌△AEO（ASA），
∴S△CFO＝S△AOE，
∴S△CFO+S△BOF＝S△BOC，
∴S△BOC＝S四边形ABCD＝×AC•BD＝××6×8＝6，
故答案为：6．
【点评】此题考查了菱形的性质，菱形的面积公式，全等三角形的判定，将阴影部分的面积转化为△BOC的面积为解题关键．
13．（3分）如图，在正方形ABCD内部作等边△CDE，连接BD．则∠BDE的度数为 15° ．
【答案】15°．
【分析】根据等边三角形的性质可得CE＝DE，根据正方形的性质可得AD＝DC，从而得到DE＝AD，再根据等边对等角可得∠DAE＝∠DEA，然后求出∠ADE＝30°，再求出∠DAE的度数即可．
【解答】解：∵△CDE是等边三角形，
∴∠EDC＝60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC＝45°，
∴∠BDE＝∠EDC﹣∠BDC＝60°﹣45°＝15°，
故答案为：15°．
【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
14．（3分）如图，正方形ABCD的面积为4，菱形AECF的面积为2，则EF的长是 ．
【答案】．
【分析】连接AC，由正方形ABCD的面积可求解AC的长，再根据菱形AECF的面积即可求解EF的长．
【解答】解：连接AC，
∵正方形ABCD的面积为4，
∴AC2＝4，
解得AC＝2，
∵菱形AECF的面积为2，
∴AC•EF＝2，
即×2•EF＝，
解得EF＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，掌握菱形的面积公式是解题的关键．
三、解答题（每小题5分，共20分
15．（5分）计算：
【答案】见试题解答内容
【分析】先将各项化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
【解答】解：原式＝．
【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．
二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．
16．（5分）．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用平方差公式进行计算．
【解答】解：原式＝（2）2﹣（）2
＝12﹣5
＝7．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
17．（5分）计算：．
【答案】3﹣4．
【分析】先化简，再算除法，最后算加法即可．
【解答】解：
＝（）÷
＝2﹣4+
＝3﹣4．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18．（5分）已知x＝+1，求x2﹣2x﹣3的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】将x＝变形为x﹣1＝，通过平方凑出x2+2x的值，整体代入即可．
【解答】解：∵x＝+1
∴x﹣1＝
两边平方得
（x﹣1）2＝3
∴x2﹣2x＝2
∴x2﹣2x﹣3＝2﹣3＝﹣1．
解法二：原式＝（x﹣3）（x+1）＝（﹣2）（+2）＝﹣1．
【点评】本题考查整式运算，运用的整体代入的方法可以简化运算．
四、解答题（每题7分，共28分）
19．（7分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图．
（1）在图①中，画一个面积为6的平行四边形；
（2）在图②中，画一个面积为5的正方形；
（3）在图③中，画一个三边长分别为，4，的三角形．
【答案】（1）（2）（3）作图见解析部分．
【分析】（1）利用数形结合的思想画出图形即可；
（2）作一个边长为的正方形即可；
（3）利用数形结合的思想画出图形即可．
【解答】解：（1）如图①中，平行四边形ABCD即为所求；
（2）如图②中，正方形ABCD即为所求；
（3）如图③中，△ABC即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，勾股定理，平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
20．（7分）下面是小华同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务．
计算：．
解：原式＝2+2+1﹣4…第一步
＝…第二步
＝3…第三步
任务一：以上步骤中，从第 一 步开始出现错误，
这一步错误的原因是 利用二次根式的性质化简出现错误 ．
任务二：请写出正确的计算过程．
【答案】一，利用二次根式的性质化简出错；3+．
【分析】利用二次根式的运算法则求解，通过计算过程得结论．
【解答】解：∵原式＝2+2+1﹣
＝2+2+1﹣．
∴计算从第一步出现错误，出现错误的原因是被开方数4表示4+，而不是4×．
故答案为：一，利用二次根式的性质化简出错．
正解：原式＝2+2+1﹣
＝3+．
【点评】本题主要考查了二次根式的运算，掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．
21．（7分）如图，点O是△ABC内部一点，连接OB，OC，并将边AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G顺次连接，DEFG构成四边形，求证：四边形DEFG是平行四边形．
【答案】证明见解析．
【分析】证明DG是△ABC的中位线，得出DG∥BC，DG＝BC．同理EF是△OBC的中位线，得出EF∥BC，EF＝BC．则DG＝EF，DG∥EF．即可得出结论．
【解答】证明：∵D，G分别是AB，AC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，
∴DG∥BC，DG＝BC．
∵E，F分别是OB，OC的中点，
∴EF是△OBC的中位线，
∴EF∥BC，EF＝BC．
∴DG＝EF，DG∥EF，
∴四边形DEFG是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定以及三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
22．（7分）小颖爸爸为了丰富活动，为小区里的小朋友们搭了一架简易秋千（如图），秋千AB在静止位置时，下端B距离地面0.6m，即OB＝0.6m，当秋千荡到AC的位置时，下端C距离地面1.4m，即CD＝1.4m，与静止位置的水平距离OD＝2.4m，求秋千AB的长．
【答案】4m．
【分析】作CH⊥AB于H，设AB＝xm，则AH＝（x﹣0.8）m，在Rt△ACH中，利用勾股定理列方程可得答案．
【解答】解：作CH⊥AB于H，
由题意知，CH＝OD＝2.4m，BH＝OH﹣OB＝CD﹣OB＝1.4﹣0.6＝0.8（m），
设AB＝xm，则AH＝（x﹣0.8）m，
在Rt△ACH中，由勾股定理得，
（x﹣0.8）2+2.42＝x2，
解得x＝4，
∴秋千AB的长为4m．
【点评】本题主要考查了勾股定理的实际应用，运用勾股定理列方程是解题的关键．
五、解答题（每题8分，共16分）
23．（8分）（1）问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法．
例：已知，求x，y的值．
解：由，得x＝ 2022 ，∴y＝ 2023 ；
（2）尝试应用：若x，y为实数，且，化简：．
（3）拓展创新：已知，求m﹣n的值．
【答案】（1）2022，2023；
（2）；
（3）m﹣n＝±4．
【分析】（1）解不等式组即可求出x和y的值；
（2）根据例题的解法，列出不等式组，即可求得x＝3，y＞2，进而化简代数式即可；
（3）根据例题的解法，列出不等式组，即可求得mn＝12，m+n＝8，进而求出m﹣n即可．
【解答】解：（1）解不等式组得x＝2022，
∴y＝2023．
故答案为：2022，2023；
（2）由，
解得：x＝3，
∴y＞2．
∴＝＝；
（2）由：，
解得：mn＝12，
∴m+n＝8，
∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝64﹣48＝16，
∴m﹣n＝±4．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数．
24．（8分）如图，正方形ABCD，E是对角线BD上一动点，点E不与点B、点D重合，DF⊥BD，且DF＝BE，连接CE，CF，EF．
（1）求证：△EBC≌△FDC；
（2）请直接写出EF与CE之间的数量关系；
（3）若AB＝2，请直接写出EF长度的最小值．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）；
（3）2．
【分析】（1）根据正方形的性质证∠EBC＝∠FDC，然后根据SAS证△EBC≌△FDC即可；
（2）证△ECF是等腰直角三角形即可得出结论；
（3）过C作CE'⊥BD于E'，得出当E运动到E'时，CE最小，最小值即为CE'的长度，此时EF最小值为，求出此时的EF即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝BC，∠DBC＝∠BDC＝45°，
∵DF⊥BD，
∴∠FDB＝90°，
∴∠FDC＝∠FDB﹣∠BDC＝90°﹣45°＝45°，
在△EBC 和△FDC中，
，
∴△EBC≌△FDC（SAS）；
（2）解：；理由如下：
由（1）知，△EBC≌△FDC，
∴CE＝CF，∠BCE＝∠DCF，
∵∠BCF+∠ECD＝90°，
∴∠DCF+∠ECD＝90°，
即∠ECF＝90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴；
（3）解：过C作CE'⊥BD于E'，如图：
由（2）知，，
∴当CE最小时，EF最小，
∴当E运动到E'时，CE最小，最小值即为CE'的长度，
此时EF最小值为，
∵AB＝2，CE'⊥BD，
∴＝，
∴EF最小值为，
即EF的最小值为2．
【点评】本题主要考查四边形综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质等知识是解题的关键．
六、解答题（每题10分，共20分）
25．（10分）问题引入：如图1，AB∥CD，AB＞CD，∠ABD＝90°，E是线段AC的中点．连结DE并延长交AB于点F，连结BE．
（1）判断BE与DE之间的数量关系，并说明理由．
问题延伸：如图2，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，点G在BC上，P是线段DF的中点，连结PC、PG，且∠ABC＝∠BEF＝60°．
（2）判断PC与PG之间的位置关系，并说明理由．
（3）连结CF，若AB＝2，，则CF的长为 ．
【答案】（1）BE＝DE，理由见解析；
（2）PC⊥PG，理由见解析；
（3）．
【分析】（1）证明△AEF≌△CED（ASA），由全等三角形的性质得出EF＝DE，由直角三角形的性质得出EF＝DE＝BE，则可得出结论；
（2）延长GP交CD于点M，证明△DPM≌△FPG（ASA），由全等三角形的性质得出PM＝PG，GF＝DM，证出CM＝CG，由等腰三角形的性质得出结论；
（3）求出GF＝1，过点G作GN⊥CF于点N，由直角三角形的性质可得出答案．
【解答】解：（1）BE＝DE，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠C，
∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△AEF和△CED中，
，
∴△AEF≌△CED（ASA），
∴EF＝DE，
∵∠ABD＝90°，
∴BE为Rt△BDF斜边上的中线，
∴EF＝DE＝BE，
∴BE＝DE；
问题延伸：（2）PC⊥PG，
理由如下：延长GP交CD于点M，
∵四边形ABCD，BEFG为菱形，
∴CD∥AE∥GF，∠BCD＝90°，
∴∠CDP＝∠PFG，
∵P为DF的中点，
∴DP＝FP，
在△DPM和△FPG 中，
∴△DPM≌△FPG（ASA），
∴PM＝PG，GF＝DM，
∵菱形ABCD和菱形BEFG，
∴CD＝CB，GF＝GB，
∴CD﹣DM＝CB﹣GB，
∴CM＝CG，
∴PC是等腰三角形底边中线，
∴PC⊥PG；
（3）由（2）可知，∠CPG＝90°，∠DCP＝∠GCP＝60°，
∵PC＝，
∴CG＝2PC＝1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝2，
∴BG＝CG＝1，
∴GF＝1，
过点G作GN⊥CF于点N，
∵∠CGF＝∠CBE＝120°，
∴∠GCF＝∠GFC＝30°，
∴GN＝，
∴CF＝FN＝，
∴CF＝．
故答案为：．
【点评】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，证明三角形全等是解答本题的关键．
26．（10分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，连接OE，且∠ADC＝60°，设．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若，请判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，当AB＝1时，请求出平行四边ABCD的面积；
（4）设＝k，请直接写出k与m满足的关系．
【答案】（1）证明见解析；
（2）△ABC是直角三角形，理由见解析；
（3）S▱ABCD＝；
（4）m+k＝2．
【分析】（1）根据▱ABCD中，∠ADC＝60°，可得△ABE是等边三角形，进而可以证明结论；
（2）根据＝m＝，可得AB＝mBC＝BC，证明∠BAC＝90°，即可判断△ABC的形状；
（3）在（2）的条件下，再利用含30度角的直角三角形的性质，根据AB＝1，求得S△ABC＝，根据S▱ABCD＝2S△ABC 进而得平行四边ABCD的面积；
（4）根据四边形ABCD是平行四边形，可得S△AOD＝S△BOC，S△BOC＝S△BCD，由△ABE是等边三角形，可得BE＝AB＝mBC，由ABOE的BE边上的高等于ABDC的BC边上的高的一半，底BE等于BC的m倍，设BC边上的高为hBC的长为6，分别表示出四边形OECD和三角形AOD的面积，进而可得k与m满足的关系．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°，
∴△ABE是等边三角形
∴AB＝AE；
（2）解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵＝m＝，
∴AB＝BC，
∴AE＝BE＝BC，
∴AE＝CE，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠AEB＝60°，
∴∠ACE＝∠CAE＝30°，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）解：在（2）的条件下，
∵△ABC是直角三角形，∠CAE＝30°，
∴当AB＝1时，
∴AC＝AB＝，
∴S△ABC＝AB•AC＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S▱ABCD＝2S△ABC＝2×＝；
（4）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△BOC＝S△AOD，S△BOC＝S△BCD，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝mBC，
∵△BOE的BE边上的高等于△BDC的BC边上的高的一半，底BE等于BC的m倍，
设BC边上的高为h，BC的长为6，
∴S△BCD＝bh，
S△OBE＝，
∴S四边形OECD＝S△BCD﹣S△OBE＝bh﹣＝（﹣m）bh，
∵S△AOD＝×h×b＝bh，
∴＝（﹣m）bh×＝k，
∴2﹣m＝k，
∴m+k＝2．
【点评】本题考查了平行四边形的性质等边三角形的判定和性质三角形的面积公式，含30°的直角三角形的面积等理解题意，找准数量关系是解决问题的关键．
2022-2023学年吉林省四平市铁西区
八年级（下）期中数学试卷
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）下列根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2分）下列各式中，从左向右变形正确的是（ ）
A．＝±2 B．＝3 C．＝ D．
3．（2分）在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，不能组成直角三角形的是（ ）
A．三边之比a：b：c＝1：1：
B．三边长满足a2﹣c2＝b2
C．三角之比∠A：∠B：∠C＝1：2：3
D．三边长满足a＝b＝2c
4．（2分）已知直线m∥n，如图，下列哪条线段的长可以表示直线m与n之间的距离（ ）
A．只有AB B．只有AE C．AB和CD均可 D．AE和CF均可
5．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，AD＝3，AB＝5，则EC的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
6．（2分）工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．这样做的道理是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是矩形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
8．（3分）若三角形的边长分别为5cm、12cm、13cm，则它的最长边上的中线为 cm．
9．（3分）若与最简二次根式可以合并，则m＝ ．
10．（3分）如图，某数学兴趣小组为测量学校C与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点A，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝1km．据此，可求得学校与工厂之间的距离BC等于 km．
11．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AD∥BC，请添加一个条件： ，使四边形ABCD为平行四边形（不添加任何辅助线）．
12．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，EF为过点O的一条直线，则图中阴影部分的面积为 ．
13．（3分）如图，在正方形ABCD内部作等边△CDE，连接BD．则∠BDE的度数为 ．
14．（3分）如图，正方形ABCD的面积为4，菱形AECF的面积为2，则EF的长是 ．
三、解答题（每小题5分，共20分
15．（5分）计算：
16．（5分）．
17．（5分）计算：．
18．（5分）已知x＝+1，求x2﹣2x﹣3的值．
四、解答题（每题7分，共28分）
19．（7分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图．
（1）在图①中，画一个面积为6的平行四边形；
（2）在图②中，画一个面积为5的正方形；
（3）在图③中，画一个三边长分别为，4，的三角形．
20．（7分）下面是小华同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务．
计算：．
解：原式＝2+2+1﹣4…第一步
＝…第二步
＝3…第三步
任务一：以上步骤中，从第 步开始出现错误，
这一步错误的原因是 ．
任务二：请写出正确的计算过程．
21．（7分）如图，点O是△ABC内部一点，连接OB，OC，并将边AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G顺次连接，DEFG构成四边形，求证：四边形DEFG是平行四边形．
22．（7分）小颖爸爸为了丰富活动，为小区里的小朋友们搭了一架简易秋千（如图），秋千AB在静止位置时，下端B距离地面0.6m，即OB＝0.6m，当秋千荡到AC的位置时，下端C距离地面1.4m，即CD＝1.4m，与静止位置的水平距离OD＝2.4m，求秋千AB的长．
五、解答题（每题8分，共16分）
23．（8分）（1）问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法．
例：已知，求x，y的值．
解：由，得x＝ ，∴y＝ ；
（2）尝试应用：若x，y为实数，且，化简：．
（3）拓展创新：已知，求m﹣n的值．
24．（8分）如图，正方形ABCD，E是对角线BD上一动点，点E不与点B、点D重合，DF⊥BD，且DF＝BE，连接CE，CF，EF．
（1）求证：△EBC≌△FDC；
（2）请直接写出EF与CE之间的数量关系；
（3）若AB＝2，请直接写出EF长度的最小值．
六、解答题（每题10分，共20分）
25．（10分）问题引入：如图1，AB∥CD，AB＞CD，∠ABD＝90°，E是线段AC的中点．连结DE并延长交AB于点F，连结BE．
（1）判断BE与DE之间的数量关系，并说明理由．
问题延伸：如图2，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，点G在BC上，P是线段DF的中点，连结PC、PG，且∠ABC＝∠BEF＝60°．
（2）判断PC与PG之间的位置关系，并说明理由．
（3）连结CF，若AB＝2，，则CF的长为 ．
26．（10分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，连接OE，且∠ADC＝60°，设．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若，请判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，当AB＝1时，请求出平行四边ABCD的面积；
（4）设＝k，请直接写出k与m满足的关系．
2022-2023学年吉林省四平市铁西区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）下列根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据最简二次根式的定义，即可判断．
【解答】解：A、＝，故A不符合题意；
B、＝2，故B不符合题意；
C、＝，故C不符合题意；
D、﹣是最简二次根式，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2．（2分）下列各式中，从左向右变形正确的是（ ）
A．＝±2 B．＝3 C．＝ D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质和运算法则逐一判断即可得．
【解答】解：A．＝2，此选项错误；
B．＝|﹣3|＝3，此选项计算正确；
C．＝×，此选项错误；
D．+＝2+＝3，此选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的性质和运算法则．
3．（2分）在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，不能组成直角三角形的是（ ）
A．三边之比a：b：c＝1：1：
B．三边长满足a2﹣c2＝b2
C．三角之比∠A：∠B：∠C＝1：2：3
D．三边长满足a＝b＝2c
【答案】D
【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【解答】解：A、因为a：b：c＝1：1：，设a＝x，b＝x，c＝x，x2+x2＝（x）2，故△ABC是直角三角形，此选项不符合题意；
B、因为a2﹣c2＝b2，所以a2＝b2+c2，故△ABC是直角三角形，此选项不符合题意；
C、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以∠C＝90°，故△ABC是直角三角形，此选项不符合题意；
D、三边长满足a＝b＝2c，无法判定△ABC是直角三角形，此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．
4．（2分）已知直线m∥n，如图，下列哪条线段的长可以表示直线m与n之间的距离（ ）
A．只有AB B．只有AE C．AB和CD均可 D．AE和CF均可
【答案】C
【分析】由平行线之间的距离的定义判定即可得解．
【解答】解：∵从一条平行线上的任意一点到另一条平行线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，
∴线段AB和CD都可以示直线m与n之间的距离，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线之间的距离，熟记平行线之间的距离的概念是解题的关键．
5．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，AD＝3，AB＝5，则EC的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】B
【分析】先由平行四边形的性质得BA∥CD，CD＝AB＝5，再证DE＝AD＝3，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，CD＝AB＝5，
∴∠DEA＝∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAB，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴DE＝AD＝3，
∴EC＝CD﹣DE＝5﹣3＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题．
6．（2分）工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．这样做的道理是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是矩形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】D
【分析】先平行四边形的判定、矩形的判定进行解答即可．
【解答】解：∵两组对边相等的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，
∴不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的判定以及平行四边形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 x≤3 ．
【答案】x≤3．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：3﹣x≥0，
解得：x≤3，
故答案为：x≤3．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
8．（3分）若三角形的边长分别为5cm、12cm、13cm，则它的最长边上的中线为 6.5 cm．
【答案】6.5．
【分析】首先根据三角形的三边长证明三角形是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案．
【解答】解：∵52+122＝132，
∴此三角形是直角三角形，
∴它的最长边上的中线为．
故答案为：6.5．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及直角三角形斜边上的中线的性质，关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
9．（3分）若与最简二次根式可以合并，则m＝ 2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次根式的性质得出＝2，根据同类二次根式的定义得出m+1＝3，再求出m即可．
【解答】解：＝2，
∵与最简二次根式可以合并，
∴m+1＝3，
解得：m＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了最简二次根式和同类二次根式，能得出方程m+1＝3是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
10．（3分）如图，某数学兴趣小组为测量学校C与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点A，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝1km．据此，可求得学校与工厂之间的距离BC等于 km．
【答案】．
【分析】直接利用直角三角形的性质得出∠B度数，进而利用直角三角形中30°所对直角边是斜边的一半，根据勾股定理即可得出答案．
【解答】解：∵∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝1km，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝2（km），
∴BC＝＝＝（km）．
故学校与工厂BC之间的距离是km．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，直角三角形的性质，正确掌握边角关系是解题关键．
11．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AD∥BC，请添加一个条件： AD＝BC（答案不唯一） ，使四边形ABCD为平行四边形（不添加任何辅助线）．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用平行四边形的判定方法直接得出答案．
【解答】解；当AD∥BC，AD＝BC时，四边形ABCD为平行四边形．
故答案为：AD＝BC（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，正确掌握平行四边形的判定方法是解题关键．
12．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，EF为过点O的一条直线，则图中阴影部分的面积为 6 ．
【答案】6．
【分析】根据菱形的性质可证出△CFO≌△AEO，可将阴影部分面积转化为△BOC的面积，根据菱形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵四边形ADCB为菱形，
∴OC＝OA，AB∥CD，∠FCO＝∠OAE，
∵∠FOC＝∠AOE，
△CFO≌△AEO（ASA），
∴S△CFO＝S△AOE，
∴S△CFO+S△BOF＝S△BOC，
∴S△BOC＝S四边形ABCD＝×AC•BD＝××6×8＝6，
故答案为：6．
【点评】此题考查了菱形的性质，菱形的面积公式，全等三角形的判定，将阴影部分的面积转化为△BOC的面积为解题关键．
13．（3分）如图，在正方形ABCD内部作等边△CDE，连接BD．则∠BDE的度数为 15° ．
【答案】15°．
【分析】根据等边三角形的性质可得CE＝DE，根据正方形的性质可得AD＝DC，从而得到DE＝AD，再根据等边对等角可得∠DAE＝∠DEA，然后求出∠ADE＝30°，再求出∠DAE的度数即可．
【解答】解：∵△CDE是等边三角形，
∴∠EDC＝60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC＝45°，
∴∠BDE＝∠EDC﹣∠BDC＝60°﹣45°＝15°，
故答案为：15°．
【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
14．（3分）如图，正方形ABCD的面积为4，菱形AECF的面积为2，则EF的长是 ．
【答案】．
【分析】连接AC，由正方形ABCD的面积可求解AC的长，再根据菱形AECF的面积即可求解EF的长．
【解答】解：连接AC，
∵正方形ABCD的面积为4，
∴AC2＝4，
解得AC＝2，
∵菱形AECF的面积为2，
∴AC•EF＝2，
即×2•EF＝，
解得EF＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，掌握菱形的面积公式是解题的关键．
三、解答题（每小题5分，共20分
15．（5分）计算：
【答案】见试题解答内容
【分析】先将各项化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
【解答】解：原式＝．
【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．
二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．
16．（5分）．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用平方差公式进行计算．
【解答】解：原式＝（2）2﹣（）2
＝12﹣5
＝7．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
17．（5分）计算：．
【答案】3﹣4．
【分析】先化简，再算除法，最后算加法即可．
【解答】解：
＝（）÷
＝2﹣4+
＝3﹣4．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18．（5分）已知x＝+1，求x2﹣2x﹣3的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】将x＝变形为x﹣1＝，通过平方凑出x2+2x的值，整体代入即可．
【解答】解：∵x＝+1
∴x﹣1＝
两边平方得
（x﹣1）2＝3
∴x2﹣2x＝2
∴x2﹣2x﹣3＝2﹣3＝﹣1．
解法二：原式＝（x﹣3）（x+1）＝（﹣2）（+2）＝﹣1．
【点评】本题考查整式运算，运用的整体代入的方法可以简化运算．
四、解答题（每题7分，共28分）
19．（7分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图．
（1）在图①中，画一个面积为6的平行四边形；
（2）在图②中，画一个面积为5的正方形；
（3）在图③中，画一个三边长分别为，4，的三角形．
【答案】（1）（2）（3）作图见解析部分．
【分析】（1）利用数形结合的思想画出图形即可；
（2）作一个边长为的正方形即可；
（3）利用数形结合的思想画出图形即可．
【解答】解：（1）如图①中，平行四边形ABCD即为所求；
（2）如图②中，正方形ABCD即为所求；
（3）如图③中，△ABC即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，勾股定理，平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
20．（7分）下面是小华同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务．
计算：．
解：原式＝2+2+1﹣4…第一步
＝…第二步
＝3…第三步
任务一：以上步骤中，从第 一 步开始出现错误，
这一步错误的原因是 利用二次根式的性质化简出现错误 ．
任务二：请写出正确的计算过程．
【答案】一，利用二次根式的性质化简出错；3+．
【分析】利用二次根式的运算法则求解，通过计算过程得结论．
【解答】解：∵原式＝2+2+1﹣
＝2+2+1﹣．
∴计算从第一步出现错误，出现错误的原因是被开方数4表示4+，而不是4×．
故答案为：一，利用二次根式的性质化简出错．
正解：原式＝2+2+1﹣
＝3+．
【点评】本题主要考查了二次根式的运算，掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．
21．（7分）如图，点O是△ABC内部一点，连接OB，OC，并将边AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G顺次连接，DEFG构成四边形，求证：四边形DEFG是平行四边形．
【答案】证明见解析．
【分析】证明DG是△ABC的中位线，得出DG∥BC，DG＝BC．同理EF是△OBC的中位线，得出EF∥BC，EF＝BC．则DG＝EF，DG∥EF．即可得出结论．
【解答】证明：∵D，G分别是AB，AC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，
∴DG∥BC，DG＝BC．
∵E，F分别是OB，OC的中点，
∴EF是△OBC的中位线，
∴EF∥BC，EF＝BC．
∴DG＝EF，DG∥EF，
∴四边形DEFG是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定以及三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
22．（7分）小颖爸爸为了丰富活动，为小区里的小朋友们搭了一架简易秋千（如图），秋千AB在静止位置时，下端B距离地面0.6m，即OB＝0.6m，当秋千荡到AC的位置时，下端C距离地面1.4m，即CD＝1.4m，与静止位置的水平距离OD＝2.4m，求秋千AB的长．
【答案】4m．
【分析】作CH⊥AB于H，设AB＝xm，则AH＝（x﹣0.8）m，在Rt△ACH中，利用勾股定理列方程可得答案．
【解答】解：作CH⊥AB于H，
由题意知，CH＝OD＝2.4m，BH＝OH﹣OB＝CD﹣OB＝1.4﹣0.6＝0.8（m），
设AB＝xm，则AH＝（x﹣0.8）m，
在Rt△ACH中，由勾股定理得，
（x﹣0.8）2+2.42＝x2，
解得x＝4，
∴秋千AB的长为4m．
【点评】本题主要考查了勾股定理的实际应用，运用勾股定理列方程是解题的关键．
五、解答题（每题8分，共16分）
23．（8分）（1）问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法．
例：已知，求x，y的值．
解：由，得x＝ 2022 ，∴y＝ 2023 ；
（2）尝试应用：若x，y为实数，且，化简：．
（3）拓展创新：已知，求m﹣n的值．
【答案】（1）2022，2023；
（2）；
（3）m﹣n＝±4．
【分析】（1）解不等式组即可求出x和y的值；
（2）根据例题的解法，列出不等式组，即可求得x＝3，y＞2，进而化简代数式即可；
（3）根据例题的解法，列出不等式组，即可求得mn＝12，m+n＝8，进而求出m﹣n即可．
【解答】解：（1）解不等式组得x＝2022，
∴y＝2023．
故答案为：2022，2023；
（2）由，
解得：x＝3，
∴y＞2．
∴＝＝；
（2）由：，
解得：mn＝12，
∴m+n＝8，
∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝64﹣48＝16，
∴m﹣n＝±4．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数．
24．（8分）如图，正方形ABCD，E是对角线BD上一动点，点E不与点B、点D重合，DF⊥BD，且DF＝BE，连接CE，CF，EF．
（1）求证：△EBC≌△FDC；
（2）请直接写出EF与CE之间的数量关系；
（3）若AB＝2，请直接写出EF长度的最小值．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）；
（3）2．
【分析】（1）根据正方形的性质证∠EBC＝∠FDC，然后根据SAS证△EBC≌△FDC即可；
（2）证△ECF是等腰直角三角形即可得出结论；
（3）过C作CE'⊥BD于E'，得出当E运动到E'时，CE最小，最小值即为CE'的长度，此时EF最小值为，求出此时的EF即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝BC，∠DBC＝∠BDC＝45°，
∵DF⊥BD，
∴∠FDB＝90°，
∴∠FDC＝∠FDB﹣∠BDC＝90°﹣45°＝45°，
在△EBC 和△FDC中，
，
∴△EBC≌△FDC（SAS）；
（2）解：；理由如下：
由（1）知，△EBC≌△FDC，
∴CE＝CF，∠BCE＝∠DCF，
∵∠BCF+∠ECD＝90°，
∴∠DCF+∠ECD＝90°，
即∠ECF＝90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴；
（3）解：过C作CE'⊥BD于E'，如图：
由（2）知，，
∴当CE最小时，EF最小，
∴当E运动到E'时，CE最小，最小值即为CE'的长度，
此时EF最小值为，
∵AB＝2，CE'⊥BD，
∴＝，
∴EF最小值为，
即EF的最小值为2．
【点评】本题主要考查四边形综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质等知识是解题的关键．
六、解答题（每题10分，共20分）
25．（10分）问题引入：如图1，AB∥CD，AB＞CD，∠ABD＝90°，E是线段AC的中点．连结DE并延长交AB于点F，连结BE．
（1）判断BE与DE之间的数量关系，并说明理由．
问题延伸：如图2，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，点G在BC上，P是线段DF的中点，连结PC、PG，且∠ABC＝∠BEF＝60°．
（2）判断PC与PG之间的位置关系，并说明理由．
（3）连结CF，若AB＝2，，则CF的长为 ．
【答案】（1）BE＝DE，理由见解析；
（2）PC⊥PG，理由见解析；
（3）．
【分析】（1）证明△AEF≌△CED（ASA），由全等三角形的性质得出EF＝DE，由直角三角形的性质得出EF＝DE＝BE，则可得出结论；
（2）延长GP交CD于点M，证明△DPM≌△FPG（ASA），由全等三角形的性质得出PM＝PG，GF＝DM，证出CM＝CG，由等腰三角形的性质得出结论；
（3）求出GF＝1，过点G作GN⊥CF于点N，由直角三角形的性质可得出答案．
【解答】解：（1）BE＝DE，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠C，
∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△AEF和△CED中，
，
∴△AEF≌△CED（ASA），
∴EF＝DE，
∵∠ABD＝90°，
∴BE为Rt△BDF斜边上的中线，
∴EF＝DE＝BE，
∴BE＝DE；
问题延伸：（2）PC⊥PG，
理由如下：延长GP交CD于点M，
∵四边形ABCD，BEFG为菱形，
∴CD∥AE∥GF，∠BCD＝90°，
∴∠CDP＝∠PFG，
∵P为DF的中点，
∴DP＝FP，
在△DPM和△FPG 中，
∴△DPM≌△FPG（ASA），
∴PM＝PG，GF＝DM，
∵菱形ABCD和菱形BEFG，
∴CD＝CB，GF＝GB，
∴CD﹣DM＝CB﹣GB，
∴CM＝CG，
∴PC是等腰三角形底边中线，
∴PC⊥PG；
（3）由（2）可知，∠CPG＝90°，∠DCP＝∠GCP＝60°，
∵PC＝，
∴CG＝2PC＝1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝2，
∴BG＝CG＝1，
∴GF＝1，
过点G作GN⊥CF于点N，
∵∠CGF＝∠CBE＝120°，
∴∠GCF＝∠GFC＝30°，
∴GN＝，
∴CF＝FN＝，
∴CF＝．
故答案为：．
【点评】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，证明三角形全等是解答本题的关键．
26．（10分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，连接OE，且∠ADC＝60°，设．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若，请判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，当AB＝1时，请求出平行四边ABCD的面积；
（4）设＝k，请直接写出k与m满足的关系．
【答案】（1）证明见解析；
（2）△ABC是直角三角形，理由见解析；
（3）S▱ABCD＝；
（4）m+k＝2．
【分析】（1）根据▱ABCD中，∠ADC＝60°，可得△ABE是等边三角形，进而可以证明结论；
（2）根据＝m＝，可得AB＝mBC＝BC，证明∠BAC＝90°，即可判断△ABC的形状；
（3）在（2）的条件下，再利用含30度角的直角三角形的性质，根据AB＝1，求得S△ABC＝，根据S▱ABCD＝2S△ABC 进而得平行四边ABCD的面积；
（4）根据四边形ABCD是平行四边形，可得S△AOD＝S△BOC，S△BOC＝S△BCD，由△ABE是等边三角形，可得BE＝AB＝mBC，由ABOE的BE边上的高等于ABDC的BC边上的高的一半，底BE等于BC的m倍，设BC边上的高为hBC的长为6，分别表示出四边形OECD和三角形AOD的面积，进而可得k与m满足的关系．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°，
∴△ABE是等边三角形
∴AB＝AE；
（2）解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵＝m＝，
∴AB＝BC，
∴AE＝BE＝BC，
∴AE＝CE，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠AEB＝60°，
∴∠ACE＝∠CAE＝30°，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）解：在（2）的条件下，
∵△ABC是直角三角形，∠CAE＝30°，
∴当AB＝1时，
∴AC＝AB＝，
∴S△ABC＝AB•AC＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S▱ABCD＝2S△ABC＝2×＝；
（4）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△BOC＝S△AOD，S△BOC＝S△BCD，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝mBC，
∵△BOE的BE边上的高等于△BDC的BC边上的高的一半，底BE等于BC的m倍，
设BC边上的高为h，BC的长为6，
∴S△BCD＝bh，
S△OBE＝，
∴S四边形OECD＝S△BCD﹣S△OBE＝bh﹣＝（﹣m）bh，
∵S△AOD＝×h×b＝bh，
∴＝（﹣m）bh×＝k，
∴2﹣m＝k，
∴m+k＝2．
【点评】本题考查了平行四边形的性质等边三角形的判定和性质三角形的面积公式，含30°的直角三角形的面积等理解题意，找准数量关系是解决问题的关键．
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