2023年黑龙江省大庆市中考数学试卷

这是一份2023年黑龙江省大庆市中考数学试卷，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年黑龙江省大庆市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）
1．（3分）实数2023的相反数是（　　）
A．2023 B．﹣2023 C． D．
2．（3分）搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭于2023年5月30日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）大庆油田发现预测地质储量12.68亿吨的页岩油，这标志着我国页岩油勘探开发取得重大战略突破．数字1268000000用科学记数法表示为（　　）
A．1.268×109 B．1.268×108 C．1.268×107 D．1.268×106
4．（3分）一个长方体被截去一部分后，得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
5．（3分）已知a+b＞0，ab＞0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（　　）

A．（a，b） B．（﹣a，b） C．（﹣a，﹣b） D．（a，﹣b）
6．（3分）某中学积极推进学生综合素质评价改革，该中学学生小明本学期德、智、体、美、劳五项的评价得分如图所示，则小明同学五项评价得分的众数、中位数、平均数分别为（　　）

A．9，9，8.4 B．9，9，8.6 C．8，8，8.6 D．9，8，8.4
7．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．一个函数是一次函数就一定是正比例函数
B．有一组对角相等的四边形一定是平行四边形
C．两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等
D．一组数据的方差一定大于标准差
8．（3分）端午节是我国传统节日，端午节前夕，某商家出售粽子的标价比成本高25%，当粽子降价出售时，为了不亏本，降价幅度最多为（　　）
A．20% B．25% C．75% D．80%
9．（3分）将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若∠BAD＝α，∠CBE＝β，则β＝（　　）

A．45°+α B．45°+α C．90°﹣α D．90°﹣α
10．（3分）如图1，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝120°，已知点P在边AB上，以1m/s的速度从点A向点B运动，点Q在边BC上，以m/s的速度从点B向点C运动．若点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处，此时两点都停止运动．图2是△BPQ的面积y（m2）与点P的运动时间t（s）之间的函数关系图象（点M为图象的最高点），则平行四边形ABCD的面积为（　　）

A．12m2 B．12m2 C．24m2 D．24m2
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）为了调查某品牌护眼灯的使用寿命，比较适合的调查方式是 　 　（填“普查”或“抽样调查”）．
12．（3分）一个圆锥的底面半径为5，高为12，则它的体积为 　 　．
13．（3分）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是 　 　．

14．（3分）若x满足（x﹣2）x+1＝1，则整数x的值为 　 　．
15．（3分）新高考“3+1+2”选科模式是指，除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选择2科．某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为 　 　．
16．（3分）若关于x的不等式组有三个整数解，则实数a的取值范围为 　 　．
17．（3分）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．

观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，（a+b）7展开的多项式中各项系数之和为 　 　．
18．（3分）如图，在△ABC中，将AB绕点A顺时针旋转α至AB′，将AC绕点A逆时针旋转β至AC′（0°＜α＜180°，0°＜β＜180°），得到△AB′C′，使∠BAC+∠B′AC′＝180°，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形“，△AB′C′的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．下列结论正确的有 　 　．
①△ABC与△AB′C′面积相同；
②BC＝2AD；
③若AB＝AC，连接BB′和CC′，则∠B′BC+∠CC′B′＝180°；
④若AB＝AC，AB＝4，BC＝6，则B′C′＝10．

三、解答题（本大题共10小题，共66分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（4分）计算：|1﹣|﹣2cos45°+（）﹣1．
20．（4分）先化简，再求值：，其中x＝1．
21．（5分）为营造良好体育运动氛围，某学校用800元购买了一批足球，又用1560元加购了第二批足球，且所购数量是第一批购买数量的2倍，但单价降了2元，请问该学校两批共购买了多少个足球？
22．（6分）某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点A出发，途经点B后到达山顶P，其中AB＝400米，BP＝200米，且AB段的运行路线与水平方向的夹角为15°，BP段的运行路线与水平方向的夹角为30°，求垂直高度PC．（结果精确到1米，参考数据：sin15°≈0.259，cos15°≈0.966，tan15°≈0.268）

23．（7分）为了解我校学生本学期参加志愿服务的情况，随机调查了我校的部分学生，根据调查结果，绘制出如图统计图．若我校共有1000名学生，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的学生人数为 　 　，扇形统计图中的m＝　 　；
（2）求所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数；
（3）学校为本学期参加志愿服务不少于7次的学生颁发“志愿者勋章”，请估计我校获“志愿者勋章”的学生人数．

24．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°．
（1）求证：四边形ACFD是矩形；
（2）若CD＝13，CF＝5，求四边形ABCE的面积．

25．（7分）一次函数y＝﹣x+m与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，点A的坐标为（1，2）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△OAB的面积；
（3）过动点T（t，0）作x轴的垂线l，l与一次函数y＝﹣x+m和反比例函数y＝的图象分别交于M，N两点，当M在N的上方时，请直接写出t的取值范围．

26．（8分）某建筑物的窗户如图所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AF：BF＝3：4，点G、H、F分别是边AB、AC、BC的中点；下半部分四边形BCDE是矩形，BE∥IJ∥MN∥CD，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设BF＝x米，BE＝y米．
（1）求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）当x为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．

27．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G，交AC于点H，延长AB，DC交于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：AF•AC＝AE•AH；
（3）若sin∠DEA＝，求的值．

28．（9分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，且自变量x的部分取值与对应函数值y如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
5
…
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；
（2）若将线段AB向下平移，得到的线段与二次函数y＝ax2+bx+c的图象交于P，Q两点（P在Q左边），R为二次函数y＝ax2+bx+c的图象上的一点，当点Q的横坐标为m，点R的横坐标为m+时，求tan∠RPQ的值；
（3）若将线段AB先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数y＝（ax2+bx+c）的图象只有一个交点，其中t为常数，请直接写出t的取值范围．


2023年黑龙江省大庆市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）
1．（3分）实数2023的相反数是（　　）
A．2023 B．﹣2023 C． D．
【分析】运用知识点：实数a的相反数是﹣a进行求解．
【解答】解：由题意得，
实数2023的相反数是﹣2023，
故选：B．
【点评】此题考查了实数相反数的求解能力，关键是能准确理解并运用相反数的定义进行求解．
2．（3分）搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭于2023年5月30日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形
【解答】解：选项A、B、D都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．（3分）大庆油田发现预测地质储量12.68亿吨的页岩油，这标志着我国页岩油勘探开发取得重大战略突破．数字1268000000用科学记数法表示为（　　）
A．1.268×109 B．1.268×108 C．1.268×107 D．1.268×106
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
【解答】解：1268000000＝1.268×109．
故选：A．
【点评】本题考查科学记数法—表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
4．（3分）一个长方体被截去一部分后，得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．
【解答】解：从上面看，是一个矩形．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
5．（3分）已知a+b＞0，ab＞0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（　　）

A．（a，b） B．（﹣a，b） C．（﹣a，﹣b） D．（a，﹣b）
【分析】因为ab＞0，所以a、b同号，又a+b＞0，所以a＞0，b＞0，观察图形判断出小手盖住的点在第四象限，然后解答即可．
【解答】解：∵a+b＞0，ab＞0，
∴以a＞0，b＞0，
A、（a，b）在第一象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
B、（﹣a，b）在第二象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
C、（﹣a，﹣b）在第三象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
D、（a，﹣b）在第四象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
6．（3分）某中学积极推进学生综合素质评价改革，该中学学生小明本学期德、智、体、美、劳五项的评价得分如图所示，则小明同学五项评价得分的众数、中位数、平均数分别为（　　）

A．9，9，8.4 B．9，9，8.6 C．8，8，8.6 D．9，8，8.4
【分析】利用众数、中位数及平均数的定义写出答案即可．
【解答】解：该同学五项评价得分从小到大排列分别为7，8，9，9，10，
出现次数最多的数是9，所以众数为9，
位于中间位置的数是8，所以中位数是9，
平均数为（7+8+9+9+10）＝8.6
故选：B．
【点评】本题考查了统计的知识，掌握众数、中位数及平均数的定义是关键．
7．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．一个函数是一次函数就一定是正比例函数
B．有一组对角相等的四边形一定是平行四边形
C．两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等
D．一组数据的方差一定大于标准差
【分析】根据正比例函数的定义、平行四边形的判定、直角三角形全等的判定、标准差的概念对各选项进行判断，选出正确答案即可．
【解答】解：A、一个函数是一次函数不一定是正比例函数，故本选项不符合题意；
B、有两组对角相等的四边形一定是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等，故本选项符合题意；
D、一组数据的方差不一定大于这组数据的标准差，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了正比例函数的定义、平行四边形的判定、直角三角形全等的判定、标准差的概念等知识点，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握各知识点的概念．
8．（3分）端午节是我国传统节日，端午节前夕，某商家出售粽子的标价比成本高25%，当粽子降价出售时，为了不亏本，降价幅度最多为（　　）
A．20% B．25% C．75% D．80%
【分析】设降价幅度为x，降价后的价格大于等于成本列式．
【解答】解：设成本为m，标价为（1+25%）m，
设降价幅度为x，
∴粽子降价出售的售价为：（1+25%）m（1﹣x），
为了不亏本，即售价大于等于成本，
（1+25%）m（1﹣x）≥m，
解得x≤20%，
故选：A．
【点评】本题考查销售问题，解题的关键是商品的售价表示方法与成本间的比较．
9．（3分）将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若∠BAD＝α，∠CBE＝β，则β＝（　　）

A．45°+α B．45°+α C．90°﹣α D．90°﹣α
【分析】由菱形的性质得∠DBE＝∠BAD＝α，AB＝AD，∠ABD＝∠CBD＝β+α，再由等腰三角形的性质得∠ADB＝∠ABD＝β+α，然后由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD和四边形BGHF是完全相同的菱形，
∴∠DBE＝∠BAD＝α，AB＝AD，∠ABD＝∠CBD＝∠CBE+∠DBE＝β+α，
∴∠ADB＝∠ABD＝β+α，
∵∠BAD+∠ADB+∠ABD＝180°，
∴α+β+α+β+α＝180°，
∴β＝90°﹣α，
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理得知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
10．（3分）如图1，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝120°，已知点P在边AB上，以1m/s的速度从点A向点B运动，点Q在边BC上，以m/s的速度从点B向点C运动．若点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处，此时两点都停止运动．图2是△BPQ的面积y（m2）与点P的运动时间t（s）之间的函数关系图象（点M为图象的最高点），则平行四边形ABCD的面积为（　　）

A．12m2 B．12m2 C．24m2 D．24m2
【分析】首先根据题意知道AB：BC＝1：，设AB＝a，则BC＝，从而可用a和t表示出△PBQ的面积，即为图2中二次函数的关系式；再根据图象可知顶点纵坐标为3，根据顶点公式可求出a的值，从而得到了AB和BC的值；最后再根据∠ABC＝120°这一条件，求出平行四边形的高，从而得到面积．
【解答】解：由题意可知：AB：BC＝1：，设AB＝a，则BC＝，
如图，过点P作PE垂直于CB的延长线于点E，
∵PA＝t，则PB＝a﹣t，BQ＝，
在Rt△PBE中，∠PBE＝180°﹣∠ABC＝60°，
∴PE＝，
则y＝，化简得：y＝．
由二次函数图象可知，函数的顶点纵坐标为3，
∴＝＝3，
∴a2＝16，
∵a为正数，
∴a＝4，
∴AB＝4，则BC＝，
如图，过点A作AF垂直于CB的延长线于点F，
在Rt△ABF中，∠ABF＝60°，
∴AF＝＝，
∴S▱ABCD＝BC×AF＝＝24 m2．
故答案为：C．

【点评】本题属于运动综合题，将动点问题的函数图象与解三角形、图形面积结合起来考查．解题的关键是审清题意，找出平行四边形两邻边的关系，并通过设参数的形式列出动点的函数关系式，并对照函数图象上已知的顶点纵坐标求出平行四边形的边长，从而求出平行四边形面积．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）为了调查某品牌护眼灯的使用寿命，比较适合的调查方式是 　抽样调查　（填“普查”或“抽样调查”）．
【分析】根据全面调查与抽样调查的特点解答即可．
【解答】解：调查某品牌护眼灯的使用寿命，具有破坏性，适合采用的调查方式是抽样调查．
故答案为：抽样调查．
【点评】本题考查全面调查与抽样调查，理解全面调查与抽样调查的意义是正确判断的关键．
12．（3分）一个圆锥的底面半径为5，高为12，则它的体积为 　100π　．
【分析】根据圆锥的体积公式即可得到结论．
【解答】解：底面半径为5，高为12的圆锥的体积＝×52π×12＝100π，
故答案为：100π．
【点评】本题考查了圆锥的体积的计算，熟练掌握圆锥的体积公式是解题的关键．
13．（3分）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是 　△MCB　．

【分析】利用矩形的性质得到∠D＝∠C＝90°，然后利用折叠的性质推导出∠BMN＝∠A＝90°，进而得到∠DNM＝∠CMB，由此推断出△NDM∽△MCB．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∴∠DNM+∠DMN＝90°，由折叠的性质可知，∠BMN＝∠A＝90°，
∴∠DMN+∠CBM＝90°，
∴∠DNM＝∠CMB，
∴△NDM∽△MCB，
故答案为：△MCB．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定、矩形的性质以及翻折变换（折叠问题），熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键：两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
14．（3分）若x满足（x﹣2）x+1＝1，则整数x的值为 　﹣1或3或1　．
【分析】根据零指数幂可得x+1＝0，根据有理数的乘方可得x﹣2＝1；x﹣2＝﹣1，x+1为偶数，再解即可．
【解答】解：由题意得：
①x+1＝0，
解得：x＝﹣1；
②x﹣2＝1，
解得：x＝3；
③x﹣2＝﹣1，x+1为偶数，
解得：x＝1，
故答案为：﹣1或3或1．
【点评】此题主要考查了零指数幂，以及有理数的乘方，关键是注意要分类讨论，不要漏解．
15．（3分）新高考“3+1+2”选科模式是指，除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选择2科．某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为 　　．
【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到恰好选中地理和化学两科的结果数，再利用概率公式计算可得．
【解答】解：设思想政治、地理、化学、生物学4门科目分别为A，B，C，D，
画树状图如图所示，

由图可知，共有12种等可能结果，其中该同学恰好选中地理和化学两科的有2种结果，
所以该同学恰好选择地理和化学两科的概率为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
16．（3分）若关于x的不等式组有三个整数解，则实数a的取值范围为 　﹣3≤a＜﹣2　．
【分析】首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组有三个整数解，确定整数解，则可以得到一个关于a的不等式组求得a的范围．
【解答】解：解不等式3（x﹣1）＞x﹣6，得：x＞﹣1.5，
解不等式8﹣2x+2a≥0，得：x≤a+4，
∵不等式组有三个整数解，
∴不等式组的整数解为﹣1，0、1，
则1≤a+4＜2，
解得﹣3≤a＜﹣2．
故答案为：﹣3≤a＜﹣2．
【点评】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
17．（3分）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．

观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，（a+b）7展开的多项式中各项系数之和为 　128　．
【分析】根据图示可得出一般规律，利用规律计算即可．
【解答】解：∵（a+b）0＝1，系数之和是20＝1；
（a+b）1＝a+b，系数之和是21＝2；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，系数之和是22；
……
（a+b）n，展开各项系数之和是2n．
∴（a+b）7展开各项的系数之和为27＝128．
故答案为：128．
【点评】本题考查了完全平方公式的延伸应用，属于规律性探究题型，从特殊到一般规律的推出是数学探究的常用方法．
18．（3分）如图，在△ABC中，将AB绕点A顺时针旋转α至AB′，将AC绕点A逆时针旋转β至AC′（0°＜α＜180°，0°＜β＜180°），得到△AB′C′，使∠BAC+∠B′AC′＝180°，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形“，△AB′C′的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．下列结论正确的有 　①②③　．
①△ABC与△AB′C′面积相同；
②BC＝2AD；
③若AB＝AC，连接BB′和CC′，则∠B′BC+∠CC′B′＝180°；
④若AB＝AC，AB＝4，BC＝6，则B′C′＝10．

【分析】由“SAS”可证△BAC≌△AB′E，可得BC＝AE，S△ABC＝S△AB'E，可求S△ABC＝S△B'C'A，BC＝2AD，故①②正确；由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠B′BC+∠CC′B′＝180°；故③正确；通过证明平行四边形AC'EB'是菱形，可得B'C'⊥AE，B'D＝C'D，由勾股定理可求B'C'的长，即可判断④，即可求解．
【解答】证明：延长AD至E，使DE＝AD，连接B'E，C'E，
∵AD是中线，
∴B'D＝C'D，
∴四边形AC'EB'是平行四边形，
∴B'E∥AC'，B'E＝AC'，S△B'C'A＝S▱B'EC'A＝S△AB'E，
∴∠B′AC′+∠AB′E＝180°，
∵∠BAC+∠B′AC′＝180°，
∴∠BAC＝∠AB′E，
∵将AB绕点A顺时针旋转α至AB′，将AC绕点A逆时针旋转β至AC′，
∴AB＝AB'，AC＝AC'＝B'E，
在△BAC和△AB′E中，
，
∴△BAC≌△AB′E（SAS），
∴BC＝AE，S△ABC＝S△AB'E，
∴S△ABC＝S△B'C'A，故①正确；
∵AE＝2AD，
∴BC＝2AD，故②正确；
∵AB＝AC，
∴AB'＝AC'＝AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，∠ABB'＝∠AB'B，∠ACC'＝∠AC'C，∠AB'C'＝∠AC'B'，
∵∠BAC+∠B′AC′＝180°，
∴α+β＝180°，∠B'C'A+∠ABC＝90°，
∴∠ABB'+∠AC'C＝90°，
∴∠B′BC+∠CC′B′＝180°；故③正确；
∵BC＝6，
∴AD＝3，
∵AB'＝AC'＝AB＝AC＝4，
∴平行四边形AC'EB'是菱形，
∴B'C'⊥AE，B'D＝C'D，
∴B'D＝＝＝，
∴B'C'＝2，故④错误，
故答案为：①②③．

【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共66分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（4分）计算：|1﹣|﹣2cos45°+（）﹣1．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：|1﹣|﹣2cos45°+（）﹣1
＝﹣1﹣2×+2
＝﹣1﹣+2
＝1．
【点评】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题是关键．
20．（4分）先化简，再求值：，其中x＝1．
【分析】先通分，再计算加减，再把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝﹣+
＝
＝
＝
＝，
当x＝1时，原式＝＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
21．（5分）为营造良好体育运动氛围，某学校用800元购买了一批足球，又用1560元加购了第二批足球，且所购数量是第一批购买数量的2倍，但单价降了2元，请问该学校两批共购买了多少个足球？
【分析】设第一批足球单价为x元，则第二批足球的单价为（x﹣2）元，根据学校用800元购买了一批足球，又用1560元加购了第二批足球，且所购数量是第一批购买数量的2倍列方程即可得结论．
【解答】解：设第一批足球单价为x元，则第二批足球的单价为（x﹣2）元，
由题意得：×2＝，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
则x﹣2＝78，
+＝30，
答：该学校两批共购买了30个足球．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22．（6分）某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点A出发，途经点B后到达山顶P，其中AB＝400米，BP＝200米，且AB段的运行路线与水平方向的夹角为15°，BP段的运行路线与水平方向的夹角为30°，求垂直高度PC．（结果精确到1米，参考数据：sin15°≈0.259，cos15°≈0.966，tan15°≈0.268）

【分析】过点B作BD⊥PC，垂足为D，过点B作BE⊥AC，垂足为E，根据题意可得：CD＝BE，然后分别在Rt△ABE和Rt△BDP中，利用锐角三角函数的定义求出BE和DP的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：过点B作BD⊥PC，垂足为D，过点B作BE⊥AC，垂足为E，

由题意得：CD＝BE，
在Rt△ABE中，∠A＝15°，AB＝400米，
∴BE＝AB•sin15°≈400×0.259＝103.6（米），
∴CD＝BE＝103.6米，
在Rt△BDP中，∠PBD＝30°，BP＝200米，
∴DP＝BP＝100（米），
∴PC＝PD+DC≈204（米），
∴垂直高度PC约为204米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．（7分）为了解我校学生本学期参加志愿服务的情况，随机调查了我校的部分学生，根据调查结果，绘制出如图统计图．若我校共有1000名学生，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的学生人数为 　40　，扇形统计图中的m＝　25　；
（2）求所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数；
（3）学校为本学期参加志愿服务不少于7次的学生颁发“志愿者勋章”，请估计我校获“志愿者勋章”的学生人数．

【分析】（1）由两个统计图可得样本参加志愿服务为5次的有4人，占调查人数的10%，由频率可求出调查人数，进而求出参加志愿服务为8次所占的百分比，得出m的值；
（2）根据加权平均数公式进行计算即可；
（3）用样本中的“参加志愿服务7次”的学生所占的百分比去估计全校1000名学生“参加志愿服务7次”所占的百分比，再根据频率进行计算即可．
【解答】解：（1）4÷10%＝40（人），
10÷40×100%＝25%，即m＝25，
故答案为：40，25；
（2）＝7（次），
故所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数为7次；
（3）1000×（37.5+25%+7.5%）＝700（名），
答：估计我校获“志愿者勋章”的学生人数大约有700名．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°．
（1）求证：四边形ACFD是矩形；
（2）若CD＝13，CF＝5，求四边形ABCE的面积．

【分析】（1）证明△ADE≌△FCE（AAS），得AE＝FE，所以四边形ACFD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题；
（2）根据矩形的性质和勾股定理求出DF的值，由△ADE≌△FCE，可得四边形ABCE的面积＝平行四边形ABCD﹣△CEF的面积，进而可以解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE，
∵E为线段CD的中点，
∴DE＝CE，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AE＝FE，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∵∠ACF＝90°，
∴四边形ACFD是矩形；
（2）解：∵CD＝13，CF＝5，
∴BC＝CF＝5，
∵四边形ACFD是矩形，
∴∠CFD＝90°，AC＝DF，
∴DF＝＝＝12，
∵△ADE≌△FCE，
∵△CEF的面积＝△ACF＝5×12＝15，
平行四边形ABCD的面积＝BC•AC＝5×12＝60，
∴四边形ABCE的面积＝平行四边形ABCD的面积﹣△CEF的面积＝60﹣15＝45．

【点评】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
25．（7分）一次函数y＝﹣x+m与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，点A的坐标为（1，2）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△OAB的面积；
（3）过动点T（t，0）作x轴的垂线l，l与一次函数y＝﹣x+m和反比例函数y＝的图象分别交于M，N两点，当M在N的上方时，请直接写出t的取值范围．

【分析】（1）利用待定系数法求得即可；
（2）解析式联立，解方程组求得点B的坐标，利用S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC求得即可；
（3）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x+m与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，点A的坐标为（1，2），
∴2＝﹣1+m，2＝，
∴m＝3，k＝2，
∴一次函数表达式为y＝﹣x+3，反比例函数的表达式为y＝；
（2）由，解得或，
∴B（2，1），
设一次函数y＝﹣x+3与x轴的交点为C，则C（3，0），
∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝﹣＝；
（3）观察图象，当M在N的上方时，t的取值范围是t＜0或1＜t＜2．

【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
26．（8分）某建筑物的窗户如图所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AF：BF＝3：4，点G、H、F分别是边AB、AC、BC的中点；下半部分四边形BCDE是矩形，BE∥IJ∥MN∥CD，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设BF＝x米，BE＝y米．
（1）求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）当x为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出CF的长，即可求出BC的长，根据AF：BF＝3：4即可求出AF的长，再根据勾股定理求出AB的长，AC的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出FG、FH的长，根据矩形的性质求出ED＝BC＝2x米，BE＝IJ＝MN＝CD＝y米，最后根据制造窗户框的材料总长为16米列出方程即可得到y与x之间的函数关系式；
（2）根据窗户的面积等于△ABC的面积加上矩形BCDE的面积计算，再根据配方法求二次函数的顶点坐标即可．
【解答】解：（1）∵△ABC是等腰三角形，F是BC的中点，
∴BF＝CF，AF⊥BC，AB＝AC，
∵BF＝x米，
∴CF＝x米，BC＝2BF＝2x米，
∵AF：BF＝3：4，
∴米，
在Rt△AFB中，由勾股定理得米，
∴米，
∵点G、H分别是边AB、AC的中点，∠AFB＝∠AFC＝90°，
∴米，米，
∵四边形BCDE是矩形，
∴ED＝BC＝2x米，BE＝CD＝y米，
∵BE∥IJ∥MN∥CD，
∴BE＝IJ＝MN＝CD＝y米，
∵制造窗户框的材料总长为16米，
∴AB+AC+FG+FH+AF+BC+ED+BE+IJ+MN+CD＝16米，
∴，
整理得；
由题意得，
解得；
（2）∵，，
设窗户的面积为W平方米，
则W＝S△ABC+S矩形BCDE
＝
＝
＝，
∵，
∴W有最大值，
当米时，W最大，最大值为平方米．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的性质，二次函数的应用，根据材料总长用含x的式子表示y，从而运用函数性质求最大值是解题的关键．
27．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G，交AC于点H，延长AB，DC交于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：AF•AC＝AE•AH；
（3）若sin∠DEA＝，求的值．

【分析】（1）连接OC，证明OC∥AD即可得证；
（2）证明△AHF∽△ACE即可得证；
（3）过H作HM⊥AD，由∠DEA＝∠ADG可得sin∠DEA＝＝sin∠ADG，设AG＝5x，AD＝4x，则DG＝3x，AM＝3x，MF＝x，由角平分线的性质可得MH＝GH，设GH＝MH＝a，则MF＝再说明△MHF∽△GAF，从而得出对边成比例即可表示出a＝x，从而可表示出FH，再由勾股定理表示出AH即可解答．
【解答】（1）证明：连接OC，

∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠EAC，
∵∠OCA＝∠EAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥AD，
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠EAC，
又∵CD⊥AD，FG⊥AB，
∴∠AGF＝∠D＝90°，
∴∠AFG+∠DAG＝90°，∠E+∠DAE＝90°，
∴∠AFG＝∠DEA，
∴△AHF∽△ACE，
∴，
即AF•AC＝AE•AH；
（3）过H作HM⊥AD，如图：

由（2）知∠AFG＝∠DEA，
∴sin∠DEA＝＝sin∠AFG＝，
设AG＝4x，AF＝5x，则FG＝3x，
∵AC平分∠DAB，
∴MH＝GH，AG＝AM＝4x，
∴MF＝x，
设GH＝MH＝a，
∴tan∠AFG＝，
∴，
∴a＝x，
∴FH＝3x﹣x＝x，
AH＝＝＝，
∴＝＝．
【点评】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，正确作出辅助线是解题关键．
28．（9分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，且自变量x的部分取值与对应函数值y如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
5
…
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；
（2）若将线段AB向下平移，得到的线段与二次函数y＝ax2+bx+c的图象交于P，Q两点（P在Q左边），R为二次函数y＝ax2+bx+c的图象上的一点，当点Q的横坐标为m，点R的横坐标为m+时，求tan∠RPQ的值；
（3）若将线段AB先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数y＝（ax2+bx+c）的图象只有一个交点，其中t为常数，请直接写出t的取值范围．

【分析】（1）选择三个合适的点，利用待定系数法求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；
（2）构造直角三角形，把∠RPQ放在直角三角形中，用m表示tan∠RPQ的值并化简；
（3）二次函数y＝（x2﹣2x﹣3）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，对称轴为直线x＝1，二次函数y＝（x2﹣2x﹣3）与二次函数y＝（x2﹣2x﹣3）只是开口大小和方向发生了变化，并且||越大，开口越小，所以利用数形结合寻求线段与抛物线的交点问题．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0），B（3，0），（0，﹣3）三个点，
∴，
∴，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．
（2）过R作RT⊥PQ，垂足为T，
∵点Q的横坐标为m，点R的横坐标为m+，
∴QT＝，
∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝1，
∴点P，Q关于直线x＝1对称，
∵Q到x＝1的距离是m﹣1，
∴PQ＝2（m﹣1）＝2m﹣2，
∴PT＝2m﹣2+，
∵yR＝（m+）2﹣2（m+）﹣3，yT＝yQ＝m2﹣2m﹣3，
∴RT＝yR﹣yT＝2m﹣2+2，
∴在Rt△RPT中，tan∠RPQ＝＝＝．

（3）线段AB先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段设为A'B'，则A'（0，3），B'（4，3），
二次函数y＝（x2﹣2x﹣3）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，对称轴为直线x＝1，二次函数y＝（x2﹣2x﹣3）与二次函数y＝（x2﹣2x﹣3）只是开口大小和方向发生了变化，并且||越大，开口越小．若线段A'B'与二次函数y＝（x2﹣2x﹣3）的图象只有一个交点，分以下三种情况：
①当t＞0时，开口向上，如图，线段A'B'与二次函数y＝（x2﹣2x﹣3）的图象只有一个交点，当抛物线经过B'（4，3）时开口最大，最小，t最大，把（4，3）代入y＝（x2﹣2x﹣3）得t＝，
∴0＜t≤．

②当t＜0时，开口向下，如图，线段A'B'与二次函数y＝（x2﹣2x﹣3）的图象只有一个交点（1，3），代入y＝（x2﹣2x﹣3）得t＝﹣．

③当t＜0时，开口向下，如图，线段A'B'与二次函数y＝（x2﹣2x﹣3）的图象只有一个交点，当抛物线经过A'（0，3）时开口最大，||最小，t最小，把（0，3）代入y＝（x2﹣2x﹣3）得t＝﹣1，
∴﹣1＜t＜0．

综上，t的取值范围是：t＝﹣或﹣1＜t＜0或0＜t≤．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数表达式，解直角三角形，渗透了分类和数形结合的思想，对于第（3）问，关键是研究二次函数y＝（x2﹣2x﹣3）的性质，找到分类标准．
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