2023年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷

这是一份2023年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷，共37页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷
一、单项选择题（本题12个小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≤1 B．x≥﹣1 C．x＜﹣1 D．x＞1
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a2•a4＝a8 B．3a3﹣a3＝2a
C．（ab2）3＝a3b6 D．（a+b）2＝a2+b2
4．（3分）如图，A，B，C为⊙O上的三个点，∠AOB＝4∠BOC，若∠ACB＝60°，则∠BAC的度数是（　　）

A．20° B．18° C．15° D．12°
5．（3分）一组数据1，x，5，7有唯一众数，且中位数是6，则平均数是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．（3分）由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最多是（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
7．（3分）观察下面两行数：
1，5，11，19，29，…；
1，3，6，10，15，…．
取每行数的第7个数，计算这两个数的和是（　　）
A．92 B．87 C．83 D．78
8．（3分）如图，正方形ABCD的顶点A，B在y轴上，反比例函数y＝的图象经过点C和AD的中点E，若AB＝2，则k的值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
9．（3分）若分式方程＝1﹣的解为负数，则a的取值范围是（　　）
A．a＜﹣1且a≠﹣2 B．a＜0且a≠﹣2 C．a＜﹣2且a≠﹣3 D．a＜﹣1且a≠﹣3
10．（3分）用一个圆心角为90°，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
11．（3分）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABEF，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕MN，如图②．
根据以上的操作，若AB＝8，AD＝12，则线段BM的长是（　　）

A．3 B． C．2 D．1
12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），（3，0）．下列结论：
①＞0；②c＝2b；③若抛物线上有点（，y1），（﹣3，y2），（﹣，y3），则y2＜y1＜y3；④方程cx2+bx+a＝0的解为x1＝，x2＝﹣．其中正确的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本题8个小题，每小题3分，共24分）
13．（3分）目前，中国国家版本馆中央总馆入藏版本量共16000000余册．数据16000000用科学记数法表示为 　 　．
14．（3分）如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，请添加一个条件 　 　，使△AOB≌△DOC．（只填一种情况即可）

15．（3分）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上；顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm，若按相同的方式将22.5°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为 　 　cm．

16．（3分）甲，乙两名同学玩“石头、剪子、布”的游戏，随机出手一次，甲获胜的概率是 　 　．
17．（3分）张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是 　 　．
18．（3分）将抛物线y＝（x+3）2向下平移1个单位长度，再向右平移 　 　个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．
19．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，AB＝2，A（1，0），∠DAB＝60°，将菱形ABCD绕点A旋转90°后，得到菱形AB1C1D1，则点C1的坐标是 　 　．

20．（3分）如图，在正方形ABCD中，E在边CD上，BE交对角线AC于点F，CM⊥BE于M，∠CME的平分线所在直线分别交CD，AC于点N，P，连接FN．
下列结论：①S△NPF：S△NPC＝FM：MC；②CM＝PN；③EN•CD＝EC•CF；④若EM＝1，MB＝4，则PM＝．其中正确的是 　 　．

三、解答题（共60分）
21．（5分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝sin30°．
22．（6分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P的坐标；
（2）求△BCP的面积．
注：注抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣，顶点坐标是（，）．

23．（6分）在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝2，D为AB的中点，以CD为直角边作含30°角的Rt△CDE，∠DCE＝90°，且点E与点A在CD的同侧，请用尺规或三角板作出符合条件的图形，并直接写出线段AE的长．
24．（7分）第二十二届中国绿色食品博览会上，我省采用多种形式，全方位展示“寒地黑土”“绿色有机”金字招牌，大力推介以下绿色优质农产品：A．“龙江奶”；B．“龙江肉”；C．“龙江米”；D．“龙江杂粮”；E．“龙江菜”；F．“龙江山珍”等，为了更好地了解某社区对以上六类绿色优质农产品的关注程度，某校学生对社区居民进行了抽样调查（每位居民只选最关注的一项），根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整统计图．请根据两幅统计图中的信息，解答下列问题：

（1）本次参与调查的居民有多少人？
（2）补全条形统计图，在扇形统计图中C类的百分比是 　 　；
（3）如果该社区有4000人，估计关注“龙江杂粮”的居民有多少人？
25．（8分）在一条高速公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发匀速驶向C地，到达C地休息1h后调头（调头时间忽略不计）按原路原速驶向B地，甲车从A地出发1.5h后，乙车从C地出发匀速驶向A地，两车同时到达目的地．两车距A地路程ykm与甲车行驶时间xh之间的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲车行驶的速度是 　 　km/h，乙车行驶的速度是 　 　km/h；
（2）求图中线段MN所表示的y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）乙车出发多少小时，两车距各自出发地路程的差是160km？请直接写出答案．

26．（8分）▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，连接DE，将ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF，连接BF．
（1）当点E在线段BC上，∠ABC＝45°时，如图①，求证：AE+EC＝BF；
（2）当点E在线段BC延长线上，∠ABC＝45°时，如图②；当点E在线段CB延长线上，∠ABC＝135°时，如图③，请猜想并直接写出线段AE，EC，BF的数量关系；
（3）在（1）、（2）的条件下，若BE＝3，DE＝5，则CE＝　 　．

27．（10分）某商场欲购进A和B两种家电，已知B种家电的进价比A种家电的进价每件多100元，经计算，用1万元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同．请解答下列问题：
（1）这两种家电每件的进价分别是多少元？
（2）若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且A种家电不超过67件，则该商场有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，若A和B两种家电的售价分别是每件600元和750元，该商场从这100件中拿出两种家电共10件奖励优秀员工，其余家电全部售出后仍获利5050元，请直接写出这10件家电中B种家电的件数．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，OB，OC的长是方程x2﹣6x+8＝0的两个根（OB＞OC．请解答下列问题：
（1）求点B的坐标；
（2）若OD：OC＝2：1，直线y＝﹣x+b分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，且M是AD的中点，直线EF交DC延长线于点N，求tan∠MND的值；
（3）在（2）的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使△NPQ是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由．


2023年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本题12个小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、原图不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≤1 B．x≥﹣1 C．x＜﹣1 D．x＞1
【分析】根据二次根式（a≥0）可得x+1≥0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：x+1≥0，
解得：x≥﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式（a≥0）是解题的关键．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a2•a4＝a8 B．3a3﹣a3＝2a
C．（ab2）3＝a3b6 D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】利用同底数幂的乘法法则，合并同类项的法则，幂的乘方与积的乘方法则和完全平方公式对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵a2•a4＝a6，
∴A选项的运算不正确，不符合题意；
∵3a3﹣a3＝2a3，
∴B选项的运算不正确，不符合题意；
∵（ab2）3＝a3b6，
∴C选项的运算正确，符合题意；
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴D选项的运算不正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法法则，合并同类项的法则，幂的乘方与积的乘方法则和完全平方公式，熟练掌握上述法则与公式是解题的关键．
4．（3分）如图，A，B，C为⊙O上的三个点，∠AOB＝4∠BOC，若∠ACB＝60°，则∠BAC的度数是（　　）

A．20° B．18° C．15° D．12°
【分析】利用圆周角定理可求∠AOB＝120°，再根据∠AOB＝4∠BOC，得∠BOC＝30°，所以∠BAC＝∠BOC＝15°．
【解答】解：∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∵∠AOB＝4∠BOC，
∴∠BOC＝30°，
∴∠BAC＝∠BOC＝15°．
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5．（3分）一组数据1，x，5，7有唯一众数，且中位数是6，则平均数是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】根据中位数、众数、平均数的定义及公式进行计算即可求出答案．
【解答】解：∵一组数据1，x，5，7有唯一众数，且中位数是6，
∴x＝7，
∴平均数是（1+5+7+7）÷4＝5，
故选：B．
【点评】本题考查平均数，众数，中位数，解题的关键是掌握平均数，众数，中位数的意义．
6．（3分）由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最多是（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据所给出的图形可知这个几何体共有2层，3列，先看第一层正方体可能的最多个数，再看第二层正方体的可能的最多个数，相加即可．
【解答】解：根据主视图和左视图可得：
这个几何体有2层，3列，最底层最多有3×2＝6个正方体，第二层有1个正方体，
则搭成这个几何体的小正方体的个数最多是6+1＝7个；
故选：B．
【点评】此题考查了有三视图判断几何体，关键是根据主视图和左视图确定组合几何体的层数及列数．
7．（3分）观察下面两行数：
1，5，11，19，29，…；
1，3，6，10，15，…．
取每行数的第7个数，计算这两个数的和是（　　）
A．92 B．87 C．83 D．78
【分析】观察第2行数可知第n个数为1+2+3+…+n，第一行数的第n个数为第2行第n个数的2倍减1，即可求出每行数的第7个数，从而得到答案．
【解答】解：观察第2行数可知，第7个数为：1+2+3+4+5+6+7＝28，
第1行的第7个数为28×2﹣1＝55，
∵28+55＝83，
∴取每行数的第7个数，这两个数的和是83；
故选：C．
【点评】本题考查数字的变化类问题，解题的关键是观察得到两行数字的变化规律．
8．（3分）如图，正方形ABCD的顶点A，B在y轴上，反比例函数y＝的图象经过点C和AD的中点E，若AB＝2，则k的值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据正方形的性质以及结合已知表示出E，C点坐标，进而利用反比例函数图象上点的坐标特征得出等式求出答案．
【解答】解：由题意可得：设C（2，a），则E（1，a+2），
可得：2a＝1×（a+2），
解得：a＝2，
故C（2，2），
则k＝2×2＝4．
故选：B．
【点评】此题主要考查了正方形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，正确表示出E点坐标是解题关键．
9．（3分）若分式方程＝1﹣的解为负数，则a的取值范围是（　　）
A．a＜﹣1且a≠﹣2 B．a＜0且a≠﹣2 C．a＜﹣2且a≠﹣3 D．a＜﹣1且a≠﹣3
【分析】求出分式方程的解，按照解为负数列出不等式进行计算即可得出a的取值范围．
【解答】解：方程两侧同乘（x+2）得，a＝x+2﹣3，
∴x＝a+1，
∵解为负数，
∴a+1＜0，
即a＜﹣1，
要是分式有意义，x≠﹣2，即a+1≠﹣2，
∴a≠﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了求分式方程的解以及一次不等式的解集，分式有意义的条件是本题考查的重点．
10．（3分）用一个圆心角为90°，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】根据弧长公式先计算出扇形的弧长，再利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解．
【解答】解：扇形的弧长＝＝4π，
设圆锥的底面直径为d，则πd＝4π，
所以d＝4．
故选：C．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
11．（3分）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABEF，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕MN，如图②．
根据以上的操作，若AB＝8，AD＝12，则线段BM的长是（　　）

A．3 B． C．2 D．1
【分析】由矩形的性质得DC＝AB＝8，BC＝AD＝12，∠BAD＝∠B＝90°，由折叠得∠AFE＝∠B＝90°，AF＝AB＝8，所以四边形ABCD是正方形，则BE＝EF＝AB＝8，∠BEF＝90°，所以EM＝8﹣BM，FM＝CM＝12﹣BM，由勾股定理得（8﹣BM）2+82＝（12﹣BM）2，求得BM＝2，于是得到问题的答案．
【解答】解：如图①，∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝12，
∴DC＝AB＝8，BC＝AD＝12，∠BAD＝∠B＝90°，
由折叠得∠AFE＝∠B＝90°，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AF＝AB＝8，
∴四边形ABCD是正方形，
∴BE＝EF＝AB＝8，∠BEF＝90°，
如图②，由折叠得FM＝CM，
∵EM2+EF2＝FM2，且EM＝8﹣BM，FM＝CM＝12﹣BM，
∴（8﹣BM）2+82＝（12﹣BM）2，
解得BM＝2，
故选：C．
【点评】此题重点考查正方形的判定与性质、矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，推导出EM＝8﹣BM，FM＝CM＝12﹣BM，是解题的关键．
12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），（3，0）．下列结论：
①＞0；②c＝2b；③若抛物线上有点（，y1），（﹣3，y2），（﹣，y3），则y2＜y1＜y3；④方程cx2+bx+a＝0的解为x1＝，x2＝﹣．其中正确的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】由二次函数的图象可判断出个系数的符号，即可判断①，由对称轴可判断②，然后根据增减性可判断③，由根与系数的关系可判断④．
【解答】解：∵抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，
∵a＜0，b＞0，c＞0，
∴①错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），（3，0）．
∴对称轴为直线y＝，即﹣＝，
∴b＝﹣a，
∴a＝﹣b，
把（﹣2，0）代入解析式得4a﹣2b+c＝0，把a＝﹣b，
∴﹣4b﹣2b+c＝0，
∴c＝6b，故②错误；
∵抛物线开口向下，
∴越靠近对称轴的点的函数值越大，
∴y2＜y1＜y3，故③正确；
a＝﹣b，c＝6b，选项④可变成6bx2+bx﹣b＝0，即6x2+x﹣1＝0；即可求出两根为，x2＝，
故④错误．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
二、填空题（本题8个小题，每小题3分，共24分）
13．（3分）目前，中国国家版本馆中央总馆入藏版本量共16000000余册．数据16000000用科学记数法表示为 　1.6×107　．
【分析】运用科学记数法将数字16000000改写成a×10n的形式．
【解答】解：由题意得，
16000000＝1.6×107，
故答案为：1.6×107．
【点评】此题考查了运用科学记数法表示较大数的能力，关键是能准确理解并运用该知识．
14．（3分）如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，请添加一个条件 　AB＝DC（答案不唯一）　，使△AOB≌△DOC．（只填一种情况即可）

【分析】由平行线的性质得到∠A＝∠D，∠B＝∠C，因此添加条件AB＝DC，使△AOB≌△DOC（ASA）．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，∠B＝∠C，
∴添加一个条件AB＝DC，由ASA即可证明△AOB≌△DOC．
故答案为：AB＝DC（答案不唯一）．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
15．（3分）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上；顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm，若按相同的方式将22.5°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为 　（2+2）　cm．

【分析】作CD⊥AO于D，BE⊥AO于E，得到CD＝2cm，由67.5°角的正切即可求出OD的长．
【解答】解：如图，∠ABC＝45°，∠C＝90°，AB＝BD，
∴∠D＝∠BAD＝∠ABC＝22.5°，
∴∠CAD＝67.5°，
令AC＝BC＝x，
∴BD＝AB＝x，
∴CD＝（+1）x，
∴tan∠CAD＝tan67.5°＝＝＝+1；

作CD⊥AO于D，BE⊥AO于E，
∵∠BOE＝45°，
∴∠OBE＝∠BOE＝45°，
∴BE＝OE＝2（cm），
∴CD＝BE＝2cm，
∵∠COD＝22.5°，
∴∠OCD＝∠67.5°，
∵tan∠OCD＝tan67.5°＝＝+1，
∴OD＝（2+2）cm．
∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为（2+2）cm．
故答案为：（2+2）．

【点评】本题考查解直角三角形，关键是求出tan67.5°＝+1，即可解决问题
16．（3分）甲，乙两名同学玩“石头、剪子、布”的游戏，随机出手一次，甲获胜的概率是 　　．
【分析】用树状图表示所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【解答】解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下：

共有9种等可能出现的结果，其中甲获胜的有3种，
所以随机出手一次，甲获胜的概率是＝，
故答案为：．
【点评】本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的前提．
17．（3分）张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是 　20%　．
【分析】设每月盈利的平均增长率是x，利用5月份盈利＝3月份盈利×（1+每月盈利的平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设每月盈利的平均增长率是x，
根据题意得：5000（1+x）2＝7200，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），
∴每月盈利的平均增长率是20%．
故答案为：20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．（3分）将抛物线y＝（x+3）2向下平移1个单位长度，再向右平移 　2或4　个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．
【分析】先求出抛物线y＝（x+3）2向下平移1个单位长度的解析式为y＝（x+3）2﹣1，设抛物线向右平移h个单位长度后，得到的新抛物线经过原点，则新抛物线的解析式为y＝（x+3﹣h）2﹣1，由抛物线经过原点可知，当x＝0时，y＝0，代入抛物线的解析式求出h的值即可．
【解答】解：抛物线y＝（x+3）2向下平移1个单位长度的解析式为y＝（x+3）2﹣1，
设抛物线向右平移h个单位长度后，得到的新抛物线经过原点，则新抛物线的解析式为y＝（x+3﹣h）2﹣1，
∵抛物线经过原点，
∴当x＝0时，y＝0，
∴（3﹣h）2﹣1＝0，
解得h＝2或4．
故答案为：2或4．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特点，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键．
19．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，AB＝2，A（1，0），∠DAB＝60°，将菱形ABCD绕点A旋转90°后，得到菱形AB1C1D1，则点C1的坐标是 　（1﹣，3）或（1+，3）　．

【分析】根据菱形的性质和含30°角的直角三角形的性质得出AD＝AB＝BC＝CD解答．
【解答】解：如图所示：
∵菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，AB＝2，A（1，0），∠DAB＝60°，
∴AD＝AB＝BC＝CD＝2，AB边的高是，
∴点C‘的纵坐标为±3，横坐标为1±，
∴点C’的坐标为（1﹣，3）或（1+，3），
故答案为：（1﹣，3）或（1+，3）．

【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和含30°角的直角三角形的性质解答．
20．（3分）如图，在正方形ABCD中，E在边CD上，BE交对角线AC于点F，CM⊥BE于M，∠CME的平分线所在直线分别交CD，AC于点N，P，连接FN．
下列结论：①S△NPF：S△NPC＝FM：MC；②CM＝PN；③EN•CD＝EC•CF；④若EM＝1，MB＝4，则PM＝．其中正确的是 　①④　．

【分析】记N到PC的距离为h，可得＝＝，证明△PMF∽△PCN，有，∠PFM＝∠PNC，，同理△NCM∽△NPC，有，故，从而判断①正确；证明M，F，C，N四点共圆，得∠FNC＝∠FMC＝90°，可得△EFN∽△EBC，，判断③不正确；证明△CME∽△BMC，得CM2＝BM•EM＝4，CM＝2，（负根舍去），，BC＝＝2＝AB，同理可得：△CEF∽△ABF，有＝＝，故EF＝BE＝，BF＝，FM＝BM﹣BF＝4﹣＝，由△PMF∽△BCF，有，而△EFN∽△EBC，可得EN＝EC＝，CN＝EC﹣EN＝，CF＝CN＝，可得PM＝，判断④正确；根据△EMN∽△ECF，可得＝，MN＝，PN＝PM+MN＝+＝，判断②不正确．
【解答】解：记N到PC的距离为h，
∴＝＝，
∵CM⊥BE，四边形ABCD是正方形，
∴∠CME＝90°，∠PCN＝45°，
∵MN平分∠CME，
∴∠CMN＝∠EMN＝∠PMF＝45°＝∠PCN，
∵∠MPF＝∠NPC，
∴△PMF∽△PCN，
∴，∠PFM＝∠PNC，
∴，
同理可得：△NCM∽△NPC，
∴，
∴，
∴＝，
∴＝，故①正确；
∵∠PMF＝45°＝∠PCE，
∴∠PCE+∠FMN＝180°，
∴M，F，C，N四点共圆，
∴∠FNC＝∠FMC＝90°，
∴FN∥BC，
∴△EFN∽△EBC，
∴，
∴EN•CD＝EC•FN，故③不正确；
∵EM＝1，BM＝4，
∴BE＝5，
∵正方形ABCD，CM⊥BE，
∴∠BCD＝∠BMC＝∠EMC＝90°，
∴∠MEC+∠MCE＝90°＝∠MCE+∠BCM，
∴∠MEC＝∠BCM，
∴△CME∽△BMC，
∴，即CM2＝BM•EM＝4，
∴CM＝2，（负根舍去），
∴，BC＝＝2＝AB，
同理可得：△CEF∽△ABF，
∴＝＝，
∴EF＝BF，
∴EF＝BE＝，BF＝，
∴FM＝BM﹣BF＝4﹣＝，
∵∠PMF＝∠ACB＝45°，∠PFM＝∠BFC，
∴△PMF∽△BCF，
∴，
∵△EFN∽△EBC，
∴，
∴EN＝EC＝，
∴CN＝EC﹣EN＝，
∴CF＝CN＝，
∴＝，
∴PM＝，故④正确；
同理可得：△EMN∽△ECF，
∴，即＝，
∴MN＝，
∴PN＝PM+MN＝+＝，
而CM＝2，
∴CM≠PN，故②不正确；
综上所述：正确的有①④，
故答案为：①④．
【点评】本题考查正方形的性质及应用，涉及相似三角形的性质及应用，解题的关键是掌握正方形的性质及相似三角形的判定定理．
三、解答题（共60分）
21．（5分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝sin30°．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
【解答】解：（1﹣）÷
＝•
＝•
＝x+1，
当x＝sin30°＝时，原式＝+1＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22．（6分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P的坐标；
（2）求△BCP的面积．
注：注抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣，顶点坐标是（，）．

【分析】（1）直接运用待定系数法即可求解．
（2）连接OP，用割补求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4，
∴P（，﹣）；
（2）连接OP，

∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4），P（，﹣）；
∴S△OPC＝＝3，
S△BOP＝＝，
S△BOC＝＝8，
∴S△BPC＝S△OPC+S△BOP﹣S△BOC＝3+﹣8＝．
【点评】本题考查二次函数的图象性质和三角形的面积，学会灵活求三角形的面积是解题关键．
23．（6分）在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝2，D为AB的中点，以CD为直角边作含30°角的Rt△CDE，∠DCE＝90°，且点E与点A在CD的同侧，请用尺规或三角板作出符合条件的图形，并直接写出线段AE的长．
【分析】根据等边三角形的性质作图，再根据勾股定理求解．
【解答】解：如图：Rt△CDE即为所求；

∵∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝2，
∴AC＝2，
∵△ACE是等边三角形，
∴AE＝AC＝2．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，掌握等边三角形和直角三角形的性质是解题的关键．
24．（7分）第二十二届中国绿色食品博览会上，我省采用多种形式，全方位展示“寒地黑土”“绿色有机”金字招牌，大力推介以下绿色优质农产品：A．“龙江奶”；B．“龙江肉”；C．“龙江米”；D．“龙江杂粮”；E．“龙江菜”；F．“龙江山珍”等，为了更好地了解某社区对以上六类绿色优质农产品的关注程度，某校学生对社区居民进行了抽样调查（每位居民只选最关注的一项），根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整统计图．请根据两幅统计图中的信息，解答下列问题：

（1）本次参与调查的居民有多少人？
（2）补全条形统计图，在扇形统计图中C类的百分比是 　30%　；
（3）如果该社区有4000人，估计关注“龙江杂粮”的居民有多少人？
【分析】（1）从两个统计图可知，样本中选择E．“龙江菜”的有34人，占调查人数的17%，由频率＝即可求出得调查人数；
（2）求出样本中选择B．“龙江肉”；C．“龙江米”的人数，即可补全条形统计图；
（3）求出样本中选择D．“龙江杂粮”的学生所占的百分比，估计总体中选择D．“龙江杂粮”所占的百分比，进而求出相应的人数即可．
【解答】解：（1）34÷17%＝200（人），
答：本次参与调查的居民有200人；
（2）选择B．“龙江肉”的学生人数为：200×15%＝30（人）；
选择C．“龙江米”的学生人数为：200﹣18﹣46﹣34﹣12﹣30＝60（人），
补全条形统计图如图所示：

扇形统计图中C类的百分比是60÷200×100%＝30%，
故答案为：30%；
（3）4000×＝920（人），
答：该社区有4000人，估计关注“龙江杂粮”的居民约为920人．
【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图，掌握频率＝是正确解答的前提．
25．（8分）在一条高速公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发匀速驶向C地，到达C地休息1h后调头（调头时间忽略不计）按原路原速驶向B地，甲车从A地出发1.5h后，乙车从C地出发匀速驶向A地，两车同时到达目的地．两车距A地路程ykm与甲车行驶时间xh之间的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲车行驶的速度是 　120　km/h，乙车行驶的速度是 　80　km/h；
（2）求图中线段MN所表示的y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）乙车出发多少小时，两车距各自出发地路程的差是160km？请直接写出答案．

【分析】（1）结合函数图象中D点的坐标的实际意义求出甲车的速度，由题意可知乙车晚1.5小时出发，当乙车行驶1.5h时行驶了360﹣240＝120（km），由此可求出乙车的速度；
（2）由题意可知点（1.5，360）和（3，240）在线段MN上，利用待定系数法求函数解析式；
（3）先求得点E、F坐标，然后分情况列方程求解即可．
【解答】解：（1）由图可得D（3，360），即甲出发3时后与A地相距360km，
∴甲车行驶速度为＝120（km/h），
由题意可得，乙车出发1.5h行驶120km，
∴乙车行驶速度为 ＝80（km/h），
故答案为：120，80；
（2）设线段MN所在直线的解析式为 y＝kx+b（k≠0），
将（1.5，360），（3，240）代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴线段MN所在直线的解析式为y＝﹣80x+480（1.5≤x≤6）；
（3）由题意可得，当y＝0时，x＝6，
∴N（6，0），
∵两车同时到达目的地，
∴乙到达目的地时，甲距离A地的距离为360﹣120×（6﹣3﹣1）＝120（km），
∴F（6，120），E（4，360），
设乙车出发t时，两车距各自出发地路程的差是160km，
当0＜t≤1.5时，此时甲在到达C地前，则|80t﹣120×（t+1.5）|＝160，
解得t为负数，不合题意；
当1.5＜t≤2.5时，此时甲在C地休息，则|80t﹣360|＝160，
解得t1＝2.5，t2＝6.5（不合题意，舍去）；
当2.5＜t≤4.5时，此时甲在C地休息，则|80t﹣[2×360﹣120×（t+1.5﹣1）]|＝160，
解得t1＝2.5（不合题意，舍去），t2＝4.1；
综上，乙车出发2.5h或4.1h，两车距各自出发地路程的差是160km．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是结合图形理解各个时间节点的实际意义．
26．（8分）▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，连接DE，将ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF，连接BF．
（1）当点E在线段BC上，∠ABC＝45°时，如图①，求证：AE+EC＝BF；
（2）当点E在线段BC延长线上，∠ABC＝45°时，如图②；当点E在线段CB延长线上，∠ABC＝135°时，如图③，请猜想并直接写出线段AE，EC，BF的数量关系；
（3）在（1）、（2）的条件下，若BE＝3，DE＝5，则CE＝　1或7　．

【分析】（1）由∠AEB＝90°，∠ABC＝45°，得∠BAE＝∠ABC＝45°，则BE＝AE，由旋转得∠DEF＝90°，EF＝ED，则∠BEF＝∠AED＝90°﹣∠AEF，即可证明△BEF≌△AED，得BF＝AD，由平行四边形的性质得BC＝AD，则AE+EC＝BE+EC＝BC＝AD＝BF；
（2）当点E在线段BC延长线上，则∠AEB＝90°，所以∠BAE＝∠ABC＝45°，则BE＝AE，而∠DEF＝90°，EF＝ED，则∠BEF＝∠AED＝90°﹣∠AEF，即可证明△BEF≌△AED，所以BF＝AD，则AE﹣EC＝BE+EC＝BC＝AD＝BF；当点E在线段CB延长线上，∠ABC＝135°时，则∠AEB＝90°，∠ABE＝180°﹣∠ABC＝45°，所以∠BAE＝∠ABE＝45°，仍可证明△BEF≌△AED，得BF＝AD，所以EC﹣AE＝EC﹣BE＝BC＝AD＝BF；
（3）分三种情况，一是点E在BC边上，由AD∥BC，得∠DAE＝∠AEB＝90°，则AD＝＝4，所以BC＝AD＝4，则CE＝BC﹣BE＝1；二是点E在线段BC延长线上，仍可求得AD＝＝＝4，则BF＝AD＝4，由AE﹣EC＝BF，得EC＝AE﹣BF＝﹣1，即CE＝﹣1，不符合题意，舍去；三是点E在线段CB延长线上，∠ABC＝135°，可求得AD＝＝4，则BC＝AD＝4，所以CE＝BE+BC+3+4＝7，于是得到问题的答案．
【解答】（1）证明：如图①，∵AE⊥BC于点E，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAE＝∠ABC＝45°，
∴BE＝AE，
∵将ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF，
∴∠DEF＝90°，EF＝ED，
∴∠BEF＝∠AED＝90°﹣∠AEF，
∵BE＝AE，∠BEF＝∠AED，EF＝ED，
∴△BEF≌△AED（SAS），
∴BF＝AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，
∴AE+EC＝BE+EC＝BC＝AD，
∴AE+EC＝BF．
（2）解：图②，AE﹣EC＝BF；图③，EC﹣AE＝BF，
理由：如图②，AE⊥BC交BC的延长线于点E，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAE＝∠ABC＝45°，
∴BE＝AE，
∵将ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF，
∴∠DEF＝90°，EF＝ED，
∴∠BEF＝∠AED＝90°﹣∠AEF，
∵BE＝AE，∠BEF＝∠AED，EF＝ED，
∴△BEF≌△AED（SAS），
∴BF＝AD，
∵BC＝AD，
∴AE﹣EC＝BE+EC＝BC＝AD，
∴AE﹣EC＝BF；
如图③，AE⊥BC交CB的延长线于点E，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABC＝135°，
∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝45°，
∴∠BAE＝∠ABE＝45°，
∴BE＝AE，
∵将ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF，
∴∠DEF＝90°，EF＝ED，
∴∠BEF＝∠AED＝90°﹣∠BED，
∵BE＝AE，∠BEF＝∠AED，EF＝ED，
∴△BEF≌△AED（SAS），
∴BF＝AD，
∴BC＝AD，
∴EC﹣AE＝EC﹣BE＝BC＝AD，
∴EC﹣AE＝BF．
（3）解：如图①，∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB＝90°，
∵AE＝BE＝3，DE＝5，
∴AD＝＝＝4，
∴BC＝AD＝4，
∴CE＝BC﹣BE＝4﹣3＝1；
如图②，∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB＝90°，
∵AE＝BE＝3，DE＝5，
∴AD＝＝＝4，
∴BF＝AD＝4，
∵AE﹣EC＝BF，
∴EC＝AE﹣BF＝3﹣4＝﹣1，即CE＝﹣1，不符合题意，舍去；
如图③，∵AD∥BC，
∴∠DAE＝180°﹣∠AEB＝90°，
∵AE＝BE＝3，DE＝5，
∴AD＝＝＝4，
∴BC＝AD＝4，
∴CE＝BE+BC+3+4＝7，
综上所述，CE＝1或CE＝7，
故答案为：1或7．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，证明△BEF≌△AED是解题的关键．
27．（10分）某商场欲购进A和B两种家电，已知B种家电的进价比A种家电的进价每件多100元，经计算，用1万元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同．请解答下列问题：
（1）这两种家电每件的进价分别是多少元？
（2）若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且A种家电不超过67件，则该商场有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，若A和B两种家电的售价分别是每件600元和750元，该商场从这100件中拿出两种家电共10件奖励优秀员工，其余家电全部售出后仍获利5050元，请直接写出这10件家电中B种家电的件数．
【分析】（1）设A种家电每件进价为x元，则B种家电每件进价为（x+100）元，利用数量＝总价÷单价，结合用1万元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出A种家电每件的进价，再将其代入（x+100）中，可求出B种家电每件的进价；
（2）设购进A种家电a件，则购进B种家电（100﹣a）件，根据“总金额不超过53500元，且A种家电不超过67件”，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，再结合a为正整数，即可得出各购买方案；
（3）设这10件家电中包含m件B种家电，则包含（10﹣m）件A种家电，分a＝65，a＝66及a＝67三种情况考虑，利用总利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价，可列出关于m的一元一次方程，解之可得出m的值，再结合m为正整数，即可得出结论．
【解答】解：（1）设A种家电每件进价为x元，则B种家电每件进价为（x+100）元，
根据题意得：，
解得：x＝500，
经检验，x＝500是所列方程的解，且符合题意，
∴x+100＝500+100＝600．
答：A种家电每件的进价为500元，B种家电每件的进价为600元；
（2）设购进A种家电a件，则购进B种家电（100﹣a）件，
根据题意得：，
解得：65≤a≤67，
又∵a为正整数，
∴a可以为65，66，67，
∴该商场共有3种购买方案，
方案1：购进A种家电65件，B种家电35件；
方案2：购进A种家电66件，B种家电34件；
方案3：购进A种家电67件，B种家电33件；
（3）设这10件家电中包含m件B种家电，则包含（10﹣m）件A种家电，
当a＝65时，600×[65﹣（10﹣m）]+750（35﹣m）﹣500×65﹣600×35＝5050，
解得：m＝，
∵m为正整数，
∴m＝不符合题意，舍去；
当a＝66时，600×[66﹣（10﹣m）]+750（34﹣m）﹣500×66﹣600×34＝5050，
解得：m＝，
∵m为正整数，
∴m＝不符合题意，舍去；
当a＝67时，600×[67﹣（10﹣m）]+750（33﹣m）﹣500×67﹣600×33＝5050，
解得：m＝4．
答：这10件家电中包含4件B种家电．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，OB，OC的长是方程x2﹣6x+8＝0的两个根（OB＞OC．请解答下列问题：
（1）求点B的坐标；
（2）若OD：OC＝2：1，直线y＝﹣x+b分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，且M是AD的中点，直线EF交DC延长线于点N，求tan∠MND的值；
（3）在（2）的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使△NPQ是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）解x2﹣6x+8＝0，可得B（﹣4，0）；
（2）由OD：OC＝2：1，OC＝2，得OD＝4，M是AD中点，可得M（﹣3，4），代入y＝﹣x+b，得：b＝1，故E（1，0），F（0，1），∠FEO＝45°，过点C作CH⊥EN于H，过点N作NK⊥BC于K，由△DOC∽△NKC，可得NK＝EK＝2CK，从而N（3，﹣2），求出EN＝2，EH＝＝＝CH，即可得tan∠MND＝＝；
（3）由（2）知，N（3，﹣2），设P（0，m），Q（t，﹣t+1），有PN2＝9+（m+2）2，QN2＝2（t﹣3）2，PQ2＝t2+（m+t﹣1）2，当PN＝5时，9+（m+2）2＝25，解得m＝2或m＝﹣6；当QN＝5时，2（t﹣3）2，解得t＝；分别画出图形，结合m，t的值可得答案．
【解答】解：（1）由 x2﹣6x+8＝0，得x1＝4，x2＝2，
∵OB＞0C，
∴OB＝4，0C＝2，
∴B（﹣4，0）；
（2）∵OD：OC＝2：1，OC＝2，
∴OD＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝6，
∵M是AD中点，
∴MD＝3，
∴M（﹣3，4），
将M（﹣3，4）代入y＝﹣x+b，得：3+b＝4，
解得：b＝1，
在y＝﹣x+b中，令x＝0得y＝1，令y＝0得x＝1，
∴E（1，0），F（0，1），
∴∠FEO＝45°，
过点C作CH⊥EN于H，过点N作NK⊥BC于K，

∵∠DOC＝∠NKC＝90°，∠DCO＝∠NCK，
∴△DOC∽△NKC，
∴DO：OC＝NK：CK＝2：1，
∴NK＝EK＝2CK，
∵CE＝OC﹣OE＝2﹣1＝1，
∴CK＝1，NK＝2，
∴N（3，﹣2），
∴EN＝2，EH＝＝＝CH，
∴NH＝EN﹣EH＝，
∴tan∠MND＝＝＝；
（3）存在点Q，使△NPQ是腰长为5的等腰三角形，理由如下：
由（2）知，N（3，﹣2），
设P（0，m），Q（t，﹣t+1），
∴PN2＝9+（m+2）2，QN2＝2（t﹣3）2，PQ2＝t2+（m+t﹣1）2，
当PN＝5时，9+（m+2）2＝25，解得m＝2或m＝﹣6；
当QN＝5时，2（t﹣3）2，解得t＝；
①如图：

△P'NQ1，△PNQ2，△P'NQ2是腰长为5的等腰三角形，
结合图形可得Q1（﹣4，5），Q2（，）；
②如图：

△P'NQ3，△P'NQ4，△PNQ4是边长为5的等腰三角形，
结合图形可得Q3（4，﹣3），Q4（，）；
③如图：

△PQ5N，△P'Q5N是腰长为5的等腰三角形，此时Q5（，），
综上所述，腰长为5的等腰三角形NPQ共有8个，Q1（﹣4，5），Q2（，）；Q3（4，﹣3），Q4（，）；Q5（，）．
【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及锐角三角函数，等腰三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
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