2023年湖北省荆州市中考数学试卷

这是一份2023年湖北省荆州市中考数学试卷，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年湖北省荆州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共有10个小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）
1．（3分）在实数﹣1，，，3.14中，无理数是（　　）
A．﹣1 B． C． D．3.14
2．（3分）下列各式运算正确的是（　　）
A．3a2b3﹣2a2b3＝a2b3 B．a2•a3＝a6
C．a6÷a2＝a3 D．（a2）3＝a5
3．（3分）观察如图所示的几何体，下列关于其三视图的说法正确的是（　　）

A．主视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
B．左视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
C．俯视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
D．主视图、左视图、俯视图都是中心对称图形
4．（3分）已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系（I＝）．下列反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）已知k＝（+）•（﹣），则与k最接近的整数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（3分）为评估一种水稻的种植效果，选了10块地作试验田．这10块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，x10，下面给出的统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是（　　）
A．这组数据的平均数 B．这组数据的方差
C．这组数据的众数 D．这组数据的中位数
7．（3分）如图所示的“箭头”图形中，AB∥CD，∠B＝∠D＝80°，∠E＝∠F＝47°，则图中∠G的度数是（　　）

A．80° B．76° C．66° D．56°
8．（3分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺，问木条长多少尺？若设木条长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，直线y＝﹣x+3分别与x轴，y轴交于点A，B，将△OAB绕着点A顺时针旋转90°得到△CAD，则点B的对应点D的坐标是（　　）

A．（2，5） B．（3，5） C．（5，2） D．（，2）
10．（3分）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，B为上一点，OB⊥AC于D．若AC＝300m，BD＝150m，则的长为（　　）

A．300πm B．200πm C．150πm D．100πm
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若|a﹣1|+（b﹣3）2＝0，则＝　 　．
12．（3分）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC＝8，CD＝5，则DE＝　 　．

13．（3分）某校为了解学生对A，B，C，D四类运动的参与情况，随机调查了本校80名学生，让他们从中选择参与最多的一类，得到对应的人数分别是30，20，18，12．若该校有800名学生，则估计有 　 　人参与A类运动最多．
14．（3分）如图，∠AOB＝60°，点C在OB上，OC＝2，P为∠AOB内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点P到OA的距离为 　 　．

15．（3分）如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°，底部C的俯角为60°，无人机与旗杆的水平距离AD为6m，则该校的旗杆高约为 　 　m．（≈1.73，结果精确到0.1）

16．（3分）如图，点A（2，2）在双曲线y＝（x＞0）上，将直线OA向上平移若干个单位长度交y轴于点B，交双曲线于点C．若BC＝2，则点C的坐标是 　 　．

三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）
17．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝（）﹣1，y＝（﹣2023）0．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k＝1时，用配方法解方程．
19．（8分）如图，BD是等边△ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于E，连接DE．求证：CD＝CE．

20．（8分）首届楚文化节在荆州举办前，主办方为使参与服务的志愿者队伍整齐，随机抽取了部分志愿者，对其身高进行调查，将身高（单位：cm）数据分A，B，C，D，E五组制成了如下的统计图表（不完整）．
组别
身高分组
人数
A
155≤x＜160
3
B
160≤x＜165
2
C
165≤x＜170
m
D
170≤x＜175
5
E
175≤x＜180
4
根据以上信息回答：
（1）这次被调查身高的志愿者有 　 　人，表中的m＝　 　，扇形统计图中α的度数是 　 　；
（2）若E组的4人中，男女各有2人，以抽签方式从中随机抽取两人担任组长．请列表或画树状图，求刚好抽中两名女志愿者的概率．

21．（8分）如图，在菱形ABCD中，DH⊥AB于H，以DH为直径的⊙O分别交AD，BD于点E，F，连接EF．
（1）求证：①CD是⊙O的切线；
②△DEF∽△DBA；
（2）若AB＝5，DB＝6，求sin∠DFE．

22．（10分）荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购A种的件数是630元采购B种件数的2倍，A种的进价比B种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购B种的件数不低于390件，不超过A种件数的4倍．
（1）求A，B饰品每件的进价分别为多少元？
（2）若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购A种超过150件时，A种超过的部分按进价打6折．设购进A种饰品x件，
①求x的取值范围；
②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．
23．（10分）如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB的同侧分别以A，P，B为顶点作∠1＝∠2＝∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线．
（1）如图2，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；
（2）如图3，在Rt△APC中，∠A＝90°，AC＞AP，延长AP至点B，使AB＝AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F，连接BF．
①确定△PCF的形状，并说明理由；
②若AP：PB＝1：2，BF＝k，求等联线AB和线段PE的长（用含k的式子表示）．

24．（12分）已知：y关于x的函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b．
（1）若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a＝4b，则a的值是 　 　；
（2）如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A（﹣2，0），B（4，0），并与动直线l：x＝m（0＜m＜4）交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E．设△PBE的面积为S1，△CDE的面积为S2．
①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积；
②探究直线l在运动过程中，S1﹣S2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．


2023年湖北省荆州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有10个小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）
1．（3分）在实数﹣1，，，3.14中，无理数是（　　）
A．﹣1 B． C． D．3.14
【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
【解答】解：实数﹣1，，，3.14中，无理数是，
故选：B．
【点评】本题考查无理数的识别，其定义是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2．（3分）下列各式运算正确的是（　　）
A．3a2b3﹣2a2b3＝a2b3 B．a2•a3＝a6
C．a6÷a2＝a3 D．（a2）3＝a5
【分析】根据合并同类项的方法，以及同底数幂的乘法、除法的运算方法，幂的乘方与积的乘方，逐项判断即可．
【解答】解：∵3a2b3﹣2a2b3＝a2b3，
∴选项A运算正确，符合题意；
∵a2•a3＝a5，
∴选项B运算错误，不符合题意；
∵a6÷a2＝a4，
∴选项C运算错误，不符合题意；
∵（a2）3＝a6，
∴选项D运算错误，不符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了合并同类项的方法，以及同底数幂的乘法、除法的运算方法，幂的乘方与积的乘方，解答此题的关键是要明确：（1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加；（2）同底数幂相除，底数不变，指数相减．
3．（3分）观察如图所示的几何体，下列关于其三视图的说法正确的是（　　）

A．主视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
B．左视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
C．俯视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
D．主视图、左视图、俯视图都是中心对称图形
【分析】根据组合体的三视图判断即可．
【解答】解：该几何体的主视图是轴对称图形，不是中心对称图形，A选项不符合题意；
该几何体的左视图是轴对称图形，不是中心对称图形，B选项不符合题意；
该几何体的俯视图是中心对称图形，又是轴对称图形，C选项符合题意；
主视图和左视图是轴对称图形，不是中心对称图形，D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查几何体的三视图，解题的关键是掌握简单几何体的三视图及轴对称图形、中心对称图形的概念．
4．（3分）已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系（I＝）．下列反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意得到电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系（I＝），于是得到结论．
【解答】解：∵电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系（I＝），R、I均大于0，
∴反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是D选项，
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是学会利用图象信息解决问题，属于中考常考题型．
5．（3分）已知k＝（+）•（﹣），则与k最接近的整数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据平方差公式进行计算，然后估算即可．
【解答】解：∵k＝（+）•（﹣）＝×2＝2，
而1.4＜＜1.5，
∴2.8＜2＜3，
∴与k最接近的整数，3，
故选：B．
【点评】本题考查估算无理数的大小，平方差公式，解决本题的关键是掌握平方差公式．
6．（3分）为评估一种水稻的种植效果，选了10块地作试验田．这10块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，x10，下面给出的统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是（　　）
A．这组数据的平均数 B．这组数据的方差
C．这组数据的众数 D．这组数据的中位数
【分析】根据平均数、众数和中位数及方差的意义求解即可．
【解答】解：标准差，方差能反映数据的波动程度，
故选：B．
【点评】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握平均数、众数和中位数及方差的意义．
7．（3分）如图所示的“箭头”图形中，AB∥CD，∠B＝∠D＝80°，∠E＝∠F＝47°，则图中∠G的度数是（　　）

A．80° B．76° C．66° D．56°
【分析】延长AB交EG于M，延长CD交FG于N，过G作GK∥AB，得到GK∥CD，推出∠KGM＝∠EMB，∠KGN＝∠DNF，得到∠EGF＝∠EMB+∠DNF，由三角形外角的性质得到∠EMB＝33°，∠DNF＝33°，即可求出∠EGF的度数．
【解答】解：延长AB交EG于M，延长CD交FG于N，过G作GK∥AB，
∵AB∥CD，
∴GK∥CD，
∴∠KGM＝∠EMB，∠KGN＝∠DNF，
∴∠KGM+∠KGN＝∠EMB+∠DNF，
∴∠EGF＝∠EMB+∠DNF，
∵∠ABE＝80°，∠E＝47°，
∴∠EMB＝∠ABE﹣∠E＝33°，
同理：∠DNF＝33°，
∴∠EGF＝∠EMB+∠DNF＝33°+33°＝66°．
故选：C．

【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是通过作辅助线，由平行线的性质，得到∠EGF＝∠EMB+∠DNF，由三角形外角的性质求出∠EMB、∠DNF的度数，即可解决问题．
8．（3分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺，问木条长多少尺？若设木条长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设木条长x尺，绳子长y尺，所列方程组为：．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9．（3分）如图，直线y＝﹣x+3分别与x轴，y轴交于点A，B，将△OAB绕着点A顺时针旋转90°得到△CAD，则点B的对应点D的坐标是（　　）

A．（2，5） B．（3，5） C．（5，2） D．（，2）
【分析】先根据坐标轴上点的坐标特征求出B点坐标为（0，3），A点坐标为（2，0），则OA＝2，OB＝3，再根据旋转的性质得∠OAC＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝2，CD＝OB＝3，然后根据点的坐标的确定方法即可得到点D的坐标．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，则B点坐标为（0，3）；
当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝2，则A点坐标为（2，0），
则OA＝2，OB＝3，
∵△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△ACD，
∴∠OAC＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝2，CD＝OB＝3，
即AC⊥x轴，CD∥x轴，
∴点D的坐标为（5，2）．
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点、一次函数的性质及旋转的性质，熟知图形旋转后对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等是解题的关键．
10．（3分）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，B为上一点，OB⊥AC于D．若AC＝300m，BD＝150m，则的长为（　　）

A．300πm B．200πm C．150πm D．100πm
【分析】先根据垂径定理求出AD的长，由题意得OD＝OA﹣BD，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出OA的值，然后再利用三角比计算出所对的圆心角的度数，由弧长公式求出的长即可．
【解答】解：如图所示：

∵OB⊥AC，
∴AD＝AC＝150m，∠AOC＝2AOB，
在Rt△AOD中，
∵AD2+OD2＝OA2，OA＝OB，
∴AD2+（OA﹣BD）2＝OA2，
∴+（OA﹣150）2²＝OA2，
解得：OA＝300m，
∴sin∠AOB＝＝，
∴∠AOB＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴的长＝＝200πm．
故选：B．
【点评】本题考查的是垂径定理，勾股定理及弧长的计算公式，根据垂径定理得出AD的长，再由勾股定理求出半径是解答此题的关键，同时要熟记圆弧长度的计算公式．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若|a﹣1|+（b﹣3）2＝0，则＝　2　．
【分析】根据绝对值及偶次幂的非负性求得a，b的值，然后代入中计算即可．
【解答】解：|a﹣1|+（b﹣3）2＝0，
∵|a﹣1|≥0，（b﹣3）2≥0，
∴a﹣1＝0，b﹣3＝0，
则a＝1，b＝3，
那么＝＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查绝对值及偶次幂的非负性和算术平方根的定义，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键．
12．（3分）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC＝8，CD＝5，则DE＝　3　．

【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质得到AB＝2CD＝10，根据勾股定理得到BC＝＝6，根据三角形中位线定理即可得到结论．
【解答】解：∵CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，CD＝5，
∴AB＝2CD＝10，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，
∴BC＝＝6，
∵E为AC的中点，
∴AE＝CE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
13．（3分）某校为了解学生对A，B，C，D四类运动的参与情况，随机调查了本校80名学生，让他们从中选择参与最多的一类，得到对应的人数分别是30，20，18，12．若该校有800名学生，则估计有 　300　人参与A类运动最多．
【分析】根据用样本估计总体，列出算式计算即可求解．
【解答】解：800×＝300（人）．
故估计有300人参与A类运动最多．
故答案为：300．
【点评】本题考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
14．（3分）如图，∠AOB＝60°，点C在OB上，OC＝2，P为∠AOB内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点P到OA的距离为 　1　．

【分析】由作图知PE垂直平分OC，CO平分∠AOB，根据线段垂直平分线的性质得到OE＝OC＝，∠PEO＝90°，根据角平分线的定义得到∠POD＝∠AOC＝＝30°，根据三角函数的定义得到EP＝OE×tan30°＝，根据角平分线的性质即可得到结论．
【解答】解：由作图知PE垂直平分OC，PO平分∠AOB，
∴OE＝OC＝，∠PEO＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠POE＝∠AOP＝＝30°，
∴EP＝OE×tan30°＝，
∵CO平分∠AOB，
∴点P到OA的距离＝PE＝1．
故答案为：1．

【点评】此题主要考查了作图﹣基本作图．以及角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质．
15．（3分）如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°，底部C的俯角为60°，无人机与旗杆的水平距离AD为6m，则该校的旗杆高约为 　13.8　m．（≈1.73，结果精确到0.1）

【分析】分别利用锐角三角函数关系得出BD，DC的长，进而求出该旗杆的高度．
【解答】解：由题意可得：tan30°＝，
解得：BD＝2（米），
tan60°＝，
解得：DC＝6（米），
故该校的旗杆高约为：BC＝BD+DC＝8≈13.8（米），
故答案为：13.8．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．
16．（3分）如图，点A（2，2）在双曲线y＝（x＞0）上，将直线OA向上平移若干个单位长度交y轴于点B，交双曲线于点C．若BC＝2，则点C的坐标是 　（，2）　．

【分析】由题意，点A（2，2），则∠AOx＝45°，同时可得双曲线解析式，再作CH⊥x轴，作BG⊥CH，可得∠CBG＝45°，又BC＝2，再结合双曲线解析式可以得解．
【解答】解：∵点A（2，2）在双曲线y＝（x＞0）上，
∴2＝．
∴k＝4．
∴双曲线解析式为y＝．
如图，作AD⊥x轴，CH⊥x轴，作BG⊥CH，垂足分别为D、H、G．

∵A（2，2），
∴AD＝OD．
∴∠AOD＝45°．
∴∠AOB＝45°．
∵OA∥BC，
∴∠CBO＝180°﹣45°＝135°．
∴∠CBG＝135°﹣90°＝45°．
∴∠CBG＝∠BCG．
∵BC＝2，
∴BG＝CG＝．
∴C点的横坐标为．
又C在双曲线y＝上，
∴C（，2）．
故答案为：（，2）．
【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质的应用，需要熟练掌握并理解．
三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）
17．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝（）﹣1，y＝（﹣2023）0．
【分析】先进行分式的化简，再根据零指数幂，负整数指数幂求出x，y的值，进而代入求值即可．
【解答】解：原式＝[﹣]•
＝（﹣）•
＝•
＝，
∵x＝（）﹣1＝2，y＝（﹣2023）0＝1，
∴原式＝＝2．
【点评】本题考查了分式的化简求值，零指数幂，负整数指数幂，解决本题的关键是准确进行分式化简．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k＝1时，用配方法解方程．
【分析】（1）结合已知条件，根据一元二次方程的定义及根的判别式即可求得k的取值范围；
（2）将k＝1代入方程，利用配方法解方程即可．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2k+4）2﹣4k（k﹣6）＞0，且k≠0，
解得：k＞﹣且k≠0；

（2）当k＝1时，
原方程为x2﹣（2×1+4）x+1﹣6＝0，
即x2﹣6x﹣5＝0，
移项得：x2﹣6x＝5，
配方得：x2﹣6x+9＝5+9，
即（x﹣3）2＝14，
直接开平方得：x﹣3＝±
解得：x1＝3+，x2＝3﹣．
【点评】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式及配方法解一元二次方程，（1）中需特别注意二次项的系数不为0．
19．（8分）如图，BD是等边△ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于E，连接DE．求证：CD＝CE．

【分析】根据等边三角形的性质得到BD⊥AC，∠ACB＝60°，求得∠DBC＝30°，根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠DBC＝30°，求得∠E＝∠2＝30°，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：∵BD是等边△ABC的中线，
∴BD⊥AC，∠ACB＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∵BD＝DE，
∴∠E＝∠DBC＝30°，
∵∠CDE+∠E＝∠ACB＝60°，
∴∠E＝∠2＝30°，
∴CD＝CE．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
20．（8分）首届楚文化节在荆州举办前，主办方为使参与服务的志愿者队伍整齐，随机抽取了部分志愿者，对其身高进行调查，将身高（单位：cm）数据分A，B，C，D，E五组制成了如下的统计图表（不完整）．
组别
身高分组
人数
A
155≤x＜160
3
B
160≤x＜165
2
C
165≤x＜170
m
D
170≤x＜175
5
E
175≤x＜180
4
根据以上信息回答：
（1）这次被调查身高的志愿者有 　20　人，表中的m＝　6　，扇形统计图中α的度数是 　54°　；
（2）若E组的4人中，男女各有2人，以抽签方式从中随机抽取两人担任组长．请列表或画树状图，求刚好抽中两名女志愿者的概率．

【分析】（1）由A、B、D、E四组的人数除以所占百分比得出这次被调查身高的志愿者人数，即可解决问题；
（2）画树状图，求得有12种等可能的结果，其中刚好抽中两名女志愿者的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）这次被调查身高的志愿者有：（3+2+5+4）÷（1﹣30%）＝20（人），
∴m＝20×30%＝6，
扇形统计图中α的度数是：360°×＝54°，
故答案为：20，6，54°；
（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中刚好抽中两名女志愿者的结果有2种，
∴P（刚好抽中两名女志愿者）＝＝．
【点评】本题考查了树状图法求概率以及频数分布表和扇形统计图等知识，树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（8分）如图，在菱形ABCD中，DH⊥AB于H，以DH为直径的⊙O分别交AD，BD于点E，F，连接EF．
（1）求证：①CD是⊙O的切线；
②△DEF∽△DBA；
（2）若AB＝5，DB＝6，求sin∠DFE．

【分析】（1）①由四边形ABCD是菱形，DH⊥AB，可得∠CDH＝∠DHA＝90°，CD⊥OD，故CD是⊙O的切线；
②连接HF，由DH为⊙O直径，有∠DFH＝90°，可得∠DHF＝∠DBA＝∠DEF，又∠EDF＝∠BDA，从而△DEF∽△DBA；
（2）连接AC交BD于G．由菱形ABCD，BD＝6，得AC⊥BD，AG＝GC，DG＝GB＝3，AG＝＝4，故AC＝2AG＝8，用面积法可得DH＝，即得sin∠DEE＝sin∠DAH＝＝．
【解答】（1）证明：①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∵DH⊥AB，
∴∠CDH＝∠DHA＝90°，
∴CD⊥OD，
∵D为⊙O的半径的外端点，
∴CD是⊙O的切线；
②连接HF，

∴∠DEF＝∠DHF，
∵DH为⊙O直径，
∴∠DFH＝90°，
∴∠DHF＝90°﹣∠BDH，
∵∠DHB＝90°，
∴∠DBA＝90°﹣∠BDH，
∴∠DHF＝∠DBA＝∠DEF，
∵∠EDF＝∠BDA，
∴△DEF∽△DBA；
（2）解：连接AC交BD于G．

∵菱形ABCD，BD＝6，
∴AC⊥BD，AG＝GC，DG＝GB＝3，
在Rt△AGB中，AG＝＝4，
∴AC＝2AG＝8，
∵S菱形ABCD＝AC•BD＝AB•DH，
∴DH＝＝，
由△DEF∽△DBA知：∠DFE＝∠DAH，
∴sin∠DEE＝sin∠DAH＝＝＝．
【点评】本题考查圆的综合应用，涉及锐角三角函数，勾股定理，菱形等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质定理．
22．（10分）荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购A种的件数是630元采购B种件数的2倍，A种的进价比B种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购B种的件数不低于390件，不超过A种件数的4倍．
（1）求A，B饰品每件的进价分别为多少元？
（2）若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购A种超过150件时，A种超过的部分按进价打6折．设购进A种饰品x件，
①求x的取值范围；
②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．
【分析】（1）设A种饰品每件的进价为a元，则B种饰品每件的进价为（a﹣1）元，利用数量＝总价÷单价，结合用1400元采购A种的件数是630元采购B种件数的2倍，即可得出关于a的分式方程，解之经检验后即可得出每台A种电器的进价，再将其代入（a﹣1）中即可求出每台B种电器的进价；
（2）①利用“计划采购这两种饰品共600件，采购B种的件数不低于390件，不超过A种件数的4倍“列不等式组可得结论；
②设采购A种饰品x件时的总利润为w元，分两种情况：当120≤x≤150时，当150＜x≤210时，分别表示w与x的关系式根据增减性可解答．
【解答】解：（1）设A种饰品每件的进价为a元，则B种饰品每件的进价为（a﹣1）元，
由题意得：＝×2，
解得：a＝10，
经检验，a＝10是所列方程的解，且符合题意，
a﹣1＝9，
答：A种饰品每件的进价为10元，则B种饰品每件的进价为9元；
（2）①由题意得：，
解得：120≤x≤210，
∴购进A种饰品件数x的取值范围为：120≤x≤210，且x为整数；
②设采购A种饰品x件时的总利润为w元，
当120≤x≤150时，w＝15×600﹣10x﹣9（600﹣x）＝﹣x+3600，
∵﹣1＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝120时，w有最大值是：﹣120+3600＝3480，
当150＜x≤210时，w＝15×600﹣[10×150+10×60%（x﹣150）]﹣9（600﹣x）＝3x+3000，
∵3＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝210时，w有最大值是：3×210+3000＝3630，
∵3630＞3480，
∴w的最大值是3630，此时600﹣x＝600﹣210＝390，
即当采购A种饰品210件，B种饰品390件，商铺获利最大，最大利润为3630元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
23．（10分）如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB的同侧分别以A，P，B为顶点作∠1＝∠2＝∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线．
（1）如图2，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；
（2）如图3，在Rt△APC中，∠A＝90°，AC＞AP，延长AP至点B，使AB＝AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F，连接BF．
①确定△PCF的形状，并说明理由；
②若AP：PB＝1：2，BF＝k，求等联线AB和线段PE的长（用含k的式子表示）．

【分析】（1）根据新定义，画出等联角即可；
（2）①△PCF是等腰直角三角形，过点C作CN⊥BE交BE的延长线于N，由折叠得AC＝CM，∠CMP＝∠CME＝∠A＝90°，∠1＝∠2，证明四边形ABNC为正方形，进而证明Rt△CME≌Rt△CNE，得出∠PCF＝45°，即可求解；
②过点F作FQ⊥BE于Q，FR⊥PB交PB的延长线于R，则∠R＝∠A＝90°．证明△APC≌△RFP，得出AP＝BR＝FR，在Rt△BRF 中，BR2+FR2＝BF2，，进而证明四边形BRFQ为正方形，则BQ＝QF＝k，由FQ∥CN，得出△AEF∽△NEC，根据相似三角形的性质得出，根据 PE＝PM+ME即可．
【解答】解：（1）作图如下：（方法不唯一）

（2）①△PCF是等腰直角三角形．理由为：
如图，过点C作CN⊥BE交BE的延长线于N．

由折叠得AC＝CM，∠CMP＝∠CME＝∠A＝90°，∠1＝∠2，
∵AC＝AB，∠A＝∠PBD＝∠N＝90°，
∴四边形ABNC为正方形，
∴CN＝AC＝CM，
又∵CE＝CE，
∴Rt△CME≌Rt△CNE（HL），
∴∠3＝∠4，
而∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，∠CPF＝90°，
∴∠PCF＝∠2+∠3＝∠CFP＝45°，
∴△PCF是等腰直角三角形．
②如图，过点F作FQ⊥BE于Q，FR⊥PB交PB的延长线于R，
则∠R＝∠A＝90°，

∵∠1+∠5＝∠5+∠6＝90°，
∴∠1＝∠6，
由△PCF是等腰直角三角形知：PC＝PF，
∴△APC≌△RFP（AAS），
∴AP＝FR，AC＝PR，
而AC＝AB，
∴AP＝BR＝FR，
在Rt△BRF中，BR2+FR2＝BF2，，
∴AP＝BR＝FR＝k，
∴PB＝2AP＝2k，
∴AB＝AP+PB＝BN＝3k，
∵BR＝FR，∠QBR＝∠R＝∠FQB＝90°，
∴四边形BRFQ为正方形，BQ＝OF＝k，
∵FQ⊥BN，CN⊥BN，
∴FQ∥CN，
∴，
而QE＝BN﹣NE﹣BQ＝3k﹣NE﹣k＝2k﹣NE，
∴，
解得：k，
由①知：PM＝AP＝k，，
∴，
答：等联线AB＝3k，线段PE＝．
【点评】本题考查了几何新定义，正方形的性质与判定，折叠问题，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，理解新定义，掌握正方形的性质是解题的关键．
24．（12分）已知：y关于x的函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b．
（1）若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a＝4b，则a的值是 　0或2或﹣　；
（2）如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A（﹣2，0），B（4，0），并与动直线l：x＝m（0＜m＜4）交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E．设△PBE的面积为S1，△CDE的面积为S2．
①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积；
②探究直线l在运动过程中，S1﹣S2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．

【分析】（1）y关于x的函数应分一次函数与二次函数两种情况，其中二次函数应分为①与x轴有两个交点且一个交点为原点；②与x轴有一个交点，与y轴有一个交点两种情况讨论；
（2）①如图，设直线l与BC交于点F，待定系数法求得抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8，当x＝0时，y＝8，得到C（0，8），P（1，9），求得直线BC的解析式为y＝﹣2x+8，得到F（1，6），根据三角形的面积公式即可得到结论；

②如图，设直线x＝m交x轴于H，由①得，OB＝4，AO＝2，AB＝6，OC＝8，AH＝2+m，P（m，﹣m2+2m+8），得到PH＝﹣m2+2m+8，根据相似三角形的性质得到OD＝8﹣2m，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）①当a﹣2＝0时，即a＝2时，
y关于x的函数解析式为y＝3x+，
此时y＝3x+与x轴的交点坐标为（﹣，0），
与y轴的交点坐标为（0，）；
②当a﹣2≠0时，y关于x的函数为二次函数，
∵二次函数图象抛物线与坐标轴有两个交点，
∴抛物线可能存在与x轴有两个交点，其中一个交点为坐标原点或与x轴有一个交点与y轴一个交点两种情况．
当抛物线与x轴有两个交点且一个为坐标原点时，
由题意得b＝0，此时a＝0，抛物线为y＝﹣2x2+x．
当y＝0时，﹣2x2+x＝0，
解得x1＝0，x2＝．
∴其图象与x轴的交点坐标为（0，0）（，0）．
当抛物线与x轴有一个交点与y轴有一个交点时，
由题意得，y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b所对应的一元二次方程（a﹣2）x2+（a+1）x+b＝0有两个相等实数根．
∴Δ＝（a+1）2﹣4（a﹣2）×a＝0，
解得a＝﹣，
此时y＝﹣x2+x﹣，
当x＝0时，y＝﹣，
∴与y轴的交点坐标为（0，﹣），
当y＝0时，﹣x2+x﹣＝0，
解得x1＝x2＝，
∴与x轴的交点坐标为（，0），
综上所述，若y关于x的函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b的图象与坐标轴有两个交点，则a可取的值为2，0，﹣，
故答案为：2或0或﹣；
（2）①如图，设直线l与BC交于点F，
根据题意得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8，
当x＝0时，y＝8，
∴C（0，8），
∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，点P为抛物线顶点，
∴P（1，9），
∵B（4，0），C（0，8），
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+8，
∴F（1，6），
∴PF＝9﹣6＝3，
∴△PBC的面积＝OB•PF＝＝6；
②S1﹣S2存在最大值，
理由：如图，设直线x＝m交x轴于H，
由①得，OB＝4，AO＝2，AB＝6，OC＝8，AH＝2+m，P（m，﹣m2+2m+8），
∴PH＝﹣m2+2m+8，
∵OD∥PH，
∴△AOD∽△AHP，
∴，
∴，
∴OD＝8﹣2m，
∵S1﹣S2＝S△PAB﹣S△AOD﹣S△OBC＝＝﹣3m2+8m＝﹣3（m﹣）2+，
∵﹣3＜0，0＜m＜4，
∴当m＝时，S1﹣S2存在最大值，最大值为．

【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，注意当函数没有明确为何函数时，要注意对函数进行分情况讨论．
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