2023年湖南省常德市中考数学试卷

这是一份2023年湖南省常德市中考数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2023年湖南省常德市中考数学试卷
一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）3的相反数是（　　）
A．﹣3 B．3 C． D．﹣
2．（3分）下面算法正确的是（　　）
A．（﹣5）+9＝﹣（9﹣5） B．7﹣（﹣10）＝7﹣10
C．（﹣5）×0＝﹣5 D．（﹣8）÷（﹣4）＝8÷4
3．（3分）不等式组的解集是（　　）
A．x＜5 B．1≤x＜5 C．﹣1≤x＜5 D．x≤﹣1
4．（3分）我市“神十五”航天员张陆和他的两位战友已于2023年6月4日回到地球家园，“神十六”的三位航天员已在中国空间站开始值守，空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设“神十六”甲、乙、丙三名航天员从核心舱进入问天实验舱和梦天实验舱开展实验的机会均等，现在要从这三名航天员中选2人各进入一个实验舱开展科学实验，则甲、乙两人同时被选中的概率为（　　）

A． B． C． D．
5．（3分）若a2+3a﹣4＝0，则2a2+6a﹣3＝（　　）
A．5 B．1 C．﹣1 D．0
6．（3分）下列命题正确的是（　　）
A．正方形的对角线相等且互相平分
B．对角互补的四边形是平行四边形
C．矩形的对角线互相垂直
D．一组邻边相等的四边形是菱形
7．（3分）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E，F分别为AO，DO上的一点，且EF∥AD，连接AF，DE．若∠FAC＝15°，则∠AED的度数为（　　）

A．80° B．90° C．105° D．115°
8．（3分）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第a行b列，则a﹣b的值为（　　）

A．2003 B．2004 C．2022 D．2023
二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）计算：（a2b）3＝　 　．
10．（3分）分解因式：a3+2a2b+ab2＝　 　．
11．（3分）要使二次根式有意义，则x应满足的条件是 　 　．
12．（3分）联合国2022年11月15日宣布，全世界人口已达80亿．将8000000000用科学记数法表示为 　 　．
13．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 　 　．
14．（3分）我市体育中考有必考和选考项目，掷实心球是必考项目之一，在一次训练中，张华同学掷实心球10次的成绩依次是（单位：米）7.6，8.5，8.6，8.5，9.1，8.5，8.4，8.6，9.2，7.3．则张华同学掷实心球成绩的众数是 　 　．
15．（3分）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，且AD＝2，过点D作DE∥BC交AC于E，将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为 　 　．

16．（3分）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在上，CD⊥AB．“会圆术”给出长l的近似值s计算公式：，当OA＝2，∠AOB＝90°时，|l﹣s|＝　 　．（结果保留一位小数）

三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）
17．（5分）计算：．
18．（5分）解方程组：．
四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）
19．（6分）先化简，再求值：，其中x＝5．
20．（6分）如图所示，一次函数y1＝﹣x+m与反比例函数相交于点A和点B（3，﹣1）．
（1）求m的值和反比例函数解析式；
（2）当y1＞y2时，求x的取值范围．

五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）
21．（7分）党的二十大报告指出：“我们要全方位夯实粮食安全根基，牢牢守住十八亿亩耕地红线．确保中国人的饭碗牢牢端在自己手中”．为了了解粮食生产情况，某校数学兴趣小组调查了某种粮大户2018年至2022年粮食总产量及2022年粮食分季节占比情况如下：

请根据图中信息回答下列问题：
（1）该种粮大户2022年早稻产量是 　 　吨；
（2）2018年至2022年该种粮大户粮食总产量的中位数是 　 　，平均数是 　 　；
（3）该粮食大户估计2023年的粮食总产量年增长率与2022年的相同，那么2023年该粮食大户的粮食总产量是多少吨？
22．（7分）“六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍．
（1）求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？
（2）若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？
六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）
23．（8分）今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形ABCD是平行四边形，座板CD与地面MN平行，△EBC是等腰三角形且BC＝CE，∠FBA＝114.2°，靠背FC＝57cm，支架AN＝43cm，扶手的一部分BE＝16.4cm．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端F点距地面（MN）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：sin65.8°＝0.91，cos65.8°＝0.41，tan65.8°＝2.23）

24．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，C是的中点，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若BC＝6，AC＝8，求CE，DE的长．

七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）
25．（10分）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求四边形ACDB的面积；
（3）P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠ACO＝∠PBC，求P点的坐标．

26．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，延长DA至E，连接EB．EC．
（1）求证：△BAE≌△CAE；
（2）在如图1中，若AE＝AD，其它条件不变得到图2，在图2中过点D作DF⊥AB于F，设H是EC的中点，过点H作HG∥AB交FD于G，交DE于M．
求证：①AF•MH＝AM•AE；
②GF＝GD．


2023年湖南省常德市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）3的相反数是（　　）
A．﹣3 B．3 C． D．﹣
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：3的相反数是﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的意义，掌握相反数的定义是关键．
2．（3分）下面算法正确的是（　　）
A．（﹣5）+9＝﹣（9﹣5） B．7﹣（﹣10）＝7﹣10
C．（﹣5）×0＝﹣5 D．（﹣8）÷（﹣4）＝8÷4
【分析】根据有理数的加法法则可以判断A；根据有理数的减法法则可以判断B；根据任何数和零相乘都得零可以判断C；根据有理数的除法可以判断D．
【解答】解：（﹣5）+9＝﹣5+9＝﹣（5﹣9），故选项A错误，不符合题意；
7﹣（﹣10）＝7+10，故选项B错误，不符合题意；
（﹣5）×0＝0≠﹣5，故选项C错误，不符合题意；
（﹣8）÷（﹣4）＝8÷4，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
3．（3分）不等式组的解集是（　　）
A．x＜5 B．1≤x＜5 C．﹣1≤x＜5 D．x≤﹣1
【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①，得：x＜5，
解不等式②，得：x≥﹣1，
∴该不等式组的解集是﹣1≤x＜5，
故选：C．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
4．（3分）我市“神十五”航天员张陆和他的两位战友已于2023年6月4日回到地球家园，“神十六”的三位航天员已在中国空间站开始值守，空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设“神十六”甲、乙、丙三名航天员从核心舱进入问天实验舱和梦天实验舱开展实验的机会均等，现在要从这三名航天员中选2人各进入一个实验舱开展科学实验，则甲、乙两人同时被选中的概率为（　　）

A． B． C． D．
【分析】列出树状图，运用概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：

∴一共有6种等可能的情况，其中甲、乙两人同时被选中的情况有2种，
∴甲、乙两人同时被选中的概率为＝．
故选：B．
【点评】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
5．（3分）若a2+3a﹣4＝0，则2a2+6a﹣3＝（　　）
A．5 B．1 C．﹣1 D．0
【分析】将已知条件变形可得a2+3a＝4，然后将2a2+6a﹣3变形为2（a2+3a）﹣3后代入数值计算即可．
【解答】解：∵a2+3a﹣4＝0，
∴a2+3a＝4，
∴2a2+6a﹣3
＝2（a2+3a）﹣3
＝2×4﹣3
＝5，
故选：A．
【点评】本题考查代数式求值，将2a2+6a﹣3变形为2（a2+3a）﹣3是解题的关键．
6．（3分）下列命题正确的是（　　）
A．正方形的对角线相等且互相平分
B．对角互补的四边形是平行四边形
C．矩形的对角线互相垂直
D．一组邻边相等的四边形是菱形
【分析】根据正方形的性质、平行四边形的判定、矩形的性质、菱形的判定定理判断即可．
【解答】解：A、正方形的对角线相等且互相平分，命题正确，符合题意；
B、对角互补的四边形不一定是平行四边形，故本选项命题错误，不符合题意；
C、矩形的对角线相等，不一定互相垂直，故本选项命题错误，不符合题意；
D、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故本选项命题错误，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7．（3分）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E，F分别为AO，DO上的一点，且EF∥AD，连接AF，DE．若∠FAC＝15°，则∠AED的度数为（　　）

A．80° B．90° C．105° D．115°
【分析】先根据正方形的性质及EF∥BC得∠OEF＝∠OCB＝45°，∠OFE＝∠OBC＝45°，进而得∠AEF＝∠DFE＝135°，OE＝OF，然后证△AEF和△DFE全等得∠CAE＝∠FDE＝15°，从而得∠ADE＝30°，最后利用三角形的内角和定理可求出∠AED的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴OA＝OD，∠OBC＝∠OCB＝∠OAD＝∠ODA＝45°，
∵EF∥BC，
∴∠OEF＝∠OCB＝45°，∠OFE＝∠OBC＝45°，
∴∠OEF＝∠OFE＝45°，
∴∠AEF＝∠DFE＝135°，OE＝OF，
∵OA＝OD，
∴AE＝DF，
在△AEF和△DFE中，
AE＝DF，∠AEF＝∠DFE＝135°，EF＝FE，
∴△AEF≌△DFE（SAS），
∴∠CAF＝∠FDE＝15°，
∴∠ADE＝∠ODA﹣∠FDE＝45°﹣15°＝30°，
∴∠AED＝180°﹣∠OAD﹣∠ADE＝180°﹣45°﹣30°＝105°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，解答此题的关键是依据正方形的性质得出判定△AEF和△DFE全等的条件．
8．（3分）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第a行b列，则a﹣b的值为（　　）

A．2003 B．2004 C．2022 D．2023
【分析】观察数表得到a，b的值，即可求出答案．
【解答】解：观察数表可得，同一行的分数，分子与分母的和不变，（m，n为正整数）在第（m+n﹣1）行，第n列，
∴在第2042行，第20列，
∴a＝2042，b＝20，
∴a﹣b＝2042﹣20＝2022，
故选：C．
【点评】本题考查数字变化类规律问题，解题的关键是观察数表得到a，b的值．
二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）计算：（a2b）3＝　a6b3　．
【分析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变指数相乘计算．
【解答】解：（a2b）3＝（a2）3b3＝a6b3．
故答案为：a6b3．
【点评】本题主要考查积的乘方的性质，幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．
10．（3分）分解因式：a3+2a2b+ab2＝　a（a+b）2　．
【分析】先提取公因式a，再运用完全平方公式分解．
【解答】解：a3+2a2b+ab2
＝a（a2+2ab+b2）
＝a（a+b）2．
故答案为：a（a+b）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
11．（3分）要使二次根式有意义，则x应满足的条件是 　x≥4　．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
【解答】解：根据二次根式有意义得：x﹣4≥0，
解得：x≥4．
故答案为：x≥4．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解决问题的关键．
12．（3分）联合国2022年11月15日宣布，全世界人口已达80亿．将8000000000用科学记数法表示为 　8×109　．
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【解答】解：8000000000＝8×109，
故答案为：8×109．
【点评】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
13．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 　a＜1　．
【分析】由关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个不相等的实数根，即可得判别式Δ＞0，继而可求得a的范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×a＝4﹣4a＞0，
解得：a＜1，
∴a的取值范围是：a＜1．
故答案为：a＜1．
【点评】此题考查了一元二次方程判别式，解答的关键是注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得Δ＞0．
14．（3分）我市体育中考有必考和选考项目，掷实心球是必考项目之一，在一次训练中，张华同学掷实心球10次的成绩依次是（单位：米）7.6，8.5，8.6，8.5，9.1，8.5，8.4，8.6，9.2，7.3．则张华同学掷实心球成绩的众数是 　8.5　．
【分析】根据众数的定义，找到该组数据中出现次数最多的数即可．
【解答】解：由题意可知，数据8.5出现了三次，次数最多，所以众数是8.5．
故答案为：8.5．
【点评】本题为统计题，考查众数的意义，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
15．（3分）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，且AD＝2，过点D作DE∥BC交AC于E，将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为 　　．

【分析】利用勾股定理求得线段AC的长度，利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质得到，由旋转的性质得到
∠DAB＝∠EAC，再利用相似三角形的判定与性质得到．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴AC＝＝＝10．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴．
∵将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置，
∴∠DAB＝∠EAC，
∴△ADB∽△AEC，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．
16．（3分）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在上，CD⊥AB．“会圆术”给出长l的近似值s计算公式：，当OA＝2，∠AOB＝90°时，|l﹣s|＝　0.1　．（结果保留一位小数）

【分析】根据题意分别求出线段的长度，代入公式中求出s，得出答案．
【解答】解：如图，连接OC，
∵AO＝2，∠AOB＝90°，
∴OB＝2，AB＝2，
∵C是弦AB的中点，D在上，CD⊥AB，
∴CO⊥AB，即D、C、O共线，
∴CO＝，CD＝2﹣，
∵，
∴s＝2+＝3，
∵l＝2π×2×≈3.1，
∴|l﹣s|≈0.1
故答案为：0.1．

【点评】本题以圆为背景考察了圆的相关概念，本题难度不大，掌握垂径定理和等腰直角三角形是解决问题的关键．
三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）
17．（5分）计算：．
【分析】根据负整数指数幂，特殊锐角的三角函数值，零指数幂，绝对值性质进行计算即可．
【解答】解：原式＝1﹣2×+|1﹣|
＝1﹣+[﹣（1﹣）]
＝1﹣﹣（1﹣）
＝1﹣﹣1+
＝0．
【点评】本题考查实数的运算，实数的相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
18．（5分）解方程组：．
【分析】利用加减消元法求解即可．
【解答】解：①×2+②得：5x＝25，
解得：x＝5，
将x＝5代入①得：5﹣2y＝1，
解得：y＝2，
所以原方程组的解是．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）
19．（6分）先化简，再求值：，其中x＝5．
【分析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝，
当x＝5时，
原式＝
＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20．（6分）如图所示，一次函数y1＝﹣x+m与反比例函数相交于点A和点B（3，﹣1）．
（1）求m的值和反比例函数解析式；
（2）当y1＞y2时，求x的取值范围．

【分析】（1）把B（3，﹣1）分别代入一次函数y1＝﹣x+m与反比例函数，即可求出m的值和反比例函数的解析式；
（2）先求出A点坐标，再根据图象即可得到y1＞y2时x的取值范围．
【解答】解：（1）∵一次函数y1＝﹣x+m与反比例函数相交于点A和点B（3，﹣1），
∴﹣1＝﹣3+m，﹣1＝，
解得m＝2，k＝﹣3，
∴反比例函数的解析式为y2＝﹣；
（2）解方程组，得或，
∴A（﹣1，3），
观察图象可得，当y1＞y2时，x的取值范围为x＜﹣1或0＜x＜3．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，以及利用数形结合思想解不等式．
五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）
21．（7分）党的二十大报告指出：“我们要全方位夯实粮食安全根基，牢牢守住十八亿亩耕地红线．确保中国人的饭碗牢牢端在自己手中”．为了了解粮食生产情况，某校数学兴趣小组调查了某种粮大户2018年至2022年粮食总产量及2022年粮食分季节占比情况如下：

请根据图中信息回答下列问题：
（1）该种粮大户2022年早稻产量是 　10　吨；
（2）2018年至2022年该种粮大户粮食总产量的中位数是 　160吨　，平均数是 　174吨　；
（3）该粮食大户估计2023年的粮食总产量年增长率与2022年的相同，那么2023年该粮食大户的粮食总产量是多少吨？
【分析】（1）用该种粮大户2022年粮食总产量乘以早稻产量所占百分比即可；
（2）根据中位数与平均数的定义求解即可；
（3）先求出2022年的粮食总产量年增长率，进而求解即可．
【解答】解：（1）250×（1﹣75%﹣21%）＝10（吨）．
故答案为：10；
（2）将5个数据按从小到大的顺序排列后，第三个数为160，所以中位数为160吨；
＝（120+140+160+200+250）÷5＝174（吨）．
故答案为：160吨；174吨；
（3）（250﹣200）÷200×100%＝25%，
250×（1+25%）＝312.5（吨）．
即2023年该粮食大户的粮食总产量是312.5吨．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了平均数与中位数．
22．（7分）“六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍．
（1）求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？
（2）若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？
【分析】（1）设A型玩具的单价为x元/件．根据用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，列方程即可得到结论；
（2）设购买A型玩具m个．根据张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，列不等式即可得到结论．
【解答】解：（1）设A型玩具的进价为x元/个，则B型玩具的进价是1.5x元/个．
由题意得：，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，
∴B型玩具的进价为10×1.5＝15（元/个），
答：A型玩具的进价是10元/个，B型玩具的进价是15元/个．
（2）设购买A型玩具m个，则购进B型玩具（75﹣m）个．
根据题意得，（12﹣10）m+（20﹣15）（75﹣m）≥300，
解得：m≤25，
答：最多可购进A型玩具25个．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确地理解题意是解题的关键．
六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）
23．（8分）今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形ABCD是平行四边形，座板CD与地面MN平行，△EBC是等腰三角形且BC＝CE，∠FBA＝114.2°，靠背FC＝57cm，支架AN＝43cm，扶手的一部分BE＝16.4cm．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端F点距地面（MN）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：sin65.8°＝0.91，cos65.8°＝0.41，tan65.8°＝2.23）

【分析】过点F作FQ⊥CD于点Q，过C作CH⊥AB于点H，求出FQ、BH的值解答即可
【解答】解：过点F作FQ⊥CD于点Q，

∵四边形ABCD是平行四边形，∠FBA＝114.2°，
∴∠FCQ＝180°﹣114.2°＝65.8°，FQ＝FC•sin∠FCQ＝57sin65.8°，
过点A作AP⊥MN于点P，
由题意知AB∥CD∥MN，FC∥AN，
则∠ANP＝∠FCQ＝65.8°，又AN＝43cm，
∴AP＝AN•sin∠ANP＝43sin65.8°，
过C作CH⊥AB于点H，
∵BC＝CE，EB＝16.4，
∴BH＝8.2，
∴CH＝BH•tan∠CBH＝8.2×2.23≈18.29，
∴靠背顶端F点距地面（MN）高度为
FQ+AP﹣HC＝57sin65.8°+43sin65.8°﹣18.29＝100×0.91﹣18.29＝72.71≈72.7cm．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握平行四边形是解题的关键．
24．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，C是的中点，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若BC＝6，AC＝8，求CE，DE的长．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及圆心角、弦、弧之间的关系可得∠CAE＝∠OCA，进而得到OC∥AE，再根据平行线的性质得出OC⊥EC即可；
（2）利用相似三角形的性质，勾股定理以及圆心角、弧、弦之间的关系进行计算即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵点C是的中点，
∴∠OAC＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠OCA，
∴OC∥AE，
∵AE⊥CE，
∴OC⊥CE，
∵OC是半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝6，AC＝8，
∴AB＝＝10，
又∵∠BAC＝∠CAE，∠AEC＝∠ACB＝90°，
∴△AEC∽△ACB，
∴，
即，
∴，
∵点C是的中点，即＝，
∴CD＝BC＝6，
∴，
答：DE＝，EC＝．

【点评】本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，勾股定理以及圆心角、弦、弧之间的关系，掌握切线的判定方法，圆周角定理，勾股定理以及圆心角、弦、弧之间的关系是正确解答的前提．
七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）
25．（10分）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求四边形ACDB的面积；
（3）P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠ACO＝∠PBC，求P点的坐标．

【分析】（1）依据AO＝1，tan∠ACO＝求得C点坐标，将点A、B、C的坐标代入，利用待定系数法求二次函数解析式求解；
（2）过D作DN⊥AB于N，作DM⊥OC于M，将抛物线解析式整理成顶点式形式求出点D的坐标，列式计算即可得解；
（3）连接PB，过C作CE⊥BC交BP于E，过E作EF⊥OC于F，利用OC＝OB＝5，求得BC＝5，结合∠ACO＝∠PBC求得，△EFC是等腰直角三角形，得到E的坐标为（1，6），过B、E的直线的解析式为，进而联立方程求得抛物线民直线BE的交点坐标即可．
【解答】解：（1）∵AO＝1，tan∠ACO＝，
∴OC＝5，即C的坐标为（0，5），
∵二次函数的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点且过C的坐标（0，5），
设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，代入得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x+5；

（2）y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴顶点的坐标为（2，9），
过D作DN⊥AB于N，作DM⊥OC于M，

四边形ACDB的面积＝S△AOC+S矩形OMDN﹣S△CDM+S△DNB
＝；

（3）如图，P是抛物线上的一点，且在第一象限，当∠ACO＝∠PBC时，
连接PB，过C作CE⊥BC交BP于E，过E作EF⊥OC于F，

∵OC＝OB＝5，则BC＝5，
∵∠ACO＝∠PBC，
∴tan∠ACO＝tan∠PBC，
即，
∴，
∴△EFC是等腰直角三角形，
∴FC＝FE＝1，
∴E的坐标为（1，6），
所以过B、E的直线的解析式为，
令，
解得，或，
所以BE直线与抛物线的两个交点为，
即所求P的坐标为．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，正确的求解二次函数的解析式是解答本题的关键．
26．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，延长DA至E，连接EB．EC．
（1）求证：△BAE≌△CAE；
（2）在如图1中，若AE＝AD，其它条件不变得到图2，在图2中过点D作DF⊥AB于F，设H是EC的中点，过点H作HG∥AB交FD于G，交DE于M．
求证：①AF•MH＝AM•AE；
②GF＝GD．

【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EC，利用SSS公理证明△BAE≌△CAE；
（2）①连接AH，证明△AFD∽△MAH，根据相似三角形的性质证明；
②证明△AMH∽△DAC，再根据三角形中位线定理证明即可．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线，
又∵E在AD上，
∴EB＝EC，
在△BAE和△CAE中，
，
∴△BAE≌△CAE（SSS）；
（2）①连接AH，
∵A，H分别是ED和EC的中点，
∴AH为△EDC的中位线，
∴AH∥DC，
∴∠EAH＝∠EDC＝90°，
又∵DF⊥AB，
∴∠AFD＝90°，
又∵HG∥AB，
∴∠FAD＝∠AMH，
∴△AFD∽△MAH，
∴＝，
∴AF⋅MH＝AM⋅AD，
∵AE＝AD，
∴AF⋅MH＝AM⋅AE；
②∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABD＝∠ADF＝∠AHM，
∴∠AHM＝∠ACB，
∴△AMH∽△DAC，
∵A、H分别为ED和EC中点，
∴AH为△EDC的中位线，
∴＝＝，
∴AM＝AD，即M为AD中点，
∵AF∥GH，
∴G为FD中点，
∴GF＝GD．

【点评】本题考查的是三角形全等的判定和性质、相似三角形的判定和性质，掌握三角形相似的判定定理是解题的关键．
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