2023年湖南省衡阳市中考数学试卷

这是一份2023年湖南省衡阳市中考数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖南省衡阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3分）中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家，若收入500元记作+500元，则支出237元记作（　　）
A．+237元 B．﹣237元 C．0元 D．﹣474 元
2．（3分）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（　　）
A．1cm，2cm，3cm B．3cm，8cm，5cm
C．4cm，5cm，10cm D．4cm，5cm，6cm
3．（3分）下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，其左视图的大致形状是（　　）

A． B．
C． D．
5．（3分）计算（x3）2的结果正确的是（　　）
A．x6 B．x6 C．x5 D．x9
6．（3分）据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底，全国共有共青团员7358万．数据7358万用科学记数法表示为（　　）
A．7.358×107 B．7.358×103 C．7.358×104 D．7.358×106
7．（3分）对于二次根式的乘法运算，一般地，有•＝．该运算法则成立的条件是（　　）
A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a≤0，b≤0 D．a≥0，b≥0
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC．添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．AD＝BC B．AB∥DC C．AB＝DC D．∠A＝∠C
9．（3分）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡免同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡免各几何．”
设有x只鸡，y只兔，依题意，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
10．（3分）某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下表．甲、乙两名选手成绩的方差分别记为S甲2和S乙2．则S甲2和S乙2的大小关系是（　　）
测试次数
1
2
3
4
5
甲
5
10
9
3
8
乙
8
6
8
6
7
A．S甲2＞S乙2 B．S甲2＜S乙2 C．S甲2＝S乙2 D．无法确定
11．（3分）我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”．假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°．”，则三角形的三个内角的和大于180°．这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾，所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°．上述推理使用的证明方法是（　　）
A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法
12．（3分）已知m＞n＞0，若关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为x3，x4（x3＜x4）．则下列结论正确的是（　　）
A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2
C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜xx＜x1＜x2
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）
13．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣2）所在象限是第 　 　象限．
14．（3分）一个布袋中放着3个红球和9个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别．布袋中的球已经搅匀，从布袋中任取1个球，取出红球的概率是 　 　．
15．（3分）已知x＝5，则代数式﹣的值为 　 　．
16．（3分）已知关于x的方程x2+mx﹣20＝0的一个根是﹣4，则它的另一个根是 　 　．
17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时，r的值为 　 　．

18．（3分）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 　 　．

三、解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．）
19．（6分）计算：|﹣3|++（﹣2）×1．
20．（6分）解不等式组：．
21．（8分）2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动．现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四组，A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100），并给出下面部分信息：
八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据为：84，84，88
九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87．八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
优秀率
八
87
a
98
60%
九
87
86
b
c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）该校八、九年级共500人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数．

22．（8分）如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A．
（1）求点A的坐标．
（2）分别以点O、A为圆心，大于OA一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点B和点C，作直线BC，交x轴于点D．求线段OD的长．

23．（8分）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度，圆圆要测量教学楼AB的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部24米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼AB的顶部B处的俯角为30°，CD长为49.6米．已知目高CE为1.6米．
（1）求教学楼AB的高度．
（2）若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向，以4米/秒的速度继续向前匀速飞行．求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB．

24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，D是弧AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，交⊙O于点H，DB交AC于点G．
（1）求证：AF＝DF．
（2）若AF＝，sin∠ABD＝，求⊙O的半径．

25．（10分）[问题探究]
（1）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．在线段AO上任取一点P（端点除外），连接PD、PB．

①求证：PD＝PB；
②将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处．当点P在线段AO上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？请说明理由；
③探究AQ与OP的数量关系，并说明理由．
[迁移探究]
（2）如图2，将正方形ABCD换成菱形ABCD，且∠ABC＝60°，其他条件不变．试探究AQ与CP的数量关系，并说明理由．
26．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，连接AC，过B、C两点作直线．
（1）求a的值．
（2）将直线BC向下平移m（m＞0）个单位长度，交抛物线于B′、C′两点．在直线B′C′上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线B′C′的距离最大．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）抛物线上是否存在点P，使∠PBC+∠ACO＝45°，若存在，请求出直线BP的解析式；若不存在，请说明理由．


2023年湖南省衡阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3分）中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家，若收入500元记作+500元，则支出237元记作（　　）
A．+237元 B．﹣237元 C．0元 D．﹣474 元
【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，收入记为正，可得支出表示方法．
【解答】解：收入500元记作+500元，则支出237元应记作﹣237元，
故选：B．
【点评】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示．
2．（3分）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（　　）
A．1cm，2cm，3cm B．3cm，8cm，5cm
C．4cm，5cm，10cm D．4cm，5cm，6cm
【分析】根据两边之和大于第三边判断即可．
【解答】解：A、∵1+2＝3，
∴长度为1cm，2cm，3cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
B、∵3+5＝8，
∴长度为3cm，8cm，5cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
C、∵4+5＜10，
∴长度为4cm，5cm，10cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
D、∵4+5＞6，
∴长度为4cm，5cm，6cm的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
3．（3分）下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4．（3分）作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，其左视图的大致形状是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看，紫砂壶的壶嘴在正中间，只有选项B符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
5．（3分）计算（x3）2的结果正确的是（　　）
A．x6 B．x6 C．x5 D．x9
【分析】根据积的乘方和幂的乘方计算方法进行计算即可．
【解答】解：原式＝＝×x3×2＝x6．
故选：B．
【点评】本题主要考查积的乘方和幂的乘方的计算方法，是必考的知识点，一定要熟练掌握，并能灵活运用．
6．（3分）据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底，全国共有共青团员7358万．数据7358万用科学记数法表示为（　　）
A．7.358×107 B．7.358×103 C．7.358×104 D．7.358×106
【分析】利用科学记数法的法则解答即可．
【解答】解：7358万＝73580000＝7.358×107，
故选：A．
【点评】本题主要考查了科学记数法，表示较大的数，熟练掌握科学记数法的法则是解题的关键．
7．（3分）对于二次根式的乘法运算，一般地，有•＝．该运算法则成立的条件是（　　）
A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a≤0，b≤0 D．a≥0，b≥0
【分析】根据二次根式的乘法法则，即可解答．
【解答】解：对于二次根式的乘法运算，一般地，有•＝．该运算法则成立的条件是a≥0，b≥0，
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC．添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．AD＝BC B．AB∥DC C．AB＝DC D．∠A＝∠C
【分析】由平行四边形的判定方法，即可判断．
【解答】解：A、因为AD∥BC，AD＝BC，因此由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故A不符合题意；
B、因为AD∥BC，AB∥DC，因此由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故B不符合题意；
C、AB＝DC，但AB和CD不一定平行，因此不能判定四边形ABCD是平行四边形，故C符合题意；
D、因为AD∥BC得到∠ADB＝∠CBD，又∠A＝∠C，BD＝DB，因此△ABD≌△CDB（AAS），得到AD＝CB，能判定四边形ABCD是平行四边形，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定方法．
9．（3分）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡免同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡免各几何．”
设有x只鸡，y只兔，依题意，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据今有鸡免同笼，上有三十五头，可以得到x+y＝35，再根据下有九十四足，可以得到2x+4y＝94，然后即可得到相应的方程组．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：C．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
10．（3分）某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下表．甲、乙两名选手成绩的方差分别记为S甲2和S乙2．则S甲2和S乙2的大小关系是（　　）
测试次数
1
2
3
4
5
甲
5
10
9
3
8
乙
8
6
8
6
7
A．S甲2＞S乙2 B．S甲2＜S乙2 C．S甲2＝S乙2 D．无法确定
【分析】直接根据图表数据的波动大小进行判断即可．
【解答】解：图表数据可知，
甲数据在3至10之间波动，偏离平均数数据较大；乙数据在6至8之间波动，偏离平均数数据较小；
即甲的波动性较大，即方差大，
∴S甲2＞S乙2，
故选：A．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
11．（3分）我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”．假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°．”，则三角形的三个内角的和大于180°．这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾，所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°．上述推理使用的证明方法是（　　）
A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法
【分析】根据反证法证明命题的方法判断．
【解答】解：证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”．
假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°．”，则三角形的三个内角的和大于180°．
这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾，所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°，这种证明方法是反证法，
故选：A．
【点评】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
12．（3分）已知m＞n＞0，若关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为x3，x4（x3＜x4）．则下列结论正确的是（　　）
A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2
C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜xx＜x1＜x2
【分析】画出抛物线y＝x2+2x﹣3，直线y＝m，直线y＝n，根据一元二次方程与二次函数的关系的关系，观察图象可得答案．
【解答】解：关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为抛物线y＝x2+2x﹣3与直线y＝m的交点的横坐标，
关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为抛物线y＝x2+2x﹣3与直线y＝n的交点的横坐标，
如图：

由图可知，x1＜x3＜x4＜x2，
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程与二次函数的关系，解题的关键是画出图象，数形结合解决问题．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）
13．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣2）所在象限是第 　三　象限．
【分析】根据第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣），可得答案．
【解答】解：点P（﹣3，﹣2）在第三象限，
故答案为：三．
【点评】此题主要考查了点的坐标，关键是掌握四个象限内点的坐标符号．
14．（3分）一个布袋中放着3个红球和9个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别．布袋中的球已经搅匀，从布袋中任取1个球，取出红球的概率是 　　．
【分析】根据一个布袋中放着3个红球和9个黑球，可以计算出从布袋中任取1个球，取出红球的概率．
【解答】解：∵一个布袋中放着3个红球和9个黑球，
∴从布袋中任取1个球，取出红球的概率是＝，
故答案为：．
【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
15．（3分）已知x＝5，则代数式﹣的值为 　　．
【分析】根据分式的减法法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝
＝，
当x＝5时，原式＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的减法法则是解题的关键．
16．（3分）已知关于x的方程x2+mx﹣20＝0的一个根是﹣4，则它的另一个根是 　5　．
【分析】设方程的另一个解为t，则利用根与系数的关系得﹣4t＝﹣20，然后解一次方程即可．
【解答】解：设方程的另一个解为t，
根据根与系数的关系得﹣4t＝﹣20，
解得t＝5，
即方程的另一个根为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．
17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时，r的值为 　　．

【分析】设⊙C与AB所在的直线相切，切点为点D，连接CD，根据切线的性质得AB⊥CD，再由勾股定理求得AB＝＝10，则AB•CD＝AC•BC＝S△AOB，所以×10CD＝×8×6，则r＝CD＝，于是得到问题的答案．
【解答】解：设⊙C与AB所在的直线相切，切点为点D，连接CD，
∵CD是⊙C的半径，AB与⊙C相切于点D，
∴AB⊥CD，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，
∵AB•CD＝AC•BC＝S△AOB，
∴×10CD＝×8×6，
解得CD＝，
∴r＝CD＝，
故答案为：．

【点评】此题重点考查切线的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
18．（3分）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 　10　．

【分析】先求出多边形的每一个内角为108°，可得到∠O＝36°，即可求解．
【解答】解：∵多边形是正五边形，
∴正五边形的每一个内角为：×180°×（5﹣2）＝108°，
∴∠O＝180°﹣（180°﹣108°）×2＝36°，
∴正五边形的个数是360°÷36°＝10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查正多边形与圆，多边形内角和问题，熟练掌握相关知识点是解题关键．
三、解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．）
19．（6分）计算：|﹣3|++（﹣2）×1．
【分析】利用绝对值的意义，算术平方根的意义和有理数的乘法法则化简运算即可．
【解答】解：原式＝3+2+（﹣2）
＝3+2﹣2
＝3．
【点评】本题主要考查了实数的运算，绝对值的意义，算术平方根的意义和有理数的乘法法则，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
20．（6分）解不等式组：．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x≤4，
解不等式②得：x＞2，
∴原不等式组的解集为：2＜x≤4．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
21．（8分）2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动．现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四组，A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100），并给出下面部分信息：
八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据为：84，84，88
九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87．八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
优秀率
八
87
a
98
60%
九
87
86
b
c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　84　，b＝　100　，c＝　80%　；
（2）该校八、九年级共500人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数．

【分析】（1）根据中位数、众数的意义，分别求出八年级的中位数，和九年级的众数；
（2）利用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）八年级的竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的一个数是84，因此中位数是84，即a＝84；
九年级的竞赛成绩出现次数最多的是100，共出现3次，因此众数是100，即b＝100；
九年级的竞赛成绩中80分及以上的共有12人，因此优秀率为×100%＝80%，即c＝80%；
故答案为：84，100，80%；
（2）500×＝200（人），
答：估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数约200人．
【点评】本题考查了方差、平均数、中位数、众数的意义和计算方法，掌握各个统计量的计算方法是正确计算的前提．
22．（8分）如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A．
（1）求点A的坐标．
（2）分别以点O、A为圆心，大于OA一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点B和点C，作直线BC，交x轴于点D．求线段OD的长．

【分析】（1）将正比例函数与反比例函数的解析式联立，组成方程组，解方程组即可求出点A的坐标；
（2）设点D的坐标为（x，0）．根据线段垂直平分线的性质得出AD＝OD，依此列出方程（x﹣3）2+42＝x2，解方程即可．
【解答】解：（1）解方程组（x＞0），
得，
∴点A的坐标为（3，4）；
（2）设点D的坐标为（x，0）．
由题意可知，BC是OA的垂直平分线，
∴AD＝OD，
∴（x﹣3）2+42＝x2，
∴x＝，
∴D（，0），OD＝．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了线段垂直平分线的性质．
23．（8分）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度，圆圆要测量教学楼AB的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部24米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼AB的顶部B处的俯角为30°，CD长为49.6米．已知目高CE为1.6米．
（1）求教学楼AB的高度．
（2）若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向，以4米/秒的速度继续向前匀速飞行．求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB．

【分析】（1）过点B作BM⊥CD于点M，则∠DBM＝∠BDN＝30°，在Rt△BDM中，通过解直角三角形可得出BM的长度，再结合AB＝CM＝CD﹣DM，即可求出结论；
（2）延长EB交DN于点G，则∠DGE＝∠MBE，在Rt△EMB中，利用锐角三角函数的定义求出∠MBE＝30°，从而可得∠DEG＝60°，然后在Rt△EDG中，利用锐角三角函数的定义求出DG的长，最后进行计算即可解答．
【解答】解：（1）过点B作BM⊥CD于点M，则∠DBM＝∠BDN＝30°，
在Rt△BDM中，BM＝AC＝24米，∠DBM＝30°，
∴DM＝BM•tan∠DBM＝24×＝24（米），
∴AB＝CM＝CD﹣DM＝49.6﹣24＝25.6（米）．
答：教学楼AB的高度为25.6米；
（2）延长EB交DN于点G，则∠DGE＝∠MBE，

在Rt△EMB中，BM＝AC＝24米，EM＝CM﹣CE＝24米，
∴tan∠MBE＝＝＝，
∴∠MBE＝30°＝∠DGE，
∵∠EDG＝90°，
∴∠DEG＝90°＝30°＝60°，
在Rt△EDG中，ED＝CE﹣CE＝48米，
∴DG＝ED•tan60°＝48（米），
∴48÷4＝12（秒），
∴经过12秒时，无人机刚好离开了小明的视线．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，D是弧AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，交⊙O于点H，DB交AC于点G．
（1）求证：AF＝DF．
（2）若AF＝，sin∠ABD＝，求⊙O的半径．

【分析】（1）由D是弧AC的中点，得出，再由垂径定理得出，根据等弧所对圆周角相等得出∠ADH＝∠CAD，即可证明出结论．
（2）证明出∠ADE＝∠B，得出tan∠ADE＝，设AE＝x，根据勾股定理求出x，再求出直径即可．
【解答】（1）证明：∵D是弧AC的中点，
∴，
∵AB⊥DH，且AB是⊙O的直径，
∴，
∴，
∴∠ADH＝∠CAD，
∴AF＝DF．
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠B＝90°，
∵∠DAE+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠B，
∴sin∠ADE＝，
∴tan∠ADE＝，
设AE＝x，则DE＝2x，
∵DF＝AF＝，
∴EF＝2x﹣，
∵AE2+EF2＝AF2，
∴x＝2，
∴AD＝＝2，
∴AB＝，
∴AB＝10，
∴⊙O的半径为5．
【点评】本题考查了圆的相关性质的应用，解直角三角形、勾股定理的计算是解题关键．
25．（10分）[问题探究]
（1）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．在线段AO上任取一点P（端点除外），连接PD、PB．

①求证：PD＝PB；
②将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处．当点P在线段AO上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？请说明理由；
③探究AQ与OP的数量关系，并说明理由．
[迁移探究]
（2）如图2，将正方形ABCD换成菱形ABCD，且∠ABC＝60°，其他条件不变．试探究AQ与CP的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）①根据正方形的性质证明△DCP≌△BCP，即可得到结论；
②作PM⊥AB，PN⊥AD，垂足分别为点M、N，如图，可得PM＝PN，证明四边形AMPN是矩形，推出∠MPN＝90°，证明Rt△DPN≌Rt△QPM（HL），得出∠DPN＝∠QPM，进而可得结论；
③作PE⊥AO交AB于点E，作EF⊥OB于点F，如图，证明AQ＝BE，BE＝EF即可得出结论；．
（2）先证明PQ＝PB，作PE∥BC交AB于点E，EG∥AC交BC于点G，如图，则四边形PEGC是平行四边形，可得EG＝PC，△APE，△BEG都是等边三角形，进一步即可证得结论．
【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝CB，∠DCA＝∠BCA＝45°
∵CP＝CP，
∴△DCP≌△BCP，
∴PD＝PB；
②解：∠DPQ的大小不发生变化，∠DPQ＝90°；
理由：作PM⊥AB，PN⊥AD，垂足分别为点M、N，如图，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC＝∠BAC＝45°，∠DAB＝90°，
∴四边形AMPN是矩形，PM＝PN，
∴∠MPN＝90°
∵PD＝PQ，PM＝PN，
∴Rt△DPN≌Rt△QPM（HL），
∴∠DPN＝∠QPM，
∴∠QPN+∠QPM＝90°
∴∠QPN+∠DPN＝90°，即∠DPQ＝90°；
③解：AQ＝OP；
理由：作PE⊥AO交AB于点E，作EF⊥OB于点F，如图，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝45°，∠AOB＝90°，
∴∠AEP＝45°，四边形OPEF是矩形，
∴∠PAE＝∠PEA＝45°，EF＝OP，
∴PA＝PE，
∵PD＝PB，PD＝PQ，
∴PQ＝PB，
作PM⊥AE于点M，
则QM＝BM，AM＝EM，
∴AQ＝BE，
∵∠EFB＝90°，∠EBF＝45°，
∴BE＝EF，
∴AQ＝OP；
（2）解：AQ＝CP；
理由：四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝BC，AC⊥BD，DO＝BO，
∴△ABC是等边三角形，AC垂直平分BD，
∴∠BAC＝60°，PD＝PB，
∵PD＝PQ，
∴PQ＝PB，
作PE∥BC交AB于点E，EG∥AC交BC于点G，如图，

则四边形PEGC是平行四边形，∠GEB＝∠BAC＝60°，∠AEP＝∠ABC＝60°，
∴EG＝PC，△APE，△BEG都是等边三角形，
∴BE＝EG＝PC，
作PM⊥AB于点M，则QM＝MB，AM＝EM，
∴QA＝BE，
∴AQ＝CP．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了正方形、菱形的性质，矩形、平行四边形、等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键．
26．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，连接AC，过B、C两点作直线．
（1）求a的值．
（2）将直线BC向下平移m（m＞0）个单位长度，交抛物线于B′、C′两点．在直线B′C′上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线B′C′的距离最大．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）抛物线上是否存在点P，使∠PBC+∠ACO＝45°，若存在，请求出直线BP的解析式；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将点A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax+3，即可求得a＝﹣1；
（2）利用待定系数法可得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，由平移可得直线B′C′的解析式为y＝﹣x+3﹣m，设D（t，﹣t2+2t+3），过点D作DE∥y轴，交B′C′于点E，作DF⊥B′C′于点F，设直线B′C′交y轴于点G，则E（t，﹣t+3﹣m），可得DE＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3﹣m）＝﹣t2+3t+m，再证得△DEF是等腰直角三角形，可得DF＝DE＝（﹣t2+3t+m）＝﹣（t﹣）2+（+m），运用二次函数的性质即可求得答案；
（3）分两种情况：当∠PBC在BC的下方时，当∠PBC在BC的上方时，分别求得直线BP的解析式，联立方程组求解即可求得点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于点A（﹣1，0），
∴a+2a+3＝0，
∴a＝﹣1．
（2）存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线B′C′的距离最大．
∵y＝﹣x2+2x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∵将直线BC向下平移m（m＞0）个单位长度，交抛物线于B′、C′两点，
∴直线B′C′的解析式为y＝﹣x+3﹣m，
设D（t，﹣t2+2t+3），
过点D作DE∥y轴，交B′C′于点E，作DF⊥B′C′于点F，设直线B′C′交y轴于点G，如图，

∴E（t，﹣t+3﹣m），
∴DE＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3﹣m）＝﹣t2+3t+m，
∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，
∴∠BCO＝∠CBO＝45°，
∵B′C′∥BC，
∴∠B′GO＝∠BCO＝45°，
∵DE∥y轴，
∴∠DEF＝∠B′GO＝45°，
∵∠DFE＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DF＝DE＝（﹣t2+3t+m）＝﹣（t﹣）2+（+m），
∵﹣＜0，
∴当t＝时，DF取得最大值（+m），此时点D的坐标为（，）．
（3）存在．
当∠PBC在BC的下方时，在y轴正半轴上取点M（0，1），连接BM交抛物线于点P，如图，

∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），M（0，1），
∴OB＝OC＝3，OM＝OA＝1，∠BOM＝∠COA＝90°，
∴△BOM≌△COA（SAS），
∴∠MBO＝∠ACO，
∵∠CBO＝45°，
∴∠CBP+∠MBO＝45°，
∴∠CBP+∠ACO＝45°，
设直线BM的解析式为y＝k′x+b′，则，
解得：，
∴直线BM的解析式为y＝﹣x+1，
联立，得，
解得：（舍去），，
∴P（﹣，）；
当∠PBC在BC的上方时，作点M关于直线BC的对称点M′，如图，连接MM′，CM′，直线BM′交抛物线于P，

由对称得：MM′⊥BC，CM′＝CM＝2，∠BCM′＝∠BCM＝45°，
∴∠MCM′＝90°，
∴M′（2，3），
则直线BM′的解析式为y＝﹣3x+9，
联立，得：，
解得：（舍去），，
∴P（2，3）；
综上所述，抛物线上存在点P，使∠PBC+∠ACO＝45°，点P的坐标为（﹣，）或（2，3）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，直线的平移，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等，第（3）问要注意分类讨论，防止漏解．
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