2023年重庆市中考数学试卷（b卷）

这是一份2023年重庆市中考数学试卷（b卷），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年重庆市中考数学试卷（B卷）
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．（4分）4的相反数是（　　）
A． B． C．﹣4 D．4
2．（4分）四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（　　）

A． B． C． D．
3．（4分）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝63°，则∠2的度数为（　　）

A．27° B．53° C．63° D．117°
4．（4分）如图，已知△ABC∽△EDC，AC：EC＝2：3，若AB的长度为6，则DE的长度为（　　）

A．4 B．9 C．12 D．13.5
5．（4分）反比例函数y＝的图象一定经过的点是（　　）
A．（﹣3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣2，﹣4） D．（2，3）
6．（4分）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（　　）

A．14 B．20 C．23 D．26
7．（4分）估计×（﹣）的值应在（　　）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
8．（4分）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
9．（4分）如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC的中点，E为正方形内一点，连接BE，BE＝BA，连接CE并延长，与∠ABE的平分线交于点F，连接OF，若AB＝2，则OF的长度为（　　）

A．2 B． C．1 D．
10．（4分）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n（其中x＞y＞z＞m＞n）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n，…．下列说法：
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．
其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
11．（4分）计算：|﹣5|+（2﹣）0＝　 　．
12．（4分）有四张完全一样正面分别写有汉字“清”“风”“朗”“月”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是 　 　．
13．（4分）若七边形的内角中有一个角为100°，则其余六个内角之和为 　 　．
14．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，若AB＝5，BC＝6，则AD的长度为 　 　．

15．（4分）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程 　 　．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为BC的中点，连接AE．DE．以E为圆心，EB长为半径画弧，分别与AE，DE交于点M，N．则图中阴影部分的面积为 　 　（结果保留π）．

17．（4分）若关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，且关于y的分式方程+＝2的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为 　 　．
18．（4分）对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵7﹣1＝6，3﹣1＝2，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵8﹣1≠6，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为 　 　；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记P（M）＝3（a+b）+c+d，Q（M）＝a﹣5，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为 　 　．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．（8分）计算：（1）x（x+6）+（x﹣3）2；
（2）（3+）÷．
20．（10分）在学习了平行四边形的相关知识后，小虹进行了拓展性研究，她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这条垂直平分线在该四边形内部的线段被这条对角线平分．其解决问题的思路为通过证明对应线段所在两个三角形全等即可得出结论．
请根据她的思路完成以下作图和填空：
用直尺和圆规作平行四边形ABCD对角线AC的垂直平分线，交DC于点E，交AB于点F，垂足为O．（只保留作图痕迹）
如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，EF垂直平分AC，垂足为O．求证：EO＝FO．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴DC∥AB．
∴∠ECO＝　 　．
∵EF垂直平分AC，
∴　 　．
又∠EOC＝　 　，
∴△COE≌△AOF（ASA）．
∴EO＝FO．
再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的所有与该四边形一组对边相交所得的线段均具备此特征，请你依照题目中的相关表述完成下面命题的填空：
过平行四边形对角线中点的直线 　 　．

21．（10分）某洗车公司安装了A，B两款自动洗车设备，工作人员从消费者对A、B两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意x＜70，比较满意70≤x＜80，满意80≤x＜90，非常满意x≥90），下面给出了部分信息：
抽取的对A款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据：
83，85，85，87，87，89；
抽取的对B款设备的评分数据：
68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
抽取的对A，B款设备的评分统计表
设备
平均数
中位数
众数
“非常满意”所占百分比
A
88
m
96
45%
B
88
87
n
40%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　 　，m＝　 　，n＝　 　；
（2）5月份，有600名消费者对A款自动洗车设备进行评分，估计其中对A款自动洗车设备“比较满意”的人数；
（3）根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）．

22．（10分）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，动点E，F均以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，E沿折线A→B→C方向运动，F沿折线A→C→B方向运动，当两点相遇时停止运动．设运动的时间为t秒，点E，F的距离为y．
（1）请直接写出y关于t的函数关系式并注明自变量t的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出点E，F相距3个单位长度时t的值．

23．（10分）某粮食生产基地为了落实在适宜地区开展双季稻中间季节再种一季油菜的号召，积极扩大粮食生产规模，计划用基地的甲、乙两区农田进行油菜试种，甲区的农田比乙区的农田多10000亩，甲区农田的80%和乙区全部农田均适宜试种，且两区适宜试种农田的面积刚好相同．
（1）求甲、乙两区各有农田多少亩？
（2）在甲、乙两区适宜试种的农田全部种上油菜后，为加强油菜的虫害治理，基地派出一批性能相同的无人机，对试种农田喷洒除虫药，由于两区地势差别，派往乙区的无人机架次是甲区的1.2倍（每架次无人机喷洒时间相同），喷洒任务完成后，发现派往甲区的每架次无人机比乙区的平均多喷洒亩，求派往甲区每架次无人机平均喷洒多少亩？
24．（10分）人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A，B养殖场捕捞海产品．经测量，A在灯塔C的南偏西60°方向，B在灯塔C的南偏东45°方向，且在A的正东方向，AC＝3600米．
（1）求B养殖场与灯塔C的距离（结果精确到个位）；
（2）甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往B处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600米每分钟，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处？
（参考数据：≈1.414，≈1.732）2）

25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B（3，0），C（0，﹣3）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来．

26．（10分）如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一动点（不与A，D重合），连接BE，CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF．
（1）如图1，求证：∠CBE＝∠CAF；
（2）如图2，连接BF交AC于点G，连接DG，EF，EF与DG所在直线交于点H，求证：EH＝FH；
（3）如图3，连接BF交AC于点G，连接DG，EG，将△AEG沿AG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△APG，将△DEG沿DG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△DQG，连接PQ，QF．若AB＝4，直接写出PQ+QF的最小值．


2023年重庆市中考数学试卷（B卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．（4分）4的相反数是（　　）
A． B． C．﹣4 D．4
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
【解答】解：4的相反数是﹣4．
故选：C．
【点评】本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
2．（4分）四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，可得选项A的图形．
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图．
3．（4分）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝63°，则∠2的度数为（　　）

A．27° B．53° C．63° D．117°
【分析】根据平行线的性质可以得到∠1＝∠2，然后根据∠1的度数，即可得到∠2的度数．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝63°，
∴∠2＝63°，
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．
4．（4分）如图，已知△ABC∽△EDC，AC：EC＝2：3，若AB的长度为6，则DE的长度为（　　）

A．4 B．9 C．12 D．13.5
【分析】根据相似三角形的性质联立方程即可求解．
【解答】解：∵△ABC∽△EDC，AC：EC＝2：3．
∴，
∴当AB＝6时，DE＝9．
故选：B．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，找到对应的边成比例是解题的关键．
5．（4分）反比例函数y＝的图象一定经过的点是（　　）
A．（﹣3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣2，﹣4） D．（2，3）
【分析】根据k＝xy对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：反比例函数y＝中k＝6，
A、∵（﹣3）×2＝﹣6≠6，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；
B、∵2×（﹣3）＝﹣6≠6，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；
C、∵﹣2×（﹣4）＝8≠6，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；
D、∵2×3＝6，∴此点在函数图象上，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k＝xy为定值是解答此题的关键．
6．（4分）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（　　）

A．14 B．20 C．23 D．26
【分析】根据前4个图中的个数找到规律，再求解．
【解答】解：第①个图案中有2个圆圈，
第②个图案中有2+3×1＝5个圆圈，
第③个图案中有2+3×2＝8个圆圈，
第④个图案中有2+3×3＝11个圆圈，
...，
则第⑦个图案中圆圈的个数为：2+3×6＝20，
故选：B．
【点评】本题考查了规律型﹣图形的变化类，找到变换规律是解题的关键．
7．（4分）估计×（﹣）的值应在（　　）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【分析】先化简题干中的式子得到﹣1，明确的范围，利用不等式的性质求出﹣1的范围得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1．
∵5＜＜6．
∴4＜﹣1＜5．
故选：A．
【点评】本题以计算选择为背景考查了无理数的估算，考核了学生对式子的化简和比较大小的能力，解题关键是将式子化简，确定无理数的范围最后利用不等式的性质．
8．（4分）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】连接OC，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，求得∠ACO＝40°，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO＝40°．
【解答】解：连接OC，
∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∵∠ACD＝50°，
∴∠ACO＝90°﹣50°＝40°，
∵OC＝OA，
∴∠BAC＝∠ACO＝40°，
故选：B．

【点评】本题考查了切线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
9．（4分）如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC的中点，E为正方形内一点，连接BE，BE＝BA，连接CE并延长，与∠ABE的平分线交于点F，连接OF，若AB＝2，则OF的长度为（　　）

A．2 B． C．1 D．
【分析】连接AF，根据正方形ABCD得到AB＝BC＝BE，∠ABC＝90°，根据角平分线的性质和等腰三角形的性质，求得∠BFE＝45°，再证明△ABF≌△EBF，求得∠AFC＝90°，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出OF的长度．
【解答】解：如图，连接AF，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BE＝BC，∠ABC＝90°，AC＝AB＝2，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴∠EBC＝180°﹣2∠BEC，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝2∠BEC﹣90°，
∵BF平分∠ABE，
∴∠ABF＝∠EBF＝∠ABE＝∠BEC﹣45°，
∴∠BFE＝∠BEC﹣∠EBF＝45°，
在△BAF与△BEF中，
，
∴△BAF≌△BEF（SAS），
∴∠BFE＝∠BFA＝45°，
∴∠AFC＝∠BAF+∠BFE＝90°，
∵O为对角线AC的中点，
∴OF＝AC＝，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正方形的性质，直角三角形特征，作出正确的辅助线，求得∠BFE＝45°是解题的关键．
10．（4分）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n（其中x＞y＞z＞m＞n）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n，…．下列说法：
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．
其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据给定的定义，举出符合条件的说法①和②．说法③需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案．
【解答】解：|x﹣y|﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，故说法①正确．
若使其运算结果与原多项式之和为0，需出现﹣x，
显然无论怎么添加绝对值，都无法使x的符号为负号，故说法②正确．
当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是|x﹣y|﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n；x﹣|y﹣z|﹣m﹣n＝x﹣y+z﹣m﹣n；x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n；x﹣y﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是|x﹣y|﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n；|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n；x﹣|y﹣z|﹣|m﹣n|＝x﹣y+z﹣m+n．共有7种情况；
有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查新定义题型，根据多给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论；
需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较．主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
11．（4分）计算：|﹣5|+（2﹣）0＝　6　．
【分析】由|﹣5|＝5，（2﹣）0＝1
【解答】解：|﹣5|+（2﹣）0＝5+1＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查实数的运算．解题的关键是去绝对值注意符号；掌握任意非零实数的零次幂都等于1．
12．（4分）有四张完全一样正面分别写有汉字“清”“风”“朗”“月”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是 　　．
【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可求出相应的概率．
【解答】解：树状图如图所示，

由上可得，一共有16种等可能性，其中抽取的两张卡片上的汉字相同的有4种可能性，
∴抽取的两张卡片上的汉字相同的概率为＝，
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
13．（4分）若七边形的内角中有一个角为100°，则其余六个内角之和为 　800°　．
【分析】利用多边形内角和公式求得七边形的内角和后与100°作差即可．
【解答】解：由题意可得七边形的内角和为：（7﹣2）×180°＝900°，
∵该七边形的一个内角为100°，
∴其余六个内角之和为900°﹣100°＝800°，
故答案为：800°．
【点评】本题主要考查多边形的内角和，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
14．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，若AB＝5，BC＝6，则AD的长度为 　4　．

【分析】根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，在Rt△ABD中，根据勾股定理即可求出AD的长．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是BC边的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝5，BC＝6，
∴BD＝CD＝3，
在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AD＝＝＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，涉及勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
15．（4分）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程 　301（1+x）2＝500　．
【分析】设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，即可得出关于x的一元二次方程．
【解答】解：设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，
依题意得：301（1+x）2＝500．
故答案为：301（1+x）2＝500．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为BC的中点，连接AE．DE．以E为圆心，EB长为半径画弧，分别与AE，DE交于点M，N．则图中阴影部分的面积为 　4﹣π　（结果保留π）．

【分析】用三角形ADE的面积减去2个扇形的面积即可．
【解答】解：∵AD＝2AB＝4，E为BC的中点，
∴AB＝2，BE＝CE＝2，
∴∠BAE＝∠AEB＝∠CDE＝∠DEC＝45°，
∴阴影部分的面积为﹣2×＝4﹣π．
故答案为：4﹣π．
【点评】此题主要考查了扇形面积求法以及等腰直角三角形的性质，应用扇形面积的计算方法进行求解是解决本题的关键．
17．（4分）若关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，且关于y的分式方程+＝2的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为 　13　．
【分析】先通过不等式组的解确定a的范围，再根据分式方程的解求a值即可得出答案．
【解答】解：解不等式组，
得：，
∵原不等式组的解集为：x＜﹣2，
∴﹣≥﹣2，
∴a≤5，
解分式方程+＝2，
得y＝，
∵y＞0且y≠1，
∴＞0且≠1，
∴a＞﹣2且a≠1，
∴﹣2＜a≤5，且a≠1，
∴符合条件的整数a有：﹣1，0，2，3，4，5，
∴﹣1+0+2+3+4+5＝13．
故答案为：13．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组、解分式方程，熟练掌握一元一次不等式组、分式方程的解法是解决本题的关键．
18．（4分）对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵7﹣1＝6，3﹣1＝2，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵8﹣1≠6，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为 　6200　；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记P（M）＝3（a+b）+c+d，Q（M）＝a﹣5，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为 　9313　．
【分析】它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．分为两部分：第一部分千位数和个位数之间的关系，第二部分百位数和十位数之前的关系．
【解答】解：求最小的“天真数”，首先知道最小的自然数的0．
先看它的千位数字比个位数字多6，个位数为最小的自然数0时，千位数为6；百位数字比十位数字多2，十位数为最小的的自然数0时，百位数是2；则最小的“天真数”为6200．
故答案为：6200．
一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d．
由“天真数”的定义得a＝d+6，所以6≤a≤9，b＝c+2，所以0≤c≤7，
又P（M）＝3（a+b）+c+d＝3（a+c+2）+c+a﹣6＝4a+4c；
Q（M）＝a﹣5.＝论能被10整除当a取最大值9时，
即当a＝9时，满足能被10整除，则c＝1，“天真数”M为9313．
故答案为：9313．
【点评】新定义题型，各数字的取值范围，最值：最小自然数0．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．（8分）计算：（1）x（x+6）+（x﹣3）2；
（2）（3+）÷．
【分析】（1）按照单项式乘以多项式的法则以及完全平方公式进行计算即可；
（2）按照分式的混合运算法则进行计算即可．
【解答】解：（1）x（x+6）+（x﹣3）2
＝x2+6x+x2﹣6x+9
＝2x2+9；
（2）
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了分式的混合运算和整式的混合运算，熟练掌握混合运算法则是解题的关键，计算时一定要细心．
20．（10分）在学习了平行四边形的相关知识后，小虹进行了拓展性研究，她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这条垂直平分线在该四边形内部的线段被这条对角线平分．其解决问题的思路为通过证明对应线段所在两个三角形全等即可得出结论．
请根据她的思路完成以下作图和填空：
用直尺和圆规作平行四边形ABCD对角线AC的垂直平分线，交DC于点E，交AB于点F，垂足为O．（只保留作图痕迹）
如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，EF垂直平分AC，垂足为O．求证：EO＝FO．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴DC∥AB．
∴∠ECO＝　∠FAO　．
∵EF垂直平分AC，
∴　OA＝OC　．
又∠EOC＝　∠FOA　，
∴△COE≌△AOF（ASA）．
∴EO＝FO．
再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的所有与该四边形一组对边相交所得的线段均具备此特征，请你依照题目中的相关表述完成下面命题的填空：
过平行四边形对角线中点的直线 　被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分　．

【分析】根据要求画出图形，证明△COE≌△AOF（ASA），可得结论．
【解答】解：图形如图所示：

理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB．
∴∠ECO＝∠FAO，
∵EF垂直平分AC，
∴AO＝OC．
又∠EOC＝∠FOA，
∴△COE≌△AOF（ASA）．
∴EO＝FO．
再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的所有与该四边形一组对边相交所得的线段均具备此特征，
所以过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分，
故答案为：∠FAO，OA＝OC，∠FOA，过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分．
【点评】本题考查命题与定理，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．
21．（10分）某洗车公司安装了A，B两款自动洗车设备，工作人员从消费者对A、B两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意x＜70，比较满意70≤x＜80，满意80≤x＜90，非常满意x≥90），下面给出了部分信息：
抽取的对A款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据：
83，85，85，87，87，89；
抽取的对B款设备的评分数据：
68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
抽取的对A，B款设备的评分统计表
设备
平均数
中位数
众数
“非常满意”所占百分比
A
88
m
96
45%
B
88
87
n
40%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　15　，m＝　88　，n＝　98　；
（2）5月份，有600名消费者对A款自动洗车设备进行评分，估计其中对A款自动洗车设备“比较满意”的人数；
（3）根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）．

【分析】（1）用“1”分别减去其他三个等级所占百分比可得a的值，根据中位数的定义可得m的值，根据众数的定义可得n的值；
（2）用600乘A款自动洗车设备“比较满意”所占百分比即可；
（3）通过比较A，B款设备的评分统计表的数据解答即可．
【解答】解：（1）由题意得，a%＝1﹣10%﹣45%﹣＝15%，即a＝15；
把A款设备的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是87，89，故中位数m＝＝88；
在B款设备的评分数据中，98出现的次数最多，故众数n＝98．
故答案为：15；88；98；
（2）600×15%＝90（名），
答：估计其中对A款自动洗车设备“比较满意”的人数大约为90名；
（3）A款自动洗车设备更受消费者欢迎，理由如下：
因为两款自动洗车设备的评分数据的平均数相同，但A款自动洗车设备的评分数据的中位数比B款高，所以A款自动洗车设备更受消费者欢迎（答案不唯一）．
【点评】本题考查扇形统计图，中位数、众数以及样本估计总体，理解中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的计算方法是解决问题的前提．
22．（10分）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，动点E，F均以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，E沿折线A→B→C方向运动，F沿折线A→C→B方向运动，当两点相遇时停止运动．设运动的时间为t秒，点E，F的距离为y．
（1）请直接写出y关于t的函数关系式并注明自变量t的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出点E，F相距3个单位长度时t的值．

【分析】（1）根据动点E、F运动的路线和速度分段进行分析，写出不同时间的函数表达式并注明自变量t的取值范围即可；
（2）根据画函数图象的方法分别画出两段函数图象，然后写出这个函数的其中一条性质即可；
（3）根据两个函数关系式分别求出当y＝3时的t值即可解决问题．
【解答】解：（1）当点E、F分别在AB、AC上运动时，△AEF为边长等于t的等边三角形，
∴点E，F的距离等于AE、AF的长，
∴当0＜t≤4时，y关于t的函数表达式为y＝t，
当点E、F都在BC上运动时，点E，F的距离等于4﹣2（t﹣4），
∴当4＜t≤6时，y关于t的函数表达式为y＝4﹣2（t﹣4）＝12﹣2t，
∴y关于t的函数表达式为；
（2）由（1）中得到的函数表达式可知：当t＝0时，y＝0；当t＝4时，y＝4；当t＝6时，y＝0，
分别描出三个点（0，0），（4，4）（6，0），然后顺次连线，如图：

根据函数图象可知这个函数的其中一条性质：当0＜t≤4时，y随t的增大而增大．（答案不唯一，正确即可）
（3）把y＝3分别代入y＝t和y＝12﹣2t中，得：
3＝t，3＝12﹣2t，
解得：t＝3或t＝4.5，
∴点E，F相距3个单位长度时t的值为3或4.5．
【点评】本题是一道三角形综合题，主要考查等边三角形的性质、一次函数的图象和性质，以及一次函数的应用，深入理解题意是解决问题的关键．
23．（10分）某粮食生产基地为了落实在适宜地区开展双季稻中间季节再种一季油菜的号召，积极扩大粮食生产规模，计划用基地的甲、乙两区农田进行油菜试种，甲区的农田比乙区的农田多10000亩，甲区农田的80%和乙区全部农田均适宜试种，且两区适宜试种农田的面积刚好相同．
（1）求甲、乙两区各有农田多少亩？
（2）在甲、乙两区适宜试种的农田全部种上油菜后，为加强油菜的虫害治理，基地派出一批性能相同的无人机，对试种农田喷洒除虫药，由于两区地势差别，派往乙区的无人机架次是甲区的1.2倍（每架次无人机喷洒时间相同），喷洒任务完成后，发现派往甲区的每架次无人机比乙区的平均多喷洒亩，求派往甲区每架次无人机平均喷洒多少亩？
【分析】（1）设乙区有农田x亩，则甲区有农田（x+10000）亩，根据“甲区农田的80%和乙区全部农田均适宜试种，且两区适宜试种农田的面积刚好相同”，可得出关于x的一元一次方程，解之可得出乙区的农田亩数，再将其代入（x+10000）中，即可求出甲区的农田亩数；
（2）设派往甲区每架次无人机平均喷洒y亩，则派往乙区每架次无人机平均喷洒（y﹣）亩，根据派往乙区的无人机架次是甲区的1.2倍（每架次无人机喷洒时间相同），可得出关于y的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙区有农田x亩，则甲区有农田（x+10000）亩，
根据题意得：80%（x+10000）＝x，
解得：x＝40000，
∴x+10000＝40000+10000＝50000．
答：甲区有农田50000亩，乙区有农田40000亩；
（2）设派往甲区每架次无人机平均喷洒y亩，则派往乙区每架次无人机平均喷洒（y﹣）亩，
根据题意得：＝×1.2，
解得：y＝100，
经检验，y＝100是所列分式方程的解，且符合题意．
答：派往甲区每架次无人机平均喷洒100亩．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．
24．（10分）人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A，B养殖场捕捞海产品．经测量，A在灯塔C的南偏西60°方向，B在灯塔C的南偏东45°方向，且在A的正东方向，AC＝3600米．
（1）求B养殖场与灯塔C的距离（结果精确到个位）；
（2）甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往B处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600米每分钟，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处？
（参考数据：≈1.414，≈1.732）2）

【分析】（1）过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，解直角三角形求出AD，CD．在Rt△BCD中，解直角三角形即可求出BC；
（2）求出AD，BD，进而求出AB，根据速度公式即可得到结论．
【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，AC＝3600米，cos60°＝，sin60°＝，
∴AD＝3600×＝1800（米），CD＝×3600＝1800（米）．
在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，
∴∠B＝45°＝∠BCD，
∴BD＝CD＝1800（米），
∴BC＝＝1800≈1800×1.414≈2545（米）．
答：B养殖场与灯塔C的距离约为2545米；
（2）AB＝AD+BD＝1800+1800≈1800×1.732+1800≈4917.6（米），
600×9＝5400（米），
∵5400米＞4917.6米，
∴能在9分钟内到达B处．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解答本题的关键是利用三角函数求出AD与BD的长度，难度一般．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B（3，0），C（0，﹣3）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来．

【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由PD＝PH•sin∠PHC＝PH，即可求解；
（3）分QE＝QF、QF＝EF两种情况，列出等式，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣3；

（2）令y＝x2+x﹣3＝0，则x＝﹣4或3，则点A（﹣4，0），
由点A、C知，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，
过点P作y轴的平行线交AC于点H，则∠PHC＝∠ACO，
则tan∠PHC＝tan∠ACO＝，则sin∠PHC＝，
则PD＝PH•sin∠PHC＝PH，

设点H（x，﹣x﹣3），则点P（x，x2+x﹣3），
则PD＝PH＝（﹣x﹣3﹣x2﹣x+3）＝﹣（x+2）2+，
即PD的最大值为：，此时点P（﹣2，﹣）；

（3）平移后的抛物线的表达式为：y＝（x﹣5）2+（x﹣5）﹣3＝x2﹣x+2，
则点F（0，2），设点Q（，m），
则QF2＝（）2+（m﹣2）2，QE2＝+（m+）2，EF2＝9+，
当QE＝QF时，则（）2+（m﹣2）2＝+（m+）2，
解得：m＝，
则点Q的坐标为（，）；
当QF＝EF时，则（）2+（m﹣2）2＝9+，
解得：m＝5或﹣1，
则点Q的坐标为：（，5）或（，﹣1）；
综上，点Q的坐标为：（，）或（，5）或（，﹣1）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
26．（10分）如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一动点（不与A，D重合），连接BE，CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF．
（1）如图1，求证：∠CBE＝∠CAF；
（2）如图2，连接BF交AC于点G，连接DG，EF，EF与DG所在直线交于点H，求证：EH＝FH；
（3）如图3，连接BF交AC于点G，连接DG，EG，将△AEG沿AG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△APG，将△DEG沿DG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△DQG，连接PQ，QF．若AB＝4，直接写出PQ+QF的最小值．

【分析】（1）根据旋转的性质得出CE＝CF，∠ECF＝60°，进而证明△BCE≌AACF（SAS），即可得证；试（2）过点F作FKIIAD，交DH点的延长线于点K，连接EK，FD，证明四边形四边形EDFK是平行四边形，即可得证；（3）如图所示，延长AP，DQ交于点R，由（2）可知△DCG是等边三角形，根据折叠的性质可得∠PAG＝∠EAG＝30°，∠QDG＝∠EDG＝30°，进而得出△ADR是等边三角形，由（2）可得RtACED≌RtACFG，得出四边形GDQF是平行四边形，则QF＝DC＝﹣4C＝2．进而得出CPGQ＝360°﹣2C 4GD＝120°，则PQ＝√3pG＝√3GQ，当GQ取得最小值时，即GQ⊥DR时，PQ取得最小值，即可求解．（1）由“SAS”可证△ACF≌△BCE，可得结论；
（2）
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC，
∵将CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，
∴CE＝CF，∠ECF＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCA＝∠ECF，
∴∠BCE＝∠ACF，
∴△BCE≌△ACF（SAS），
∴∠CBE＝∠CAF；
（2）证明：如图所示，过点F作FK∥AD，交DH点的延长线于点K，连接EK，FD，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴AD垂直平分BC，
∴EB＝EC，
又∵△BCE≌△ACF，
∴AF＝BE，CF＝CE，
∴AF＝CF，
∴F在AC的垂直平分线上，
∵AB＝BC，
∴B在AC的垂直平分线上，
∴BF垂直平分AC，
∴AC⊥BF，AG＝CG＝AC，
∴∠AGF＝90°，
又∵DG＝AC＝CG，∠ACD＝60°，
∴△DCG是等边三角形，
∴∠CGD＝∠CDG＝60°，
∴∠AGH＝∠DGC＝60°，
∴∠KGF＝∠AGF﹣∠AGH＝90°﹣60°＝30°，
又∵∠ADK＝∠ADC﹣∠GDC＝90°﹣60＝30°，KF∥AD，
∴∠HKF＝∠ADK＝30°，
∴∠FKG＝∠KGF＝30°，
∴FG＝FK，
在Rt△CED与Rt△CGF中，
，
∴Rt△CED≌Rt△CFG，
∴GF＝ED，
∴ED＝FK，
∴四边形EDFK是平行四边形，
∴EH＝HF；
（3）解：依题意，如图所示，延长AP，DQ交于点R，

由（2）可知△DCG是等边三角形，
∴∠EDG＝30°，
∵将△AEG沿AG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△APG，将△DEG沿DG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△DQG，
∴∠PAG＝∠EAG＝30°，∠QDG＝∠EDG＝30°，
∴∠PAE＝∠QDE＝60°，
∴△ADR是等边三角形，
∴∠QDC＝∠ADC﹣∠ADQ＝90°﹣60°＝30°，
由（2）可得Rt△CED≌Rt△CFG，
∴DE＝GF，
∴DE＝DQ，
∴GF＝DQ，
∵∠GBC＝∠QDC＝30°，
∴GF∥DQ，
∴四边形GDQF是平行四边形，
∴QF＝DG＝AC＝2，
由（2）可知G是AC的中点，则GA＝GD，
∴∠GAD＝∠GDA＝30°，
∴∠AGD＝120°，
∵折叠，
∴∠AGP+∠DGQ＝∠AGE+∠DGE＝∠AGD＝120°，
∴∠PGQ＝360°﹣2∠AGD＝120°，
又PG＝GE＝GQ，
∴PQ＝PG＝GQ，
∴当GQ取得最小值时，即GQ⊥DR时，PQ取得最小值，此时如图所示，

∴GQ＝GC＝DC＝1，
∴PQ＝，
∴PQ+QF＝+2．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
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