高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）学案

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《函数的零点与方程的解》课标解读教材分析本节主要内容是函数零点的概念，函数零点与相应方程根的关系，函数零点存在定理.本节课是为“用二分法求方程的近似解”打基础，函数零点的概念与函数零点存在定理是二分法的必备知识.方程与函数的关系从来是重要且无法回避的，所以将本节内容直接编入教材很有必要，本节课不仅为二分法的学习做准备，而且为方程与函数提供了零点这个连接点，从而揭示了两者之间的本质联系，这种联系正是“函数与方程思想”的理论基础.用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其他知识的联系奠定了坚实的基础.从研究方法而言，函数零点概念的形成和函数零点存在定理的发现，符合从特殊到一般的认识规律，有利于培养学生的概括归纳能力，也为数形结合思想提供了广阔的平台.学情分析通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，具备一定的看图识图能力，这为本节课利用函数图象判断方程根的存在性提供了一定的知识基础.方程是初中数学的重要内容，用所学的函数知识解决方程问题，扩充方程的种类，这是学生乐于接受的.高一学生在函数的学习中，常表现出不适，主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任，具体表现为将函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的核心地位，例如一元二次方程根的分布问题，学生自然会想到韦达定理，而不是想到二次函数的图象与方程的根之间的联系.函数应用意识的初步树立，就成了本节课必须承载的任务.从方程根的角度理解函数的零点，学生并不会觉得困难，而用函数来确定方程根的个数和大致范围，则需要适应.换而言之，函数零点存在定理的获得与应用，必须让学生从一定量的具体案例中操作感知，通过更多的举倒来验证.教学建议教学时，应该给学生提供探究情境，让学生自己发现并归纳出结论“一元二次方程的根就是相应的二次函数的图象与轴交点的横坐标”.给出函数零点的概念后，要让学生明确“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切的联系，但不能将它们混为一谈.通过探究，让学生观察对应的二次函数在区间端点上的函数值之积的特点，引导学生发现连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.教学时，可让学生多举些例子加深认识.学科核心素养目标与素养1.了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如一元二次方程），说明方程的根、函数的零点、函数图象与轴的交点三者之间的关系，达到数学抽象核心素养学业质量水平二的层次.2.理解函数零点存在定理：了解函数图象连续不断的意义及作用，知道函数零点存在定理只是函数存在零点的一个充分条件，了解函数零点可能不止一个，达到逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次.3.能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数，及所在区间，达到直观想象、数学抽象核心素养学业质量水平一的层次.情境与问题观察下列三组方程与函数：方程函数利用函数图象探究方程的根与函数图象与轴的交点之间的关系，引入关于函数零点的学习.内容与节点函数的零点与方程的解的学习，为后续用二分法求方程的近似解奠定了基础，也为今后进一步学习函数与不等式等其他知识的联系做准备.过程与方法1.经历由一元二次方程的根与二次函数的图象与轴的交点情况分析过程，导入函数零点的概念.培养学生的数形结合思想，提升直观想象和逻辑推理素养.2.通过引入方程的根与函数零点的关系，培养学生的转化与化归思想和探究问题的能力，提升数学抽象素养.3.经历由特殊到一般的过程，再由了解函数零点存在定理到理解函数零点存在定理，从而在掌握函数零点存在定理的过程中，培养学生由特殊到一般的思想.教学重点难点重点1.理解函数零点的概念，掌握函数零点与相应方程根的求法.2.掌握函数零点存在定理并能应用.难点1.数形结合思想、转化与化归思想的培养与应用.2.函数零点存在定理的理解.