2022-2023学年四川省达州市开江县普安中学八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年四川省达州市开江县普安中学八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列式子中，是分式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若，，则下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在▱中，，则度数为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列从左边到右边的变形，其中是因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图所示，已知在中，，，交于点，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，：和：相交于，则解集为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折使点落在直角边的延长线上的点处，折痕为，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，将绕点逆时针方向旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，等边中有一点，且，，，则的度数的为(    )
 

A.
B.
C.
D.

11.  若关于的不等式的解集为，且关于的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数的和为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，▱的对角线、交于点，点是的中点，且，，连接给出下列个结论：是等边三角形；；；若，则，上述结论正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  如图，和分别表示天平上两边的砝码的质量，请你用“”或“”填空： ______

14.  多项式的公因式是______．

15.  如图所示，三角形的面积为垂直的平分线于点则三角形的面积是______．

16.  如图，在中，点、分别是边、的中点，连接，的平分线交于点，若，，则的长为______ ．

17.  对于两个不相等的数、，我们规定、表示、中的较小的值例、，按照这个规定，方程的解为______ ．

18.  如图，在四边形中，，，，交于点若，，则的长是______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
因式分解：

 

20.  本小题分
解下列不等式或不等式组：
；
，并将解集在数轴上表示出来．

21.  本小题分
先化简，，再从，，中选一个合适的数作为的值代入求值．

22.  本小题分
已知关于的分式方程．
若分式方程的根是，求的值；
若分式方程无解，求的值．

23.  本小题分
如图，将绕点逆时针旋转得到，点落在边上，与交于点．
求证：是等边三角形；
若，求的度数．

24.  本小题分
如图，四边形中，对角线，相交于点，点，分别在线段，上，且，，．
证明：≌；
证明：四边形是平行四边形．

25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为，．
若将线段经过一次平移后得到对应线段，点的坐标为，请直接写出点的坐标；并直接写出线段上的点的对应点的坐标用含，的代数式表示不需要在答题卡上画图；
直接写出中线段经过一次平移得到线段的平移距离；
若在平面直角坐标系中线段关于原点成中心对称的线段是，请直接写出点的坐标不需要在答题卡上画图．

26.  本小题分
某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少元，且用元购进甲商品的数量与用元购进乙商品的数量相同．
求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的倍还少个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过个，则商场最多购进乙商品多少个？
在的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是元个和元个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？

27.  本小题分
综合与实践
图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题：如图，在中，，，，分别为，边上一点，连接，且，将绕点在平面内旋转．
观察猜想
若，将绕点旋转到如图所示的位置，则与的数量关系为______；
类比探究
若，将绕点旋转到如图所示的位置，，相交于点，猜想，满足的位置关系，并说明理由；
拓展应用
如图，在的条件下，连结，分别取，，的中点，，，连结，，，若，，请直接写出在旋转过程中面积的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．的分母中没有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
B.的分母中没有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
C.的分母中没有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
D.的分母中有字母，是分式，故本选项符合题意；
故选：．
根据分式的定义逐个判断即可．
本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，判断是否是分式的关键是看分母中是否含有字母．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，，
，
，
故A不符合题意；
B、，
，
故B符合题意；
C、，
，
，
故C不符合题意；
D、，，
，
，
，
故D不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质，进行计算即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
故选：．
由平行四边形的邻角互补得出的度数．
本题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质：平行四边形的邻角互补．
 

4.【答案】 

【解析】解：、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
B、不合因式分解的定义，故本选项错误；
C、左边右边，不是因式分解，故本选项错误；
D、符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项正确．
故选：．
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．
本题考查了因式分解的意义．正确把握因式分解的定义是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
在和中，
≌
，
，
．
 

6.【答案】 

【解析】解：直线：与直线：相交于点，
，
解得：，
观察图象知：关于的不等式的解集为，
故选：．
首先将已知点的坐标代入直线求得的值，然后观察函数图象得到在点的右边，直线都在直线的上方，据此求解．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：先画出函数图象，然后观察函数图象，比较函数图象的高低即比较函数值的大小，确定对应的自变量的取值范围．也考查了数形结合的思想．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，，
，
由题意得，，
．
设，则，
在中，根据勾股定理得
，
即，
解得，
即长为．
故选：．
根据勾股定理可将斜边的长求出，根据折叠的性质知，，已知的长，可将的长求出，再根据勾股定理列方程求解，即可得到的长．
本题考查的是翻折变换，理解翻折变换的性质是解题的关键，翻折后的图形与原图形是全等的．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据旋转的性质可知，且，．
点在线段的延长线上，
．
．
．
故选：．
根据旋转的性质求出和的度数即可解决问题．
本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】根据已知可得，然后代入式子中进行计算即可解答．
解：，
，
，


，
故选：．
本题考查了分式的值，根据题目的已知求出与的关系是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，求得是解题的关键．
将绕点逆时针旋转得，根据旋转的性质得，，，根据等边三角形的性质得到，，根据勾股定理的逆定理可得到为直角三角形，且，即可得到的度数．
【解答】
解：为等边三角形，
，
可将绕点逆时针旋转得，
连，如图，
，，，
为等边三角形，
，，
在中，，，，
，
为直角三角形，且，
．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：不等式组整理得：，
不等式组的解集为，
，
分式方程去分母得：，
解得：，
分式方程有正整数解，且，
或或，
解得：，的值舍去，
则所有满足题意整数之和为．
故选：．
不等式组整理后，根据已知解集确定出的范围，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有整数解确定出整数的值即可．
此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：▱中，点是的中点，且，，
，，
是等边三角形，故正确；
是等边三角形，
，，
，故正确；
是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
又，
，故正确；
，是的中点，
，
又，，
，，
的面积，故错误；
综上所述，结论正确的有个．
故选：．
利用平行四边形的性质可得，进而证明是等边三角形，然后推出，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一，以及三角形中位线定理进行推理即可得出结论．
此题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理以及等边三角形的判定与性质．证得是等边三角形是解决问题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据图示知被测物体的质量小于砝码的质量，即，所以．
故答案为：．
托盘天平是支点在中间的等臂杠杆，天平平衡时砝码的质量等于被测物体的质量，根据图示知被测物体的质量小于砝码的质量．
本题考查了不等式的相关知识，利用“天平”的不平衡来得出不等关系，体现了“数形结合”的数学思想．
 

14.【答案】 

【解析】解：的公因式是．
故答案为：．
找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式．
本题主要考查公因式的确定，熟练掌握公因式的定义及确定方法是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义以及三角形的面积，根据三角形间的关系找出是解题的关键．
延长交于点，由角平分线的定义可知，结合以及即可证出≌，进而可得出，根据三角形的面积即可得出，再根据即可得出结论．
【解答】
解：延长交于点，如图所示．
垂直的平分线于点，
．
在和中，，
≌，
．
和等底同高，
，
．
故答案为：．  

16.【答案】 

【解析】解：点、分别为边、的中点，
，，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理得到，，根据角平分线定义和平行线的性质以及等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：分情况讨论：
时，
根据题意，得，
去分母，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
但是，
，
不符合题意，要舍去；
时，
根据题意，得，
去分母，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
，，
，
符合题意，
故答案为：．
分情况讨论：时，时，根据新定义分别列分式方程，求解即可．
本题考查了解分式方程，新定义，理解新定义是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：在四边形中，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
由在四边形中，，，可判定四边形是平行四边形，即可求得的长，又由，，易判定是等腰三角形，继而求得答案．
此题考查了平行四边形的性质与判定以及等腰三角形的判定与性质．注意证得四边形是平行四边形，是等腰三角形是关键．
 

19.【答案】解：

；



． 

【解析】首先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
首先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法即公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
 

20.【答案】解：，
，
，
，
，
；
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
将解集表示在数轴上如下：
 

【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为可得；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

21.【答案】解：原式


，
，，
时，原式． 

【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
 

22.【答案】解：分式方程的根是，
，
解得，
的值为；
，
当时，方程无解，
，
当分式方程有增根，
或，
当时，，
此时不存在的值，
当时，，
，
的值为；
，
若分式方程无解，的值为或． 

【解析】把代入方程计算，即可求出的值；
分式方程去分母转化为整式方程，由整式方程无解和分式方程无解求的值即可．
本题考查了分式方程的增根和无解，理解分式方程有增根和无解的含义是解题的关键．
 

23.【答案】证明：将绕点逆时针旋转得到，
，，
是等边三角形．
解：将绕点逆时针旋转得到，
，，
是的外角，
． 

【解析】根据全等三角形的判定定理证明．
根据旋转性质，结合三角形的外角定理计算．
本题考查旋转性质和等边三角形的判定，充分利用旋转性质是求解本题的关键．
 

24.【答案】证明：
与是对顶角，
，
在和中

≌；
由可知≌，
，
，
，
，
四边形为平行四边形． 

【解析】由条件可利用证得结论；
由的结合可得，则可求得，可求得，则可证得四边形为平行四边形．
本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法即、、、和和全等三角形的性质即对应边相等、对应角相等是解题的关键．
 

25.【答案】解：如图，，，，
，
即，

是线段上的点，
；
中线段经过一次平移得到线段的平移距离为：；
如图，在平面直角坐标系中线段关于原点成中心对称的线段是，且，
． 

【解析】根据平移的性质画出图形，可得点的坐标；
利用勾股定理可得答案；
利用中心对称的性质可得答案．
本题主要考查了作图平移变换，旋转变换，勾股定理等知识，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
 

26.【答案】解：设每件乙种商品的进价为元，则每件甲种商品的进价为元，
根据题意，得，
解得：，
经检验，是原方程的根，
每件甲种商品的进价为：．
答：每件甲种商品的进价为元，每件乙种商品件的进价为元．

设购进乙种商品个，则购进甲种商品个．
由题意得：．
解得．
答：商场最多购进乙商品个；

由知，，
解得：．
为整数，，
或．
共有种方案．
方案一：购进甲种商品个，乙商品件个；
方案二：购进甲种商品个，乙种商品个． 

【解析】设每件乙种商品的进价为元，则每件甲种商品的进价为元，根据题意建立方程求出其解就可以了．
本题中“根据进两种商品的总数量不超过个”可得出不等式；
根据“使销售两种商品的总利润利润售价进价超过元”可以得出关于利润的不等式，组成不等式组后得出未知数的取值范围，然后根据取值的不同情况，列出不同的方案．
本题考查了列分式方程解应用题与列不等式组解实际问题的运用，重点在于准确地找出相等关系与不等关系．
 

27.【答案】 

【解析】解：如图，，
，
，
，，
，
，
旋转，
，
又，，
≌，
，
故答案为：；
，
理由如下：如图，设与的交点为点，

绕点旋转到如图所示的位置，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
是的外角，也是的外角，
，
，
；
，，分别是，，的中点，
，，，，
≌，
，
，
，，，
，
是等腰直角三角形，
的面积，
，，
当点，点，点三点共线时，有最大值，即面积有最大值，
的最大值为，面积的最大值为．
由“”可证≌，可得；
由“”可证≌，可得，由外角的性质可得结论；
先证明是等腰直角三角形，可得的面积，则当点，点，点三点共线时，有最大值，即面积有最大值．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．