2022-2023学年宁夏银川六中高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年宁夏银川六中高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知直线，和平面，，下列命题正确的是(    )

A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，，则

2.  已知事件与事件是互斥事件，则(    )

A.  B.
C.  D.

3.  如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为的正方形，则原图形的周长是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，且该圆锥的体积为，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列条件中，能得到平面平面的条件是(    )

A. 存在一条直线 ，，
B. 存在一条直线 ，，
C. 存在两条平行直线 ，，，，，
D. 存在两条异面直线 ，，，，，

6.  在正方体中，点是的中点，则二面角的平面角的正切值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  某工厂生产的，，三种不同型号的产品数量之比为：：，为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的，，三种产品中抽出件进行测试，则应该抽取的型号产品的件数为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，某系统由，，，四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件，，，正常工作的概率都为，则该系统正常工作的概率为(    )
 

A.  B.
C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  如图所示，已知几何体是正方体，则(    )

A. 平面
B. 平面
C. 异面直线与所成的角为
D. 异面直线与所成的角为

10.  一组数据，，，，的平均数为，则此组数据的(    )

A. 众数为 B. 极差为 C. 中位数为 D. 方差为

11.  一个口袋中有除颜色外完全相同的个红球和个白球，从中取出个球，则(    )

A. 若不放回地抽取，则“取出个红球”和“取出个白球”是对立事件
B. 若不放回地抽取，则第次取到红球的概率与第次取到红球的概率相等
C. 若有放回地抽取，则取出个红球和个白球的概率是
D. 若有放回地抽取，则至少取出一个红球的概率是

12.  连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件“第一次出现点”，“第二次的点数小于点”，“两次点数之和为奇数”，“两次点数之和为”，则下列说法正确的有(    )

A. 与不互斥且相互独立 B. 与互斥且不相互独立
C. 与不互斥且相互独立 D. 与互斥且不相互独立

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  为了解某校高三年级男生的体重，从该校高三年级男生中抽取名，测得他们的体重数据如下按从小到大的顺序排列，单位：：、、、、、、、、、、、、、、、、据此估计该校高三年级男生体重的第百分位数为        ．

14.  如果数据，，，，的方差是，则，，，的方差为______ ．

15.  已知甲运动员的投篮命中率为，乙运动员的投篮命中率为，若甲、乙各投篮一次，则恰有一人命中的概率是______ ．

16.  已知正四棱锥的侧棱，底面边长为，则该正四棱锥外接球的表面积为        ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
如图所示，已知一个半径为的半圆面剪去了一个三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，其中点为半圆弧的中点，求该几何体的表面积和体积．

18.  本小题分
如图，在棱长为的正方体中，为的中点．
求证：平面；
求三棱锥的体积．

19.  本小题分
如图，在三棱锥中，是的中点，平面，，，，．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．

20.  本小题分
年月日，位于孝感市孝南区长兴工业园内的湖北福益康医疗科技有限公司正式落地投产，这是孝感市第一家获批的具有省级医疗器械生产许可证资质的企业，也是我市首家“一次性使用医用口罩、医用外科口罩”生产企业．在暑期新冠肺炎疫情反弹期间，该公司加班加点生产口罩、防护服，消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在社会上赢得一片赞誉．在加大生产的同时，该公司狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了个，将其质量指标值分成以下六组：，，，，，得到如图频率分布直方图．
求出直方图中的值；
利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到；
现规定：质量指标值小于的口罩为二等品，质量指标值不小于的口罩为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的个口罩中抽出个口罩，其中一等品和二等品分别有多少个．

21.  本小题分
某校团委举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识竞赛比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，，在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．
从甲、乙两人中选取人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．

22.  本小题分
某校为了解学生对食堂的满意程度，做了一次问卷调查，对三个年级进行分层抽样，共抽取名同学进行询问打分，将最终得分按，，，，，，分成段，并得到如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值，以及此次问卷调查分数的中位数；
若从打分区间在的同学中随机抽出两位同学，求抽出的两位同学中至少有一位同学来自打分区间的概率．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，属于基础题．
对于，与相交或平行；对于，由面面平行的判定定理得；对于，或；对于，与相交或平行．

【解答】

解：直线，和平面，，
对于，若，，则与相交或平行，故A错误；
对于，若，，则由面面平行的判定定理得，故B正确；
对于，若，，则或，故C错误；
对于，若，，，，则与相交或平行，故D错误．
故选：．

2.【答案】 

【解析】解：对于，若与是互斥，则与不一定互斥，则不一定为，故A错误，
对于，若事件与事件是互斥事件，则，而不一定为，故B错误，
对于，事件与事件是互斥事件，不一定为对立事件，故C错误，
对于，事件与事件是互斥事件，为必然事件，，故D正确．
故选：．
利用互斥事件的定义判断即可．
本题考查互斥事件的定义、性质，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：设原图形的四边形为，
则根据斜二测法规则及题意可知：
原图形中，，
又原图形中，
原图形中，
原图形的周长是．
故选：．
根据斜二测法规则，即可求解．
本题考查根据斜二测法规则，属基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则圆锥的母线长为，
设圆锥底面半径为，高为，
则有，变形可得，
则，
所以，解可得．
故选：．
根据题意，用表示出圆锥的母线、底面半径、高，再由圆锥体积公式列方程求解．
本题考查圆锥的体积计算，涉及圆锥的侧面展开图，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：对于，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故A不对；
对于，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B不对；
对于，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C不对；
对于，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D正确．
故选：．
由平面与平面的位置关系，对各项逐一进行分析即可．
本题考查空间中直线与平面的位置关系，考查学生的推理能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，

因几何体为正方体，则面，面，则，
又平面，则，故即为二面角的平面角．
过作直线垂线，交于，则为中点．
故．
故选：．
由题可得为二面角的平面角，后结合题目条件可得答案．
本题主要考查二面角的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：某工厂生产的，，三种不同型号产品的数量之比为：：，则被抽的抽样比为，所以抽出件产品中型号产品的件数为．
故选：．
根据分层抽样的性质求出抽样比，然后求解即可．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查概率的运算，考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
要使系统正常工作，则，都正常或正常，必须正常，然后利用独立事件、对立事件概率公式计算即可．

【解答】

解：要使系统正常工作，则，都正常或正常，必须正常，该系统正常工作的概率为：




．
故选：．

9.【答案】 

【解析】解：对于，由几何体是正方体可知，而平面，
故BC与平面相交，故A错误；
对于，平面平面，且平面，
所以平面，故B正确；
对于，，与均为正方体面对角线，故AD，
三角形是等边三角形，
则直线与所成的角为，故C正确；
对于，，

同理，三角形是等边三角形，
直线与所成的角为，故D错误．
故选：．
结合线面垂直、线面平行、异面直线所成角、线线垂直等知识逐一对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题主要考查了线面平行的判定，考查了求异面直线所成的角，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意，，
因此众数是，极差是，
 个数从小到大排列为，，，，，中位数是，
方差为，
故选：．
由平均数定义求得参数，然后再由众数、极差、中位数、方差的定义求解．
本题主要考查了众数、极差、中位数、方差的定义，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题知，不放回地抽取个球包括个都是红球、个都是白球和个红球个白球，共种情况，
所以“取出个红球”和“取出个白球”是互斥事件，但不是对立事件，故A错误；
记个红球分别为，，个白球分别为，，，
不放回地从中取个球的样本空间共种，
记事件为“第次取到红球”，事件为“第次取到红球”，
则，，
所以，故B正确；
有放回地从中取个球的样本空间，共种；
记事件为“取出个红球和个白球”，则，共种，
所以，故C错误；
记事件为“取出个白球”，则，共种；
所以，
所以至少取出个红球的概率为，故D正确．
故选：．
根据对立事件的概念判断选项即可；结合古典概型，列举基本事件，分别求对应的概率即可判断．
本题考查互斥事件、对立事件、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次的试验结果有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个不同结果，
事件所含的结果有：，，，，，，共个，
事件所含的结果有个，事件所含的结果有个，事件所含的结果有：，，，共个，
因此，
对于，事件与都含有，，，，共个结果，即事件与可以同时发生，
而，与不互斥且相互独立，A正确；
对于，事件与都含有，，，，，，，，，，，，共个结果，
即事件与可以同时发生，，与不互斥且相互独立，C正确；
对于，事件与不能同时发生，，与互斥且不相互独立，B正确；
对于，事件与都含有，即与可以同时发生，，
因此与不互斥且不相互独立，D错误．
故选：．
根据给定条件，求出事件，，，的概率，再利用互斥事件、相互独立事件的定义判断作答．
本题考查互斥事件与对立事件的定义，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
数据从小到大第个数为，
故第百分位数为．
故答案为：．
根据已知条件，结合百分位数的求法，即可求解．
本题主要考查百分位数的应用，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为数据，，，，的方差是，
所以，，，的方差为．
故答案为：．
根据方差的性质求解即可．
本题主要考查方差的性质，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意，由甲运动员的投篮命中率为，乙运动员的投篮命中率为，
若甲、乙各投篮一次，则恰有一人命中的概率为．
故答案为：．
根据题意，根据相互独立事件的概率乘法公式，以及互斥事件的概率加法公式，即可求解．
本题考查概率的应用，涉及相互独立事件和互斥事件的概率计算，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：在正方形中，设为正方形的中心，连接，设正四棱锥的外接球的球心，作出图形，如图所示：

则平面，
，底面边长为，
，，
设正四棱锥的外接球的半径为，则，
在中，，即，解得，
该正四棱锥外接球的表面积为，
故答案为：
设为正方形的中心，连接，设正四棱锥的外接球的球心，作出图形，求出，，求出，即可得出答案．
本题考查球的体积与表面积和棱锥的结构特征，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：由题意可知，该几何体为球内部挖去两个相同的圆锥，如图所示：

圆锥的半径为，高为，母线长为，
所以圆锥的表面积，圆锥的体积，
所以该几何体的表面积，
该几何体的体积． 

【解析】由题意可知，该几何体为球内部挖去两个相同的圆锥，求出圆锥的侧面积和体积，进而求出该几何体的表面积和体积．
本题主要考查了求旋转体的表面积和体积，考查了圆锥和球的侧面积和体积公式，属于中档题．
 

18.【答案】证明：连接交于，连接，所以是的中位线，
所以，
又面，面，所以平面；

解：正方体中，平面，
所以． 

【解析】连接交于，连接，即可得到，从而得证；
根据正方体的性质及计算可得三棱锥的体积．
本题主要考查线面平行的证明，锥体体积的计算等知识，属于基础题．
 

19.【答案】证明：由平面，平面，，
又，，
且平面，平面，
平面；
解：连接，

由平面知，是直线与平面所成的角，
中，，
中，，
中，；
中，，
在中，，
即直线与平面所成角的正弦值为． 

【解析】由平面得出，再证平面；
连接，得出是直线与平面所成的角，在直角三角形中计算的值即可．
本题考查了空间中的垂直关系应用问题，也考查了直线与平面所成的角计算问题，是中档题．
 

20.【答案】解：，
；
平均数为，
，，
中位数在第组，设中位数为，则，
解得，
估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为，中位数为；
由频率分布直方图可知，个口罩中一等品、二等品各有个、个，
由分层抽样可知，所抽取的个口罩中一等品有个，
二等品有个，
所以抽取的个口罩中一等品有个，二等品有个． 

【解析】本题考查了频率分布直方图以及根据频率分布直方图求平均数和中位数的方法以及分层抽样，是基础题．
由频率分布直方图中矩形面积之和为求解；
由平均数公式可求得平均数，先确定中位数在第组，设中位数为，得到，再求出即可；
由分层抽样的比例列式求解即可．
 

21.【答案】解：记事件表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件表示“甲在第二轮比赛中胜出”，
事件表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件表示“乙在第二轮比赛中胜出”，
所以表示“甲赢得比赛”，，表示“乙赢得比赛”，，
因为，所以派乙参赛赢得比赛的概率更大；
记表示“甲赢得比赛”，表示“乙赢得比赛”
由知，，
所以表示“两人中至少有一个赢得比赛”，
所以，
所以两人至少一人赢得比赛的概率为． 

【解析】记事件表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件表示“甲在第二轮比赛中胜出”，事件表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件表示“乙在第二轮比赛中胜出”，由表示“甲赢得比赛”，表示“乙赢得比赛”求解即可；
记表示“甲赢得比赛”，表示“乙赢得比赛”由知，，由表示“两人中至少有一个赢得比赛”，且求解即可．
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
 

22.【答案】解：频率分布直方图中所有小矩形的面积和为，
即，得，
的频率为，
的频率为，
中位数为．
打分区间在的同学共有人，分别记为，，
打分区间在的同学共有人，分别记为，，，，
从这人中随机抽出位同学，共有以下种情况：
，，，，，，，，，，，，，，，
其中，至少有一位同学来自打分区间共有种情况，分别为：
，，，，，，，，，，，，，，
所以至少有一位同学来自打分区间的概率为． 

【解析】由频率分布直方图中所有小矩形的面积和为，求出，由此能求出中位数．
打分区间在的同学共有人，分别记为，，打分区间在的同学共有人，分别记为，，，，从这人中随机抽出位同学，利用列举法能求出至少有一位同学来自打分区间的概率．
本题考查中位数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．