2022-2023学年湖北省黄冈市红安县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省黄冈市红安县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列式子计算结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  中，、、的对边分别为、、，下列条件中，不能判断是直角三角形的是(    )

A. ：：：： B.
C. ，， D.

3.  给出下列判断，正确的是(    )

A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D. 有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形．

4.  若，则点在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

5.  如图，在正方形中，为上一点，连接，交对角线于点，连接若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，在平行四边形中，，与相交于，若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点，连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  如果式子有意义，那么的取值范围是        ．

10.  在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形、、的面积依次为、、，则正方形的面积是______ ．

11.  如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点是的中点，连接若，则 ______ ．

12.  实数、在数轴上的位置如图所示，则化简结果为______ ．

13.  某医院入口的正上方处装有红外线激光测温仪如图所示，测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温，当身高米的市民正对门缓慢走到离门米的感应器地方时即米，则人头顶离温仪的距离等于______ 米

14.  如图，在的两边上分别截取，，使；分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接，，，若，四边形的面积为则的长为______．

15.  斐波那契约是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用斐波那契数列中的第个数可以用表示，通过计算求出斐波那契数列中的第个数为______ ．

16.  如图，中，，和都是等边三角形，为的中点，连接交于点，与交于点以下结论：；四边形为菱形；；其中，正确的结论有______填写所有正确结论的序号

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
；
．

18.  本小题分
已知中，、、所对边长分别为、、，请解决下列问题．
若，，，求；
若、、三边满足，试判断的形状．

19.  本小题分
如图，在平行四边形中，，是对角线上两个点，且．
求证：；
若，，求的度数．

20.  本小题分
求值：
已知，试求代数式的值．
先化简，再求值：，其中．

21.  本小题分
“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措如图，某村有一块三角形空地，现计划将这块三角形空地进行新的规划，点是边上的一点，过点作垂直于的小路经测量，米，米，米，米．
求的长；
求小路的长．

22.  本小题分
如图，在矩形中，点是对角线的中点，过点作交于点，交于，连接，．
求证：四边形是菱形；
若，，求的长．

23.  本小题分
如图，和都是等腰直角三角形，．
【猜想】如图，点在上，点在上，线段与的数量关系是______ ，位置关系是______ ；
【探究】：把绕点旋转到如图的位置，连接，，中的结论还成立吗？说明理由：
【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，当，，三点在同一直线上时，则的长是______ ．

 

24.  本小题分
如图，矩形中，点在轴上，点在轴上，点的坐标是．
动点从点出发，沿方向以每秒个单位的地度向点匀速运动：同时动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，设运动时间为，解答下列问题：
当点在线段的垂直平分线上时，求的值；
是否存在某一时到，使≌？若存在，求出的值，并判断此时的度数；
矩形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，折痕与、轴分别交于点、．
求点的坐标；
若点是平面内任一点，在轴上是否存在点，使、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、与不能合并，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、：：：：，，
，
是直角三角形，
故A不符合题意；
B、，，
，
，
是直角三角形，
故B不符合题意；
C、，，
，
不是直角三角形，
故C符合题意；
D、，
，
是直角三角形，
故D不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握各判定定理是解题的关键．
根据平行四边形的判定，矩形、菱形、正方形的判定定理即可得到结论．
【解答】
解：、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，可能是等腰梯形，故不符合题意；
B、对角线相等且平分的四边形是矩形，故不符合题意；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故不符合题意；
D、有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形，故符合题意，
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：由题意得：
且，
解得：且，
，
，
点在第四象限，
故选：．
根据二次根式可得且，从而可得，进而可得，然后根据平面直角坐标系中点的坐标特征，即可解答．
本题考查了二次根式有意义的条件，点的坐标，熟练掌握二次根式是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，，
故选：．
先根据正方形的性质得出，，，结合已知可求出的度数，再证和全等，得出的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出的度数．
本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
根据平行四边形的性质得出，，再由勾股定理确定，利用平行四边形的性质确定，继续利用勾股定理求解即可．
题目主要考查平行四边形的性质及勾股定理解三角形，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，，





，
由图可知：，
，
解得，
故选：．
根据题意和图形可知：，，即可得到的值，然后即可计算出的值．
本题考查勾股定理的证明、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

8.【答案】 

【解析】解：取的中点，连接、、，作于．

四边形是平行四边形，，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
在中，，，
，
，，
，
是边上的动点，
的最小值为的长，
的最小值为．
故选：．
如图，连接，作于首先证明，求出，，利用三角形中位线定理，可知，求出的最小值即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明．
 

9.【答案】且 

【解析】解：根据题意得：，
解得且，
故答案为：且．
根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可．
本题考查的知识点为：分式有意义的条件是分母不等于；二次根式有意义的条件是被开方数大于等于；正确列式是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意：，，

正方形、、的面积依次为、、，
，
．
故答案为：．
根据勾股定理的几何意义：，解得即可．
本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
 

11.【答案】 

【解析】解：在矩形中，，，
点是的中点，点为边的中点，
为的中位线，
．
故答案为：．
根据已知条件可知是的中位线，进而求解．
本题考查矩形的性质，掌握三角形的中位线的性质是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由数轴可得：，，，
，



．
故答案为：．
根据数轴，得出，，，进而得出，然后根据绝对值的意义和二次根式的性质化简即可．
本题考查了数轴、绝对值的意义、二次根式的性质和化简，正确得出，的取值范围是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，

米，米，米，
米，
在中，由勾股定理得到：
米，
故答案为：．
过点作于点，构造，利用勾股定理求得的长度即可．
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段的长度．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据作图方法，可得，
，
，
四边形是菱形．
，四边形的面积为，
，
解得．
故答案为：．
四边形的四条边都相等，则这个四边形是菱形．和是菱形的两条对角线，则菱形的面积．
本题侧重考查尺规作图，掌握四边相等的四边形是菱形、对角线相互垂直的四边形的面积是其两条对角线乘积的一半是解决此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：第个数，当时，




．
故答案为：．
把代入式子化简求得答案即可．
此题考查二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

，为中点，
，
点在的垂直平分线上，
是等边三角形，
，
点在的垂直平分线上，
，故正确；
是等边三角形，是中点，
，
，
四边形不可能是菱形，故不正确；
是等边三角形，
，，
，，
，
，
，
，，
，
是等边三角形，，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，故正确；
，
，
，故正确；
正确的结论有，
故答案为：．
连接，证明点，点在的垂直平分线上，即可判断正确；根据等腰三角形的性质可得，所以，进而可以判断错误；根据等边三角形的性质，证明四边形是平行四边形，进而可以判断正确；根据含度角的直角三角形即可判断正确．
本题考查了菱形的判定、等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和等边三角形的性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：

；



；


． 

【解析】先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；
先根据二次根式的性质，二次根式的乘法法则和平方差公式进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；
先根据完全平方公式，负整数指数幂和零指数幂进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
本题考查了负整数指数幂，平方差公式，零指数幂和二次根式的混合运算等知识点，能正确根据二次根式的运算性质进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
 

18.【答案】解：，  ，
；
是直角三角形，
理由：，
，，，
，，，
，，
，
是直角三角形． 

【解析】根据勾股定理得出即可；
根据非负性得出，，的值，进而利用勾股定理的逆定理解答即可．
此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据利用勾股定理的逆定理解答．
 

19.【答案】证明：四边形为平行四边形，
，，
，
又，
在与中
，
≌
；

由知，≌，则．
．
，
．
． 

【解析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质证明即可；
由中全等三角形的对应角相等推知：，则；然后根据等腰的性质和三角形内角和定理求解即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
 

20.【答案】解：


当，时
原式

；
原式



，
当，时，原式． 

【解析】首先把代数式进行变形，然后再代入、的值，进而可得答案；
首先把分式化简，先算括号里面的减法，再算括号外的除法，化简后，再代入、的值即可．
此题主要考查了二次根式的化简求值，以及分式的混合计算，关键是正确把代数式和分式化简．
 

21.【答案】解：米，米，米，
，
，
，
米，
米；
，
，
米，
故小路的长为米． 

【解析】根据勾股定理的逆定理和勾股定理即可得到结论；
根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题主要考查了勾股定理的应用，以及勾股定理的逆定理，运用等积法求垂线段的长是常用方法，属于常考题型．
 

22.【答案】证明：点是的中点，，
是的垂直平分线，
，，，
四边形是矩形，
，
．
在和中，
，
≌，
，
，
四边形为菱形．
解：设，
则，
四边形是矩形，
．
在中，由勾股定理得，
，
．
在中，由勾股定理得，，
即，
解得，
即．
在中，由勾股定理得，
，
． 

【解析】根据线段垂直平分线的性质，可得，，，然后由四边形是矩形，易证得≌，则可得，继而证得结论；
由勾股定理可求，的长，由直角三角形的性质可求解，然后利用，求得，进而得到．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，证得≌是关键．
 

23.【答案】   或 

【解析】解：和都是等腰直角三角形，
，，
，
，
点在上，点在上，且，
，
故答案为：，；
成立；
理由：如图，与交于，与交于，
由题意可知：，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
又，，
在中，
，
，
，
所以结论成立；

当点在线段上时，如图，过点作于，

是等腰直角三角形，且，
，
，
，
在中，，
，
；
当点在线段上时，如图，过点作于，

是等腰直角三角形，且，
，
，
，
在中，，
，
；
综上，的长为或，
故答案为：或．
利用等腰直角三角形的性质得出，，再作差，得出，再用，即可得出结论；
先由旋转的性质得出，进而判断出≌，得出，，与交于，与交于，利用全等的性质和对顶角相等进而得出，即可得出结论；
分两种情况，当点在线段上时，如图，过点作于，求出，再用勾股定理求出，利用线段的加减即可得出结论；
当点在线段上时，如图，过点作于，求出，再由勾股定理求出根据勾股定理得，，利用线段的加减即可得出结论．
此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．
 

24.【答案】解：由题意得，，
．
点在线段的垂直平分线上，
，
即，
；
存在某一时刻，使≌，
≌，，
，，，
，
．
，
，
；
四边形是矩形，点的坐标是．
，，，
；
由折叠的性质得：，，，
，，
设，则，，
在中，由勾股定理得：
，
即，
解得：，
；
存在，
设，
分情况讨论，
当和为菱形的边时，
，
即，
，
的坐标为，，
当为菱形对角线时，
过点向轴作垂线交轴于点，取中点，根据菱形的性质，连接，则，

，，
∽，
，
，
，
为菱形对角线，
，
，
当为菱形的对角线时，
，
∽，
，
，
，
综上，点的坐标为或或 或． 

【解析】由题意得，，点在线段的垂直平分线上，，，进而求出；
存在某一时刻，使≌，，，，，，；
四边形是矩形，点的坐标是，，，，由折叠的性质得：，，，，，设，则，，在中，由勾股定理得：，进而求出；
存在，设，分情况讨论，当和为菱形的边时，，当为菱形对角线时，∽，，，，为菱形对角线，，当为菱形的对角线时，，∽，，．
本题考查矩形的性质，动点，三角形全等，菱形的性质综合问题，解题的关键是分类讨论思想的运用．