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2024届高考数学一轮总复习第九章计数原理概率随机变量及其分布第四讲随机事件与概率课件
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这是一份2024届高考数学一轮总复习第九章计数原理概率随机变量及其分布第四讲随机事件与概率课件，共44页。PPT课件主要包含了答案A，答案AB，＝－100，答案C，答案D，答案09等内容，欢迎下载使用。
(1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数，称
(2)对于给定的随机事件 A，由于事件 A 发生的频率 fn(A)随着试验次数的增加会逐渐稳定于概率 P(A)，因此可以用频率 fn(A)来估计概率 P(A).
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(Ω)＝1.(3)不可能事件的概率P(∅)＝0.(4)互斥事件的概率如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B).(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B).
(6)如果 A⊆B，那么 P(A)≤P(B).
(7)设 A，B 是一个随机试验中的两个事件，则有 P(A∪B)＝
P(A) ＋P(B)－P(A∩B).
【名师点睛】概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋
(1)为方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件
(2)当随机事件 A，B 互斥时，不一定对立；当随机事件 A，B对立时，一定互斥.也即两事件互斥是对立的必要不充分条件.(3)随机事件 A 发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中，事件 A 发生的频率逐渐稳定于事件 A 发生的概率.
考点一 随机事件的关系1.在 5 张电话卡中，有 3 张 A 卡和 2 张 B 卡，从中任取 2 张，
若事件“2 张全是 A 卡”的概率是
A.至多有一张 A 卡C.都不是 A 卡
B.恰有一张 A 卡D.至少有一张 A 卡
2.(多选题)下列说法正确的是(
A.对立事件一定是互斥事件B.若 A，B 为两个互斥事件，则 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)C.若事件 A，B，C 两两互斥，则 P(A)＋P(B)＋P(C)＝1D.若事件 A，B 满足 P(A)＋P(B)＝1，则 A，B 互为对立事件
解析：由互斥事件与对立事件的定义可知 A 正确；只有当事件 A，B 为两个互斥事件时有 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，故 B 正确；只有事件 A，B，C 两两互斥，且 A∪B∪C＝Ω时，才有 P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，故 C 不正确；由对立事件的定义可知，事件 A，B 满足 P(A)＋P(B)＝1 且 A∩B＝∅时，A，B 才互为对立事件，故 D不正确.故选 AB.
3.设条件甲：“事件 A 与事件 B 是对立事件”，条件乙：“概
率满足 P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的(A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析：若事件 A 与事件 B 是对立事件，则 A∪B 为必然事件，再由概率的加法公式得 P(A)＋P(B)＝1；投掷一枚硬币 3 次，满足P(A)＋P(B)＝1，但 A，B 不一定是对立事件，例如，事件A为“至
【题后反思】(1)准确把握互斥事件与对立事件的概念：①互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生.
(2)一般用定义判断互斥事件、对立事件，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.
考点二 随机事件的频率与概率
[例 1]电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到
好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的
(1)从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获
得好评的第四类电影的概率；
(2)随机选取 1 部电影，求这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化.那么哪类电影的好评率增加 0.1，哪类电影的好评率减少 0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)
解：(1)由题意知，样本中电影的总部数是 140＋50＋300＋200
＋800＋510＝2 000，
第四类电影中获得好评的电影部数是 200×0.25＝50.
(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是
140×0.4 ＋ 50×0.2 ＋ 300×0.15 ＋ 200×0.25 ＋ 800×0.2＋
510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372.
(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率.
【题后反思】(1)概率与频率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.
(2)随机事件概率的求法
利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率.
注意：概率的定义是求一个事件概率的基本方法.
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于 25 ℃，需求量为 500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20 ℃，需求量为 200 瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率.
解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶，当且仅当最高气温低于 25 ℃，由表中数据可知，最高气温低于 25 ℃的频率为
所以这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率的估计值为
(2)当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，
若最高气温低于 20 ℃，则 Y＝200×6＋(450－200)×2－450×
若最高气温位于区间[20，25)，则 Y＝300×6＋(450－300)×
2－450×4＝300；
若最高气温不低于 25 ℃，则 Y＝450×(6－4)＝900，
所以利润 Y 的所有可能值为－100，300，900.当最高气温不低于 20 ℃时，Y 大于零，由表格数据知，最高
36＋25＋7＋490
＝0.8.因此 Y 大于零的概
气温不低于 20 ℃的频率为率的估计值为 0.8.
考点三 互斥事件、对立事件的概率
[例 2](1)某商场有奖销售中，购满 100 元商品得 1 张奖券，多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等奖 10个，二等奖 50 个.设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A、B、C.求：
①P(A)，P(B)，P(C)；②1 张奖券的中奖概率；
③1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
A.2 个都是正品B.恰有 1 个是正品C.至少有 1 个正品D.至多有 1 个正品
【题后反思】求复杂的互斥事件的概率的方法
(1)直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事
件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算.
(2)间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式 P(A)
＝1－P( )，即运用逆向思维(正难则反).特别是“至多”“至少”
型题目，用间接求法更为简便.
【变式训练】1.(2021 年南城县月考)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件 B＝{抽到二等品}，事件 C＝{抽到三等品}，且已知 P(A)＝0.7，P(B)＝0.15，P(C)＝0.1，则事件“抽到的
不是一等品”的概率为(
解析：事件“抽到的不是一等品”与事件“抽到一等品”互
为对立事件，所以事件“抽到的不是一等品”的概率 P( )＝1－
P(A)＝1－0.7＝0.3.故选 D.
2.(2021年黄山市期末)已知三个事件 A，B，C 两两互斥且P(A)
＝0.3，P( )＝0.6，P(C)＝0.2，则 P(A∪B∪C)＝________.解析：三个事件 A，B，C 两两互斥，因为 P( )＝0.6，所以
P(B)＝1－0.6＝0.4，则 P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.3＋0.4＋0.2＝0.9.
⊙用“正难则反”的思想求对立事件的概率
[例 3](1)(2021 年湖州市期末改编)现有 5 个不同编号的小球，其中黑色球 2 个，白色球 2 个，红色球 1 个，若将其随机排成一列，则相同颜色的球都不相邻的概率是________.
(2)(2021 年洛阳市模拟)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等
候的人数及相应的概率如下：
①至多 2 人排队等候的概率是多少？②至少 3 人排队等候的概率是多少？
解：记“无人排队等候”为事件 A，“1 人排队等候”为事件B，“2 人排队等候”为事件 C，“3 人排队等候”为事件 D，“4人排队等候”为事件 E，“5 人及 5 人以上排队等候”为事件 F，则事件 A，B，C，D，E，F 互斥.
①记“至多 2 人排队等候”为事件 G，则 G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.②记“至少 3 人排队等候”为事件 H，则其对立事件为事件
G，所以 P(H)＝1－P(G)＝0.44.
【反思感悟】“正难则反”的思想是一种常见的数学思想，如反证法、补集的思想都是“正难则反”思想的体现.在解决问题时，如果从问题的正面入手比较复杂或不易解决，那么尝试采用“正难则反”思想往往会起到事半功倍的效果，大大降低题目的难度.在求对立事件的概率时，经常应用“正难则反”的思想，即若事件 A 与事件 B 互为对立事件，在求 P(A)或 P(B)时，利用公式P(A)＝1－P(B)先求容易的一个，再求另一个.
1.某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，数据如下表所示.
已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%.(1)确定 x，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率.(将
解：(1)由已知得 25＋y＋10＝55，x＋30＝45，
所以 x＝15，y＝ 20.则顾客一次购物的结算时间的平均值的
2.一盒中装有 12 个球，其中 5 个红球，4 个黑球，2 个白球，
1 个绿球.从中随机取出 1 球，求：(1)取出 1 球是红球或黑球的概率；
(2)取出 1 球是红球或黑球或白球的概率.
(1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数，称
(2)对于给定的随机事件 A，由于事件 A 发生的频率 fn(A)随着试验次数的增加会逐渐稳定于概率 P(A)，因此可以用频率 fn(A)来估计概率 P(A).
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(Ω)＝1.(3)不可能事件的概率P(∅)＝0.(4)互斥事件的概率如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B).(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B).
(6)如果 A⊆B，那么 P(A)≤P(B).
(7)设 A，B 是一个随机试验中的两个事件，则有 P(A∪B)＝
P(A) ＋P(B)－P(A∩B).
【名师点睛】概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋
(1)为方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件
(2)当随机事件 A，B 互斥时，不一定对立；当随机事件 A，B对立时，一定互斥.也即两事件互斥是对立的必要不充分条件.(3)随机事件 A 发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中，事件 A 发生的频率逐渐稳定于事件 A 发生的概率.
考点一 随机事件的关系1.在 5 张电话卡中，有 3 张 A 卡和 2 张 B 卡，从中任取 2 张，
若事件“2 张全是 A 卡”的概率是
A.至多有一张 A 卡C.都不是 A 卡
B.恰有一张 A 卡D.至少有一张 A 卡
2.(多选题)下列说法正确的是(
A.对立事件一定是互斥事件B.若 A，B 为两个互斥事件，则 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)C.若事件 A，B，C 两两互斥，则 P(A)＋P(B)＋P(C)＝1D.若事件 A，B 满足 P(A)＋P(B)＝1，则 A，B 互为对立事件
解析：由互斥事件与对立事件的定义可知 A 正确；只有当事件 A，B 为两个互斥事件时有 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，故 B 正确；只有事件 A，B，C 两两互斥，且 A∪B∪C＝Ω时，才有 P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，故 C 不正确；由对立事件的定义可知，事件 A，B 满足 P(A)＋P(B)＝1 且 A∩B＝∅时，A，B 才互为对立事件，故 D不正确.故选 AB.
3.设条件甲：“事件 A 与事件 B 是对立事件”，条件乙：“概
率满足 P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的(A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析：若事件 A 与事件 B 是对立事件，则 A∪B 为必然事件，再由概率的加法公式得 P(A)＋P(B)＝1；投掷一枚硬币 3 次，满足P(A)＋P(B)＝1，但 A，B 不一定是对立事件，例如，事件A为“至
【题后反思】(1)准确把握互斥事件与对立事件的概念：①互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生.
(2)一般用定义判断互斥事件、对立事件，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.
考点二 随机事件的频率与概率
[例 1]电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到
好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的
(1)从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获
得好评的第四类电影的概率；
(2)随机选取 1 部电影，求这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化.那么哪类电影的好评率增加 0.1，哪类电影的好评率减少 0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)
解：(1)由题意知，样本中电影的总部数是 140＋50＋300＋200
＋800＋510＝2 000，
第四类电影中获得好评的电影部数是 200×0.25＝50.
(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是
140×0.4 ＋ 50×0.2 ＋ 300×0.15 ＋ 200×0.25 ＋ 800×0.2＋
510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372.
(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率.
【题后反思】(1)概率与频率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.
(2)随机事件概率的求法
利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率.
注意：概率的定义是求一个事件概率的基本方法.
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于 25 ℃，需求量为 500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20 ℃，需求量为 200 瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率.
解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶，当且仅当最高气温低于 25 ℃，由表中数据可知，最高气温低于 25 ℃的频率为
所以这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率的估计值为
(2)当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，
若最高气温低于 20 ℃，则 Y＝200×6＋(450－200)×2－450×
若最高气温位于区间[20，25)，则 Y＝300×6＋(450－300)×
2－450×4＝300；
若最高气温不低于 25 ℃，则 Y＝450×(6－4)＝900，
所以利润 Y 的所有可能值为－100，300，900.当最高气温不低于 20 ℃时，Y 大于零，由表格数据知，最高
36＋25＋7＋490
＝0.8.因此 Y 大于零的概
气温不低于 20 ℃的频率为率的估计值为 0.8.
考点三 互斥事件、对立事件的概率
[例 2](1)某商场有奖销售中，购满 100 元商品得 1 张奖券，多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等奖 10个，二等奖 50 个.设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A、B、C.求：
①P(A)，P(B)，P(C)；②1 张奖券的中奖概率；
③1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
A.2 个都是正品B.恰有 1 个是正品C.至少有 1 个正品D.至多有 1 个正品
【题后反思】求复杂的互斥事件的概率的方法
(1)直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事
件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算.
(2)间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式 P(A)
＝1－P( )，即运用逆向思维(正难则反).特别是“至多”“至少”
型题目，用间接求法更为简便.
【变式训练】1.(2021 年南城县月考)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件 B＝{抽到二等品}，事件 C＝{抽到三等品}，且已知 P(A)＝0.7，P(B)＝0.15，P(C)＝0.1，则事件“抽到的
不是一等品”的概率为(
解析：事件“抽到的不是一等品”与事件“抽到一等品”互
为对立事件，所以事件“抽到的不是一等品”的概率 P( )＝1－
P(A)＝1－0.7＝0.3.故选 D.
2.(2021年黄山市期末)已知三个事件 A，B，C 两两互斥且P(A)
＝0.3，P( )＝0.6，P(C)＝0.2，则 P(A∪B∪C)＝________.解析：三个事件 A，B，C 两两互斥，因为 P( )＝0.6，所以
P(B)＝1－0.6＝0.4，则 P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.3＋0.4＋0.2＝0.9.
⊙用“正难则反”的思想求对立事件的概率
[例 3](1)(2021 年湖州市期末改编)现有 5 个不同编号的小球，其中黑色球 2 个，白色球 2 个，红色球 1 个，若将其随机排成一列，则相同颜色的球都不相邻的概率是________.
(2)(2021 年洛阳市模拟)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等
候的人数及相应的概率如下：
①至多 2 人排队等候的概率是多少？②至少 3 人排队等候的概率是多少？
解：记“无人排队等候”为事件 A，“1 人排队等候”为事件B，“2 人排队等候”为事件 C，“3 人排队等候”为事件 D，“4人排队等候”为事件 E，“5 人及 5 人以上排队等候”为事件 F，则事件 A，B，C，D，E，F 互斥.
①记“至多 2 人排队等候”为事件 G，则 G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.②记“至少 3 人排队等候”为事件 H，则其对立事件为事件
G，所以 P(H)＝1－P(G)＝0.44.
【反思感悟】“正难则反”的思想是一种常见的数学思想，如反证法、补集的思想都是“正难则反”思想的体现.在解决问题时，如果从问题的正面入手比较复杂或不易解决，那么尝试采用“正难则反”思想往往会起到事半功倍的效果，大大降低题目的难度.在求对立事件的概率时，经常应用“正难则反”的思想，即若事件 A 与事件 B 互为对立事件，在求 P(A)或 P(B)时，利用公式P(A)＝1－P(B)先求容易的一个，再求另一个.
1.某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，数据如下表所示.
已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%.(1)确定 x，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率.(将
解：(1)由已知得 25＋y＋10＝55，x＋30＝45，
所以 x＝15，y＝ 20.则顾客一次购物的结算时间的平均值的
2.一盒中装有 12 个球，其中 5 个红球，4 个黑球，2 个白球，
1 个绿球.从中随机取出 1 球，求：(1)取出 1 球是红球或黑球的概率；
(2)取出 1 球是红球或黑球或白球的概率.
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