2024届高考数学一轮总复习专题一高考中的导数应用问题第3课时利用导数研究函数的零点课件

这是一份2024届高考数学一轮总复习专题一高考中的导数应用问题第3课时利用导数研究函数的零点课件，共34页。PPT课件主要包含了图2-1，反思感悟，互动探究，x＋1，图D17，调递减区间，个交点等内容，欢迎下载使用。

函数的零点问题综合了函数、方程、不等式等多方面的知识，考查转化与化归、数形结合及函数与方程等数学思想.函数的零点问题常与其他知识相结合综合出题，解题难度较大，判断零点存在性及零点个数是考查的一个热点.
题型一 数形结合法研究函数的零点
令 f′(x)＝0，得 x＝e.
当 x∈(0，e)时，f′(x)<0；
当 x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，∴当 x＝e 时，f(x)取得极小值 f(e)＝2.
则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1).
当 x∈(0，1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0，1)上单调递增；当 x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减.
∴x＝1 是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此 x＝1 也是
结合 y＝φ(x)的图象(如图 2-1)，可知：
含参数的函数的零点个数，可转化为方程解的个数.若能分离参数，可将参数分离出来后，用 x 表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围.
解：(1)当 a＝4时，g(x)＝(－x2＋4x－3)ex，g′(x)＝ex(－x2＋
∴g′(1)＝2e，又 g(1)＝0，
∴切线的斜率为 2e，切点为(1，0).∴所求的切线方程为 y－0＝2e(x－1)，即 y＝2e(x－1).
题型二 函数性质法研究函数的零点
[例 2]已知函数 f(x)＝x sin x＋cs x，g(x)＝x2＋4.(1)讨论 f(x)在[－π，π]上的单调性；
(2)令 h(x)＝g(x)－4f(x)，试证明 h(x)在 R 上有且仅有三个零点.
(2)证明：h(x)＝x2＋4－4x sin x－4cs x，∵h(－x)＝x2＋4－4x sin x－4cs x＝h(x)，∴h(x)为偶函数.
又∵h(0)＝0，∴x＝0 为函数 h(x)的零点.下面讨论 h(x)在(0，＋∞)上的零点个数：h(x)＝x2＋4－4x sin x－4cs x＝x(x－4sin x)＋4(1－cs x).
当 x∈[4，＋∞)时，x－4sin x>0，4(1－cs x)≥0，
又 h(0)＝0，且 h(4)＝20－16sin 4－4cs 4>0，
综上，h(x)在(0，＋∞)上有唯一零点，又 h(0)＝0 且 h(x)为偶函数，故 h(x)在 R 上有且仅有三个零点.
利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件.
【互动探究】2.已知函数 f(x)＝ex－ax－1(a∈R)(e 是自然对数的底数).(1)求 f(x)的单调区间；
解：(1)因为 f(x)＝ex－ax－1，所以 f′(x)＝ex－a，
当 a≤0 时，f′(x)>0 恒成立，所以 f(x)的单调递增区间为(－∞，
＋∞)，无单调递减区间；
当 a>0 时，令 f′(x)<0，得 x0，得 x>ln a，
所以 f(x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，单调递增区间为(ln a，
综上，当 a≤0 时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单
当 a>0 时，f(x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，单调递增区间
为(ln a，＋∞).
由(1)知，当 a≤0 时，f(x)在 R 上单调递增；当 a>0 时，f(x)
在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增.
①若 a≤0，由 f(0)＝0，知 f(x)在区间[0，1]上有一个零点；②若 a>0 且 ln a≤0，即 0所以 f(x)在[0，1]上有一个零点；
③若 0(ln a，1)上单调递增，
又 f(1)＝e－a－1，所以当 e－a－1≥0，即 1在[0，1]上有两个零点，
当 e－a－1<0，即 e－1题型三 构造函数法求函数的零点
(1)求函数 f(x)的单调区间；
(2)当 m≥1 时，讨论 f(x)与 g(x)图象的交点个数.
②当 m>1 时，0m 时，F′(x)<0，10，所以函数 F(x)在(0，1)和(m，＋∞)上单调递减，在(1，m)上
以 F(x)有唯一零点.
综上，函数 F(x)有唯一零点，即函数 f(x)与 g(x)的图象总有一
(1)涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点.根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与 0 的关系，从而求得参数的取值范围.(2)解决此类问题的关键是构造函数 F(x)将函数零点(方程的根)、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法.
(1)当 a＝2 时，求 f(x)的单调区间；
(2)若曲线 y＝f(x)与直线 y＝1 有且仅有两个交点，求 a 的取值