高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数导学案

第四章  指数函数与对数函数

4.4.1 对数函数的概念

1.理解对数函数的概念；

2.会求对数函数的定义域．

重点：理解对数函数的概念

难点：会求对数函数的定义域．

                                      对数函数的概念

       函数y＝lo____x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．

1、问题探究

问题1　当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？

设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么，死亡１年后，生物体内碳１４含量为（1-p)1；

死亡２年后，生物体内碳１４含量为（1-p)2 ；

死亡３年后，生物体内碳１４含量为（1-p)3 ；

……

死亡５７３０年后，生物体内碳１４含量为（1-p)5730 ．

根据已知条件， （1-p)5730＝,从而1-p=,所以p=1-．

设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳１４含量为y，那么y=（1-p)x ，

即, （x∈[０，＋∞））．

这也是一个函数，指数x是自变量．死亡生物体内碳１４含量每年都以1-减率衰减．像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减．因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减．

在上述问题中，我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的问题．对这样的问题，在引入对数后，我们还可以从另外的角度，对其蕴含的规律作进一步的研究．

    在问题中，我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量y随死亡时间

x的变化而衰减的规律．反过来，已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡

了多长时间呢？进一步地，死亡时间x是碳14的含量y的函数吗？

2、概念建构

根据指数与对数的关系，由（x≥０）得到

如图过y轴正半轴上任意一点（0，）（ ≤１）

作x轴的平行线，与（x≥０）

的图象有且只有一个交点（，）．

这就说明，对于任意一个y∈（０，１］，

通过对应关系，在［０，＋∞）上

都有唯一确定的数x和它对应，所以x也是y的函数．

也就是说，函数

刻画了时间x随碳14含量y的衰减而变化的规律．

同样地，根据指数与对数的关系，由（ ＞０，且≠１）

可以得到（ ＞０，且≠１）,x也是y的函数．

通常，我们用x表示自变量，表y示函数．为此，将（ ＞０，且≠１）中的字母x和y对调，写成yx（ ＞０，且≠１）．

                                      对数函数的概念

       函数y＝lo____x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．

3、典例解析

题型1   对数函数的概念及应用

例1　(1)下列给出的函数：①y＝log5x＋1；

②y＝logax2(a>0，且a≠1)；③y＝log(－1)x；

④y＝log3x；⑤y＝logx(x>0，且x≠1)；

⑥y＝logx.其中是对数函数的为(　　)

A．③④⑤　　　　　　　 B．②④⑥

C．①③⑤⑥   D．③⑥

(2)若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________.

 (3)已知对数函数的图象过点(16,4)，则f ＝________.

跟踪训练1．若函数f(x)＝(a2＋a－5)logax是对数函数，则a＝________.

题型2   对数函数的定义域

例2 求下列函数的定义域．

(1)f(x)＝；

(2)f(x)＝＋ln(x＋1)；

(3)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8).

跟踪训练2．求下列函数的定义域：

(1)f(x)＝lg(x－2)＋；   (2)f(x)＝logx＋1(16－4x)．

题型3   对数函数的应用

例3　假设某地初始物价为１，每年以５％的增长率递增，经过y年后的物价为x．

（１）该地的物价经过几年后会翻一番？

（２）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律．

1．下列函数是对数函数的是(　　)

A．y＝2＋log3x                         B．y＝loga(2a)(a>0，且a≠1)

C．y＝logax2(a>0，且a≠1)               D．y＝ln x

2．函数f(x)＝＋lg(5－3x)的定义域是(　　)

A.　　　　　　　　B.        C.           D.

3．已知f(x)＝log3x.

(1)作出这个函数的图象；   (2)若f(a)<f(2)，利用图象求a的取值范围.

1.对数函数的概念。

2.求对数函数的定义域及对数函数的应用。

参考答案：

二、学习过程

典例1(1)D　(2)4　(3)－1　

[(1)由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选D.

(2)因为函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，

所以解得a＝4.

(3)设对数函数为f(x)＝logax(a>0且a≠1)，由f(16)＝4可知loga16＝4，∴a＝2，

∴f(x)＝log2x，∴f ＝log2＝－1.]

跟踪训练1答案：2　

[由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2.又a>0且a≠1，所以a＝2.]

例2.[解]　(1)要使函数f(x)有意义，则logx＋1>0，即logx>－1，

解得0<x<2，即函数f(x)的定义域为(0,2)．

(2)函数式若有意义，需满足即

解得－1<x<2，故函数的定义域为(－1,2)．

(3)由题意得解得

故函数y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为.

跟踪训练2[解]　(1)要使函数有意义，需满足

解得x>2且x≠3，

所以函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．

(2)要使函数有意义，需满足

解得－1<x<0或0<x<4，

所以函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．

例3解：（１）由题意可知，经过y年后物价x为

，即（ ∈［０，＋∞））．

由对数与指数间的关系，可得y= ∈［１，＋∞）．

由计算工具可得，当＝２时，≈１４．

所以，该地区的物价大约经过１４年后会翻一番．

（２）根据函数y= ∈［１，＋∞）．利用计算工具，可得下表：

由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，

但大约每增加１倍所需要的时间在逐渐缩小．

三、达标检测

1.【答案】D　[结合对数函数的形式y＝logax(a>0且a≠1)可知D正确．]

2.【答案】C　[由得即1≤x<.]

3.【答案】(1)作出函数y＝log3x的图象如图所示．

(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2.

由图象知：当0<a<2时，恒有f(a)<f(2)．

所以所求a的取值范围为0<a<2.