初中数学北师大版九年级上册第二章 一元二次方程6 应用一元二次方程第1课时教案

教学目标

1.掌握列一元二次方程解决几何问题、行程问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性.

2.理解将一些实际问题抽象为方程模型的过程，形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、分析问题，并能运用所学的知识解决问题.  

教学重难点

重点：学会用列方程的方法解决有关形积（行程）问题.

难点：如何找出图形的面积、体积问题及行程问题中的等量关系.

教学过程

导入新课

问题1：如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m.梯子顶端下滑1 m时，梯子底端滑动的距离大于1 m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？

(1)                  (2)

解:设梯子顶端下滑x m时，梯子底端滑动的距离与顶端下滑的距离相等.由题意得：

，

解得x1＝0(不符合题意,舍去)，x2＝2，

所以梯子顶端下滑2 m时，梯子底端滑动的距离与顶端下滑的距离相等.

问题2：如果梯子长度是13 m，梯子顶端与地面的垂直距离为12 m,那么梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？

解：假设梯子顶端下滑x m时，梯子底端滑动的距离与梯子顶端下滑的距离

相等.

则，

解得x1＝0(不符合题意,舍去)，x2＝7，

所以梯子顶端下滑7 m时，梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离相等.

探究新知

一、知识讲解

1.面积问题与一元二次方程

例1 要对一块长60 m，宽40 m的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化.设计方案

如图所示，矩形P，Q为两块绿地，其余为硬化路面，P，Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的，求P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽.

解：设P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽为x m.

根据题意，得(60－3x)·(40－2x)＝60×40×，

解得x1＝10，x2＝30.

检验：如果硬化路面的宽为30 m，那么2×30＝60＞40，所以x2＝30不符合题意，舍去，故x＝10.

故P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽为10 m.

2.行程问题与一元二次方程

例2如图,某海军基地位于A处,在其正南方向200 n mile处有一重要目标B,在B的正东方向200 n mile处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC的中点.一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰.

已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里？(结果精确到0.1 n mile)

解：连接DF.∵ AD＝CD , BF＝CF,

∴ DF是△ABC的中位线.

∴ DF∥AB，且DF＝AB.

∵ AB⊥BC,AB＝BC＝200 n mile,

∴ DF⊥BC,DF＝100 n mile，BF＝100 n mile.

设相遇时补给船航行了x n mile,那么

DE＝x n mile,AB+ BE＝2x n mile,

EF ＝ AB + BF - (AB + BE) ＝ (300 - 2x)n mile.

在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程

x2 ＝ 1002+(300-2x)2，

整理，得3x2-1 200x +100 000 ＝ 0.

解这个方程，得，（不合题意，舍去）.

所以，相遇时补给船大约航行了118.4 n mile.

二、练习巩固，拓展提高

1.从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条,剩下的面积是48 m2,则原来这块木板的面积是( Ｂ )

A.100 m2　　　　B.64 m2　　　　C.121 m2　　　　D.144 m2

解析：设原正方形的边长是x m,根据题意可得x(x-2)＝48,解得x1＝8,x2＝-6(不合题意,舍去),所以原来这块木板的面积是64 m2.故选B.

2.一块矩形菜地的面积是120 m2,如果它的长减少2 m,那么菜地就变成正方形,则原菜地的长是  12  m. 

解析:设矩形菜地的长为x m,则宽为(x-2)m,由题意得x(x-2)＝120,解得x1＝12,x2＝-10(舍去),故原菜地的长为12 m.

3.如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，AD＝6 cm，P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B运动，一直到达点B为止，点Q以2 cm/s的速度向点D运动，点P停止运动时点Q也停止运动.

(1)P，Q两点从出发开始几秒时，四边形PBCQ的面积为33 cm2?

(2)P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离第一次是10 cm?

解：(1)设P，Q两点从出发开始x s时，四边形PBCQ的面积为33 cm2，根据题意得PB＝AB－AP＝(16－3x) cm，CQ＝2x cm.

故(2x＋16－3x)×6＝33，解得x＝5.

故P，Q两点从出发开始5 s时，四边形PBCQ的面积为33 cm2.

(2)设P，Q两点从出发开始y s时，点P和点Q的距离第一次是10 cm.

如图，过Q点作QM⊥AB于点M，则BM＝CQ＝2y cm，故PM＝(16－5y) cm.

在Rt△PMQ中，PM 2＋MQ2＝PQ2，

∴ (16－5y)2＋62＝102.解得y1＝，y2＝.

∵ 所求的是第一次满足条件的时间，∴ y＝.

故P，Q两点从出发开始 s时，点P和点Q的距离第一次是10 cm.

课堂练习

1.在矩形ABCD中,AB＝6 cm,BC＝12 cm,点P从点A开始以1 cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以2 cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果点P，Q分别从点A，B同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8 cm2？

2.等腰直角△ABC中,AB＝BC＝8 cm,动点P从A点出发,沿AB向B移动,通过点P引平行于BC,AC的直线与AC,BC分别交于点R，Q.当AP等于多少厘米时,平行四边形PQCR的面积等于16 cm2?

3.如图所示,一根木棍OE垂直平分柱子AB,AB＝200 cm,OE＝260 cm,一只老鼠C由柱子底端A点以2 cm/s的速度向顶端B点爬行,同时,另一只老鼠D由O点以3 cm/s的速度沿木棍OE爬行.问:是否存在这样的时刻,使两只老鼠与O点组成的三角形的面积为1 800 cm2?

参考答案

1.解：设x s后△PBQ的面积等于8 cm2.

根据题意，得，

整理，得x2-6x+8＝0，

解这个方程，得x1＝2,x2＝4，

所以2 s或4 s后△PBQ的面积等于8 cm2..

2.解：设AP＝x cm，则PR＝x cm，PB＝（8-x）cm，

根据题意得x(8-x)＝16，

整理得x2-8x+16＝0，

解这个方程得x1＝x2＝4..

答：当AP＝4 cm时，平行四边形PQCR的面积为16 cm2.

3.解：存在.理由如下:

(1)当老鼠C在AO上运动时,设两只老鼠同时爬行经过x s,两只老鼠与O点组成的△COD的面积为1 800 cm2,即S△OCD＝1 800 cm2，

则AC＝2x cm,OC＝(100-2x) cm,OD＝3x cm.

由S△OCD＝OC·OD,得(100-2x)·3x＝1 800,

整理,得x2-50x+600＝0.解得x1＝20,x2＝30.

(2)当老鼠C在OB上运动时,设两只老鼠同时爬行经过y s,两只老鼠与O点组成的△C′OD′的面积为1 800 cm2,即＝1 800 cm2.

则AC′＝2y cm,OC′＝(2y-100) cm,OD′＝3y cm.

由 ＝OC′·OD′,得(2y-100)·3y＝1 800.

整理,得y2-50y-600＝0,解得y1＝60,y2＝-10(舍去),

综合以上两种情况,在20 s,30 s或60 s时,两只老鼠C,D与O点组成的三角形的面积为1 800 cm2.

课堂小结

(学生总结，老师点评)

列一元二次方程解应用题的一般步骤：

(1)“设”，即设未知数，设未知数的方法有直接设未知数和间接设未知数两种；

(2)“列”，即根据题中的等量关系列方程；

(3)“解”，即求出所列方程的根；

(4)“验”，即验证是否符合题意；

(5)“答”，即回答题目中要解决的问题.

布置作业

课本习题2.9

板书设计

6　应用一元二次方程

第1课时　几何（行程）问题

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