第21章 一元二次方程 师大版九年级数学上册小结与复习教案

第21章一元二次方程小结与复习

一、教学目标

(一)知识与技能：1.灵活运用开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元-二次方程；2.运用一元二次方程解决简单的实际问题.

(二)过程与方法：1.经历运用知识，技能解决问题的过程，发展学生的独立思考能力和创新精神；2.了解数学解题中的方程思想、转化思想、分类讨论思想和整体思想.

(三)情感态度与价值观：培养学生对数学的求知欲，养成质疑和独立思考的学习习惯.

二、教学重点、难点

重点：根据一元二次方程的特征，灵活选用解法，以及应用一元二次方程知识解决实际问题.

难点：灵活选用恰当方法解一元二次方程以及列方程.

三、教学过程

知识梳理

一、一元二次方程的基本概念
1.定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
2.一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)

3.项数和系数：二次项：ax2  二次项系数：a  一次项：bx  一次项系数：b  常数项：c
4.注意事项：(1)含有一个未知数；(2)未知数的最高次数为2；(3)二次项系数不为0；(4)整式方程.

二、一元二次方程的根与系数的关系
已知x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的两根. 则有：，.注意：(1)不是一般式的，要化成一般式；(2)在方程有实数根的条件下应用，即b2-4ac≥0；(3)在使用时，注意“-”不要漏写.

三、解一元二次方程的方法
各种一元二次方程的解法及使用类型

四、一元二次方程的应用
列方程解应用题的一般步骤：
审：审清题意，分清题中的已知量、未知量.
设：设未知数，设其中某个未知量为x.
列：根据题意寻找等量关系列方程.
解：解方程.
验：检验方程的解是否符合题意.
答：写出答案(包括单位).

考点讲练

考点一  一元二次方程的定义

例1 若关于x的方程(m－1)x2＋mx－1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是(    )
  A.m≠1   B.m＝1  C.m≥1  D.m≠0

针对训练

1.方程5x2－x－3＝x2－3＋x的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____.
2.当k_____时，关于x的方程是一元二次方程.

考点二  一元二次方程的根的应用

例2 若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋m2－1＝0有一个根为0，则m＝____.

针对训练

3.一元二次方程x2＋px－3＝0的一个根为3，则p的值为_____.

考点三  一元二次方程的解法

例3 (1)用配方法解方程x2－2x－5＝0时，应变为(    )
  A.(x－1)2＝6     B.(x＋2)2＝9     C.(x＋1)2＝6     D.(x－2)2＝9
(2)某三角形两边长分别为3和6，它第三边的长是方程x2－13x＋36＝0的根，则该三角形的周长为(    )
  A.13    B.15    C.18    D.13或18

针对训练

4.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是一元二次方程x2－7x＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为(    )
    A.12      B.16      C.16或12      D.24

5.用公式法和配方法分别解方程：x2－4x－1＝0

解：公式法：a=1，b=-4，c=-1.
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-1)=20＞0
方程有两个不等的实数根

即 x1=2+，x2=2-.

解：配方法：移项，得 x2-4x=1

配方，得 x2-4x+22=1+22

(x-2)2=5

由此可得 x-2=

∴ x1=2+，x2=2-.

考点四  一元二次方程的根的判别式的应用

例4 已知关于x的一元二次方程x2－3m＝4x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是(    )
  A.m＜0    B.m＜2    C.m≥0    D.

针对训练

6.下列所给方程中，没有实数根的是(    )
  A.x2＋x＝0     B.5x2－4x－1＝0     C.3x2－4x＋1＝0     D.4x2－5x＋2＝0
7.若关于x的一元二次方程(k＋1)x2－6x＋3＝0有实数根，则k的取值范围是__________.

考点五  一元二次方程的根与系数的关系

例5 已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m、n，不解方程求m2－mn＋n2的值.

解：∵ m、n是方程x2-4x-3=0的两根

∴ m+n=4，mn=-3

∴ m2-mn+n2=m2+2mn+n2-3mn=(m+n)2-3mn=42-3×(-3)=25

针对训练

8.已知方程2x2＋4x－3＝0的两根分别为x1和x2,则的值等于(    )
  A. 7      B.－2      C.        D.

重要变形

，，

考点六  一元二次方程的应用

例6 某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件.(1)若公司每天的销售价为x元，则每天的销售量为多少？(2)如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？

解：(1)每天的销售量为：32-2(x-24)=(80-2x)件；
(2)由题意可得(x-20)(80-2x)=150
         解得 x1=25，x2=35
由题意x≤28，∴ x=25，即销售价应当为25元.

针对训练

9.菜农小王种植的某种蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该种蔬菜滞销.小王为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.求平均每次下调的百分率是多少？

解：设平均每次下调的百分率是x，根据题意得
          5(1-x)2=3.2
    解得 x1=1.8(舍去)，x2=0.2=20%
答：平均每次下调的百分率是20%.

10.为了响应市委市政府提出的建设绿色家园的号召，我市某单位准备将院内一个长为30m，宽为20m的长方形空地，建成一个矩形的花园，要求在花园中修两条纵向平行和三条横向平行的宽度相同的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要是种植花草的面积为532m2，那么小道的宽度应为多少米？

解：设小道的宽度应为x米.根据题意得
      (30-2x)(20-x)=532
    整理得 x2-35x+34=0
    解得 x1=1，x2=34(舍去)
答：小道的宽度应为1米.