数学2.3 绝对值综合训练题

这是一份数学2.3 绝对值综合训练题，共15页。
2.3.2绝对值瞄准目标，牢记要点夯实双基，稳中求进绝对值的概念题型一：求一个数的绝对值【例题1】（2021·河南濮阳市·七年级期末）等于（）．A． B． C．2021 D．【答案】C【分析】根据绝对值的定义式解答．【详解】解：∵-2021<0，∴|−2021| =-（-2021）=2021，故选C．【点睛】本题考查绝对值的应用，熟练掌握绝对值的定义式是解题关键．变式训练【变式1-1】（2021·重庆南开中学七年级期末）-2的绝对值是（）A．-2 B．2 C． D．【答案】B【分析】根据绝对值的定义即可得出答案【详解】-2的绝对值是2,故选B【点睛】本题考查了绝对值，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键．【变式1-2】（2021·广西贵港市·九年级二模）的绝对值是（）A． B． C． D．2021【答案】D【分析】根据绝对值的意义进行计算，再进行判断即可【详解】解：的绝对值是2021；故选：D【点睛】本题考查了绝对值的意义，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键【变式1-3】下列说法正确的是（）A．最小的整数是零 B．有理数分为整数和负数C．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 D．绝对值是它本身的数是非负数【答案】D【分析】根据有理数及正数、负数、相反数、绝对值等知识对每个选项分析判断．【详解】解：A、因为整数包括正整数和负整数，0大于负数，所以最小的整数不是0，故错误；B、有理数分为整数和分数，或分为正数、0或负数，故错误；C、如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数，故错误；D、绝对值是它本身的数是非负数，故正确；故选：D．【点睛】本题考查有理数，绝对值，解答本题的关键是熟练掌握有理数的意义与分类．题型二：绝对值的化简求值【例题2】（2020·华中师范大学附属惠阳学校七年级月考）化简：________．【答案】1【分析】根据绝对值的定义即可得出答案，去掉绝对值再计算．【详解】解：|π-3|+|4-π|=π-3+4-π=1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了绝对值的定义，解题的关键是熟记求绝对值的法则．变式训练【变式2-1】（2021·广东九年级二模）﹣|﹣2021|等于（）A．﹣2021 B．2021 C．﹣ D．【答案】A【分析】根据绝对值的性质“负数的绝对值是它的相反数”去绝对值即可．【详解】由绝对值的性质可知，|﹣2021|＝2021，∴﹣|﹣2021|＝﹣2021，故选：A．【点睛】本题考查了绝对值的性质，准确掌握概念法则是解题的关键．【变式2-2】（2021·天津七年级期末）______．【答案】-1【分析】利用绝对值性质可进行求解．【详解】-（1）=-1 故答案为-1．【点睛】本题考察了绝对值的性质，利用绝对值的性质化简是本题的关键．【变式2-3】（2021·江苏南京市·中考真题）________；________．【答案】2    -2    【分析】根据相反数的意义和绝对值的意义即可得解．【详解】解：2；-2．故答案为2，-2．【点睛】本题考查了相反数和绝对值．掌握相反数的意义和绝对值的意义是解题的关键．绝对值的应用题型三：绝对值的实际应用【例题3】（2020·广东七年级月考）如图，检测4个足球的质量，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从符合标准质量的角度看，最接近标准的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可．【详解】解：∵|0.8|＜|+0.9|＜|+2.5|＜|3.6|，∴0.8最接近标准，故选：C．【点睛】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的性质是解题的关键，主要考查学生的理解能力，题目具有一定的代表性，难度也不大．变式训练【变式3-1】（2021·吉林长春市·九年级二模）某公司抽检盒装牛奶的容量，超过标准容量的部分记为正数，不足的部分记为负数．从容量的角度看，以下四盒牛奶容量最接近标准的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】找出四个选项中，四个数的绝对值的最小者即可得．【详解】解：，，，，因为，所以从容量的角度看，这四盒牛奶容量最接近标准的是选项C，故选：C．【点睛】本题考查了正负数在实际生活中的应用、绝对值，理解题意，掌握绝对值的性质是解题关键．【变式3-2】（2021·浙江九年级期末）“天问，问天！祝融，探火！”，2021年5月15日，“天问一号”搭载火星探测器“祝融号”成功降落火星，据悉，火星表面平均温度大约是，的绝对值是（）A．55 B． C． D．【答案】A【分析】利用绝对值的定义即可求解．【详解】解：的绝对值是55，故选：A．【点睛】本题考查求绝对值，掌握绝对值的定义是解题的关键．【变式3-3】（2020·浙江七年级单元测试）质检员抽查某零件的质量，超过规定尺寸的部分记为正数，不足规定尺寸的部分记为负数，结果第一个，第二个，第三个，第四个，则质量最好的零件是（）A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个【答案】C【分析】根据绝对值最小的是最接近标准的，可得答案．【详解】解：∵|0.15|＞|0.13|＞|-0.12|＞|-0.1|，∴-0.1mm的误差最小，第三个零件最好；故选：C．【点睛】本题考查了正数和负数，先比较绝对值，再判断．题型四：绝对值与倒数、相反数综合计算【例题4】（2018·江苏南通市·七年级期中）已知a、b互为相反数，mn互为倒数，x绝对值为2，求的值.【答案】-5或-1【解析】【分析】根据a、b互为相反数，mn互为倒数，x绝对值为2，得到a+b=0,mn=1,x=±2，分别代入即可求解.【详解】∵a、b互为相反数，mn互为倒数，x绝对值为2，∴a+b=0,mn=1,x=±2，故当x=2时，=-3-2=-5；当x=-2时，=-3+2=-1【点睛】此题主要考查有理数的性质，解题的关键是熟知相反数、倒数、绝对值的性质.变式训练【变式4-1】（2019·江苏镇江市·七年级月考）如果互为相反数，互为倒数，的绝对值是1，y是数轴负半轴上到原点的距离为1的数，求代数式的值．【答案】－1【分析】根据题意可得：a+b=0，cd=1，x=±1，y=-1，代入代数式进行计算即可得出答案.【详解】依题意可得：a+b=0，cd=1，x=±1，y=-1①当x=1时②当x=-1时综上所述，代数式的值为：-1【点睛】本题考查了代数式求值、绝对值、相反数以及倒数，熟练掌握相关基础知识是解决本题的关键.【变式4-2】（2019·丹阳市第三中学七年级月考）已知a，b互为相反数、c，d互为倒数，且x的绝对值是4，试求 x +| a+b-5|+|2-cd|的值。【答案】10 或2【解析】【分析】分别利用绝对值和倒数、相反数的定义得出各项的值，进而代入求出答案即可．【详解】∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于4，∴a+b=0，cd=1，x=±4，当x=4时，当x=-4时，【点睛】考查绝对值和倒数、相反数的定义，注意分类讨论，不要漏解.【变式4-3】（2018·泰兴市济川初级中学九年级期末）若x、y互为相反数，a、b互为倒数，c的绝对值等于2，则＝_____．【答案】3【分析】根据x、y互为相反数，a、b互为倒数，c的绝对值等于2得出x+y=0、ab=1，c=±2，代入计算即可．【详解】由题意知，，或，则，所以原式＝0﹣1+4＝3，故答案为3．【点睛】本题主要考查相反数、倒数及绝对值的计算，掌握互为相反数的两数和为0、互为倒数的两数积为1是解题的关键．题型五：绝对值的非负性【例题5】（2021·黑龙江九年级一模）若与互为相反数，则的值为（）A．1 B．-1 C．5 D．-5【答案】B【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列式，再根据非负数的性质列式求出a、b，然后相加即可的解．【详解】解：∵与互为相反数，∴+＝0，∴，，解得：，，∴ 故选：B【点睛】本题考查了相反数的性质和非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．变式训练【变式5-1】（2021·安徽合肥市·七年级期末）代数式的最小值等于__________．【答案】2【分析】根据绝对值的非负性即可得出结论【详解】解：∵；2∴的最小值为2【点睛】此题考查了绝对值的非负性和绝对值的意义，熟练掌握绝对值的性质是解本题的关键．【变式5-2】（2021·广东茂名市·七年级期末）若，则的值为______．【答案】4【分析】先利用绝对值的非负性求出x、y的值，代入求解即可．【详解】∵，∴，，∴．故答案为：4．【点睛】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性．【变式5-3】（2021·西藏达孜县中学七年级期末）已知，则的值为__________．【答案】【分析】根据非负数的性质得出，，求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】解：∵ ，∴，，解得：，，∴．故答案为：【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 【变式5-4】（2020·太原市行知宏实验中学校七年级月考）若|x-3|+|y+2|=0，则|x|+|y|=________．【答案】5【分析】由绝对值的非负性，先求出x、y的值，再代入计算即可．【详解】解：∵，∴，，∴，，∴；故答案为：5．【点睛】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性进行计算．【变式5-5】（2021·贵州遵义市·七年级期末）同学们都知道，表示5与 -2之差的绝对值，实际上也可以理解为 5 与 -2两数在数轴上所对的两点之间的距离，则使得这样的整数有____个．【答案】7【分析】要求的整数值可以进行分段计算，令x-1=0或x+5=0时，分为3段进行计算，最后确定的值．【详解】令x-1=0或x+5=0时，则x=-5或x=1当x＜-5时,∴-（x-1）-（x+5）=6,-x+1-x-5=6，x=-5（范围内不成立）当-5≤x＜1时,∴-（x-1）+（x+5）=6，-x+1+x+5=6,6=6，∴x=-5、-4、-3、-2、-1、0.当x≥1时,∴（x-1）+（x+5）=6，x-1+x+5=6，2x=2，x=1，∴综上所述,符合条件的整数x有：-5、-4、-3、-2、-1、0、1，共7个.故答案为7【点睛】本题是一道去绝对值和数轴相联系的综合试题，考查了去绝对值的方法，去绝对值在数轴上的运用．去绝对的关键是确定绝对值里面的数的正负性．题型六：化简含有未知数的绝对值【例题6】（2020·天津红桥区·七年级期末）已知有理数，，则化简_____．【答案】【分析】根据绝对值的意义直接化简计算即可．【详解】解：∵a＞0，b＜0，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了绝对值的性质，掌握化简绝对值的方法是解题的关键．变式训练【变式6-1】（2020·成都市温江区东辰外国语学校七年级月考）若，，则的值为________．【答案】．【分析】根据所给题意，可判断出 a， b 的正负性,然后再根据绝对值的定义，去掉绝对值，化简求解．【详解】，，，=b-a+3+a-b-9=-6故答案为：-6【点睛】主要考查绝对值性质的运用，解此类题的关键是：先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正负性，再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉，把式子化简，即可求解． 【变式6-2】（2019·四川绵阳市·东辰国际学校七年级月考）若abc＞0，a+b+c=0，则=____．【答案】．【分析】根据条件判断a、b、c与0的大小关系，然后根据绝对值的性质即可求出答案．【详解】解：∵abc＞0，a+b+c=0，∴a、b、c中必有两个是负数，一个是正数，不妨设，，，∵，∴，，，∴====．故答案为：．【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题的关键是正确判断a、b、c与0的大小关系，本题属于基础题型． 题型七：绝对值与数轴的综合【例题7】（2020·安岳县李家镇初级中学七年级月考）数轴上一点A，一只蚂蚁从A点出发爬了5个单位长度到达了原点，则点A所表示的数是________.【答案】±5.【详解】解：A到原点的距离是5个单位长度．则A所表示的数是：±5．故答案为：±5【点睛】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．变式训练【变式7-1】（2012·四川达州市·中考真题）实数、在数轴上的位置如图所示，化简：=_______．【答案】n－m．【详解】实数与数轴，绝对值的概念．【分析】∵在数轴上实数m位于n的左侧，∴m＜n．∴m－n＜0∴|m－n|=－（m－n）=n－m．【变式7-2】（2011·湖北咸宁市·）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则|a| ____|b|（填“＞”“＜”或“=”）．【答案】＞【分析】先根据a、b在数轴上的位置确定出其符号，再根据两点与原点的距离即可进行解答．【详解】解：由数轴上a、b两点的位置可知，a＜0，b＞0，∵a到原点的距离大于b到原点的距离，∴|a|＞|b|．故答案为＞．【变式7-3】（2020·浙江七年级其他模拟）表示a，b，c三个数的点在数轴上的位置如图，则代数式|a－b|＋|a－c|－|b＋c| 的值等于___________.   【答案】－2a【分析】根据数轴求出a-b＜0，a-c＜0，b+c＞0，去掉绝对值符号，再合并同类项即可．【详解】解：∵从数轴可知：a＜0＜c＜b，|a|＞|b|，
∴a-b＜0，a-c＜0，b+c＞0，
∴|a-b|+|a-c|-|b+c|
=b-a+c-a-b-c
=-2a，故答案为－2a.【点睛】本题考查了绝对值，数轴，整式的加减的应用，主要考查计算和化简能力题型八：绝对值求最小值【例题8】（2019·河北唐山市·七年级期中）己知在纸面上有一数轴（如图所示）一般地，数轴上表示数m和数n的两点间距离可用|m﹣n|表示，|x﹣4|+|x﹣5|的最小值是_____【答案】1【分析】根据|x﹣4|+|x﹣5|表示数x的点到4和5之间的距离的和即可求解.【详解】解：∵|x﹣4|+|x﹣5|表示数x到4和5的距离之和∴当4≤x≤5时，|x﹣4|+|x﹣5|有最小值，最小值为：1．故答案为：1．【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离的计算方法：数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值，应该牢记并会灵活运用.变式训练【变式8-1】（2020·重庆八中七年级期中）当时，代数式有最小值 b，则的值为_____．【答案】【分析】利用绝对值的性质去掉绝对值符号，找到当时，有最小值为10，即可求解．【详解】当时，，此时，没有最小值；当时，，此时，当时，有最小值为10，∴，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了绝对值的应用，利用绝对值的性质正确去掉绝对值符号是解题的关键．【变式8-2】（2020·运城市景胜中学七年级月考）点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．所以式子的几何意义是数轴上表示的点与表示2的点之间的距离．借助于数轴回答下列问题：①数轴上表示2和5两点之间的距离是________，数轴上表示1和的两点之间的距离是________．②数轴上表示和的两点之间的距离表示为________．③数轴上表示的点到表示1的点的距离与它到表示的点的距离之和可表示为：．则的最小值是________．④若，则________【答案】3    4        4    或5    【分析】①根据题目中公式求解即可；②根据题目中公式求解即可；③根据题目中公式求解即可；④分为三种情况讨论，第一种，第二种，第三种，分别求解即可；⑤方法一：根据④求解方法，可得原方程等号左侧最小值为4，而目前值为8，因此将3和-1同时向左或向右移动个单位即可；方法二：根据题意，参考④的方法，分三种情况套路即可．【详解】①|2-5|=3，所以2和5之间的距离为3；②|-3-1|=4，所以-3和1之间的距离为4；③，所以x和-2之间的距离为|x+2|；④当第一种情况时，原式=，无最小值当第二种情况时，原式=，所以最小值为4当第三种情况时，原式=，无最小值所以原式的最小值为4；⑤方法一：根据④得到|x−3|+|x+1|当时，最小值为4因为|x−3|+|x+1|=8，所以将3向右移动2个单位或-1向左移动两个单位，此时x到两点的距离和为8，此时x= -1-2= -3，或x=3+2=5因此x=−3 或5方法二：当时，得，解得x= -3当时，得，此时无解当时，得，解得x=5故原方程的解为-3或5故答案为①3；②4；③ |x+2| ；④4；⑤ −3 或5．【点睛】本题考查了绝对值的意义，绝对值返程，熟练掌握绝对值的含义是本题的关键，绝对值的几何意义表示两点间的距离．【变式8-3】（2020·无锡外国语学校七年级期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：(1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是______；表示-2和1两点之间的距离是________；一般地，数轴，上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|．(2)若|a-3|=6， |b+2|=3，且数a､b在数轴上表示的数分别是点A､点B则A､B两点间的最大距是最小距离是_________．(3)若数轴上表示数a的点位于-4与5之间，则|a+4|+|a-5|=_______．(4)当a=时，|a-1|+|a+5|+|a-4|的值最小，最小值是________．【答案】（1）1， 3 ，（2）14，2，（3）9，（4）1，9【分析】（1）根据数轴两点间的距离用右边点表示的数减去左边点表示的数即可（2）利用A点在3点的左与右分类化去绝对值符号，解方程求出，利用B点在-2点的左与右分类化去绝对值符号，解方程求出，比较大小，再求最大与最小值即可（3）数轴上表示数a的点位于-4与5之间，确定|a+4|=a+4，|a-5|=5-a化去绝对值再计算即可，（4）分类讨论化去绝对值符号，确定每个范围内的最大与最小值，最后找出最小的值即可．【详解】（1）3-2=1，1-（-2）=1+2=3，（2）|a-3|=6，若a<3,3-a=6，a=-3，若a>3，a-3=6，a=9， |b+2|=3，若b<-2，-b-2=3，b=-5，若b>-2，b+2=3，b=1，-5<-3<1<9|a-b|最大值=9-（-5）=9+5=14，|a-b|最小值=（-3）-（-5）=-3+5=2，（3）数轴上表示数a的点位于-4与5之间，a>-4，a+4>0，a<5，a-5<0，|a+4|+|a-5|=a+4-（a-5）=a+4-a+5=9，（4）当a<-5时，|a-1|+|a+5|+|a-4|=1-a-a-5+4-a=-3a>15，当-5≤a<1时，|a-1|+|a+5|+|a-4|=1-a+a+5+4-a=10-a，9<10-a≤15，当1≤a<4时，|a-1|+|a+5|+|a-4|=a-1+a+5+4-a=a+8，9≤a+8<12，当a≥4时，|a-1|+|a+5|+|a-4|=a-1+a+5+a-4=3a≥12，当a=1时，|a-1|+|a+5|+|a-4|的最小值为9．故答案为（1）1， 3，（2）14， 2，（3）9，（4）1，9．【点睛】本题考查主要涉及的知识为数轴与绝对值，借助数轴比较大小，化简绝对值是解题关键．