初中数学北师大版七年级上册2.9 有理数的乘方同步训练题

2.8有理数的除法

瞄准目标，牢记要点

夯实双基，稳中求进

有理数除法法则（一）

题型一：有理数除法法则（一）

【例题1】计算：−2÷＝______．

【答案】-4

【分析】根据有理数除法的法则计算，即可得到答案．

【详解】−2÷＝

故答案为：-4．．

【解题方法】有理数除法的一般步骤:(1)确定商的符号;(2)把除数化为它的倒数;(3)利用乘法计算结果.

变式训练

【变式1-1】（2019浙江）列式计算：一个数与3的积是﹣0.25，求这个数．

【答案】﹣．

【分析】根据题意列出代数式解答即可．

【详解】﹣0.25÷3=﹣，

【点睛】此题考查有理数的除法，关键是根据题意列出代数式解答．

【变式1-2】（2021·全国七年级）______．

【答案】

【分析】根据有理数除法法则计算即可．

【详解】解：

．

故答案为．

【点睛】本题考查有理数的除法法则，化除为乘是关键．

【变式1-3】（河南省郑州市枫杨外国语学校2018-2019学年七年级上期第一次月考数学试题）有张写着不同数字的卡片、、、、从中抽取张卡片，使这张卡片上的数字相除的商最小，最小的商是__________．

【答案】

【解析】

【分析】从卡片中找出2张，使其商最小即可．

【详解】解：根据题意得：，此时商最小。

故答案为：

【点睛】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

有理数的除法法则（二）

题型二：有理数的除法法则（二）

【例题2】（2019·全国七年级课时练习）计算（－24）÷6的结果等于（　　）

A．－4 B．4 C．－ D．

【答案】A

【分析】根据有理数除法的运算法则计算．

【详解】解：

故选A．

【点睛】本题考查了有理数除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．

变式训练

【变式2-1】（2019·吉林）若使等式（﹣10）□（﹣5）＝2成立，则□中应填入的运算符号是（　　）

A．+ B．﹣ C．× D．÷

【答案】D

【分析】根据有理数的运算即可确定出符号．

【详解】

∴若使等式（﹣10）□（﹣5）＝2成立，则□中应填入的运算符号是÷，

故选：D．

【点睛】本题主要考查有理数的乘除运算，掌握有理数的乘除运算是解题的关键．

【变式2-2】（2020·山东省临沭县石门镇中心中学）若两个有理数的商是正数，和为负数，则这两个数(  )

A．一正一负 B．都是正数 C．都是负数 D．不能确定

【答案】C

【分析】从商为正数得出两个数同号，从和为负数得出两个数都为负数，若两个数都为正数，和只能为正数．

【详解】解：两个有理数的商是正数，和为负数，则这两个数都是负数．
故选：C．

【点睛】本题属于基础题，考查了对有理数的除法及加法运算法则掌握的程度．

【变式2-3】（2018·宜昌市第十六中学七年级期中）一道计算题不慎被墨水覆盖了一部分，则覆盖的数字为（）

A． B．3 C． D．

【答案】B

【分析】用-9除以-3即可.

【详解】-9÷（-3）=3

故答案选：B.

有理数除法的符合问题

题型三：有理数除法的符合问题

【例题3】（2019·安徽宿州市·七年级期末）若，，且，则________．

【答案】

【分析】由，可求得x=±2，y=±3，又因为，可知x与y异号，从而可求出x与y的值.

【详解】∵，，

∴x=±2，y=±3，

∵，

∴x与y异号，

∴x=2，y=-3或x=-2，y=+3，

∴，或.

故答案为.

【点睛】本题考查了绝对值的意义，有理数的除法法则和有理数的加法法则，由绝对值的意义和有理数的除法法则求出x与y的值是解答本题的关键.

变式训练

【变式3-1】（2018·全国七年级课时练习）如果,那么_____0.

【答案】>

【详解】根据有理数的除法法则，则a＞0，b＞0，所以.

故答案为＞.

【点睛】除法运算的符号规则与乘法运算的符号规则相同，都是同号为正，异号为负，或者是把除法运算转化为乘法运算后，再用乘法运算的符号规律得到这两个数的运算结果的符号.

【变式3-2】（2020·东莞市厚街海月学校七年级月考）若，则的值(    )

A．是正数 B．是负数 C．是非正数 D．是非负数

【答案】A

【分析】由ab＞0可得a与b同号，再根据有理数的乘除法法则判断即可．

【详解】解：∵ab＞0，
∴a＞0且b＞0或a＜0且b＜0，

∴＞0，

∴即的值是正数．
故选：A．

【点睛】本题主要考查了有理数的乘除法，判断出a与b同号是解答本题的关键．

【变式3-3】（2016·广西贵港市·）若a＜0，＜0，且|a|＞|b|，则（）

A．a＜﹣b＜b＜﹣a B．a＜b＜﹣b＜﹣a

C．﹣a＜﹣b＜b＜a D．﹣b＜﹣a＜b＜a

【答案】A

【分析】根据题意取a=﹣3，b=2，求出﹣a=3，﹣b=﹣2，再比较即可．

解：∵a＜0，＜0，且|a|＞|b|，

∴取a=﹣3，b=2，

∴﹣a=3，﹣b=﹣2，

∴a＜﹣b＜b＜﹣a，

故选A．

题型四：有理数除法的实际应用

【例题4】（2021·上海九年级二模）某品牌汽车公司大力推进技术革新，新款汽车油耗从每百公里8升下降到每百公里6.8升，那么该汽车油耗的下降率为_____．

【答案】15%

【分析】先求出新款汽油车每百公里下降的油耗，然后再用下降的油耗除以原来的每百公里油耗即为所求．

【详解】解：根据题意得，8﹣6.8＝1.2（升），

1.2÷8＝15%，

∴该汽车油耗下降率为15%．

故答案为：15%．

【点睛】本题主要考察了有理数的相关计算，弄清楚下降率是什么是解题关键．

变式训练

【变式4-1】（2015·甘肃酒泉市·七年级期末）某超市中的“飘柔”洗发水“8折”后的价格为19．2元，则原价为元．

【答案】24

【详解】试题分析：因为洗发水“8折”后的价格为19．2元，所以原价=元．

考点：列代数式．

【变式4-2】（2020·全国七年级课时练习）已知某班有40名学生，将他们的身高分成4组，在区间的有8名学生，那么这个小组的人数占全体的　　

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】用这个小组的人数除以全班人数即可求得结果．

【详解】根据题意得：．

故选C．

【点睛】本题主要考查了有理数除法的应用，掌握理数除法法则是解题的关键．

【变式4-3】（2020·江西七年级月考）某城市从2006年5月1日起对出租车计价方法进行了调整.有一次小明乘出租车时看到车内放有一张计价说明，但后面的几个字已受损．

（1）小明乘到4千米的时候计价器显示的价格为8.6元，问超过部分每千米收费多少元？

（2）如果小明这次乘出租车时付了12.2元，求他乘坐路程的范围（计价器每一千米跳价一次，不足一千米按一千米计价）．

【答案】（1）1.8；（2）小明乘坐的路程范围是大于5千米且小于或等于6千米．

【分析】（1）先将总价减去起步价，得出超过部分的收费，再除以超过里程部分，得出结果；（2）分成两部分计算：起步价＋超过部分价．

【详解】（1）（8.6−5）÷（4−2）＝1.8；

（2）12.2−5＝7.2，7.2÷1.8＝4．

因为计价器不足一千米按一千米计价，

所以小明乘坐的路程范围是大于5千米且小于或等于6千米．

【点睛】此题既联系实际生活，又考查了学生对有理数的理解和运算能力．要注意：计价器每一千米跳价一次，不足一千米按一千米计价．

有理数乘除法混合运算

题型五：有理数乘除法混合运算

【例题5】（2019·山东七年级期中）计算：．

【答案】

【分析】按照有理数乘除混合运算的运算顺序从左往右进行运算即可得到答案．

【详解】解：

【点睛】本题考查的是有理数乘除混合运算，掌握乘除混合运算的运算法则与运算顺序是解题的关键．

变式训练

【变式5-1】（2020·长春市第十三中学校七年级期中）计算：．

【答案】3

【分析】根据有理数的除法法则，除以一个不为零的数，等于乘以这个数的倒数，先将除法统一成乘法，再根据有理数乘法法则解题，注意偶数个负数相乘，结果为正．

【详解】

【点睛】本题考查有理数的乘除混合运算，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

【变式5-2】（2020·新安中学（集团）外国语学校七年级月考）阅读的计算方法．

解：设原式的商为，

因为，

所以，

所以商．

请按以上方法计算．

【答案】

【分析】参照题干例题解析方法，设原式的商为，则，然后除法变乘法，用分配律计算即可.

解答即可.

【详解】设原式的商为，

，

，

商．

【点睛】本题考查有理数的除法运算，根据题意写出是解题的关键.

【变式5-3】（2020·浙江七年级期中）阅读下面解题过程：

计算：

解：原式＝（第①步）

＝（第②步）

＝（－15）÷（－25）（第③步）

＝（第④步）

（1）上面解题过程中有错误的步骤是________．（填序号）

（2）请写出正确的解题过程．

【答案】（1）②④；（2）见解析

【分析】（1）根据有理数的乘除法混合运算法则，分步查找错误即可；

（2）根据有理数的乘除法混合运算法则进行计算即可得出结果．

【详解】解：（1）②乘法和除法的混合运算，要依次计算，计算步骤不能颠倒，④负数和负数相除结果为正数，因此②④错误，

故填：②④；

（2）原式＝

＝

＝

＝．

【点睛】本题考查有理数的乘除法混合运算，熟练掌握运算法则是关键．

题型六：整除与带余除法

【例题6】（2021·浙江杭州市·九年级一模）a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是＝﹣2，﹣2的“哈利数”是，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，…，依此类推，则a2019＝（）

A．3 B．﹣2 C． D．

【答案】C

【分析】分别求出数列的前5个数得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案．

【详解】∵a1＝3，

∴a2＝＝﹣2，

a3＝，

a4＝，

a5＝，

∴该数列每4个数为1周期循环，

∵2019÷4＝504…3，

∴a2019＝a3＝．故选：C．

【点睛】本题考查了数字的规律变化，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．

变式训练

【变式6-1】（【全国区级联考】2017-2018学年湖北省咸宁市咸安区七年级（上）期末数学试卷）如图，连接在一起的两个正方形的边长都为1cm，现有一个微型机器人由点A开始按从A→B→C→D→E→F→C→G→A…的顺序沿正方形的边循环移动．当微型机器人移动了2018cm时，它停在_____点．

【答案】C

【分析】由于沿正方形的边循环移动一圈要走8cm，而2018=8×252+2即微型机器人移动了2018cm时，共走了252圈加2cm，然后得到从A走2cm到C点．

【详解】∵2018=8×252+2,

∴当微型机器人移动了2018cm时，它停在C点．

故答案为C

【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．

【变式6-2】（2015·山东德州市·）214 分钟=____小时____分

【答案】3，    34   

【详解】试题分析：根据时间的换算进率1时＝60分钟，可以直接计算214÷60=3小时……34分，因此答案为3，34.

考点：时间的换算

【变式6-3】（2018·湖北武汉市·）定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是=-1，-1的差倒数是．已知，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3 的差倒数，……，依此类推，则_________．

【答案】4

【解析】

【分析】根据差倒数定义求出前几个数，不难发现，每三个数为一个循环组依次循环，然后用2013除以3，根据余数情况确定即可.

【详解】解：∵，

∴，

,

，

……

∵2013÷3=671，

∴4.

故答案为4.

【点睛】本题对数字变化规律，读懂新定义观察出每三个数为一个循环组依次循环是解题的关键.