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北师大版七年级上册第二章 有理数及其运算2.1 有理数授课课件ppt
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这是一份北师大版七年级上册第二章 有理数及其运算2.1 有理数授课课件ppt，共32页。PPT课件主要包含了情景引入，这是什么方程呢，一元二次方程的概念，观察思考，x20，二次项，一次项，常数项，二次项系数，一次项系数等内容，欢迎下载使用。
某蔬菜队 2019 年全年无公害蔬菜产量为 100 t，计划 2021 年无公害蔬菜产量比2019 年翻一番（即为 200 t）.要实现这一目标，2020 和 2021 年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？
设这个队 2020~2021 年无公害蔬菜产量的年平均增长率是 x，那么
根据题意，2021 年无公害蔬菜产量为 200 t，得
100（1+x）+ 100（1 + x）·x = 100（1 + x）2 = 200
即（1 + x）2 = 2
整理，得 x2 + 2x – 1 = 0
2.什么是方程？我们学过哪些方程？
含有未知数的等式叫做方程.
我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程.
3.什么叫一元一次方程？
含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程.
问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为8m,宽为5m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2 的地毯 ,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗？
解：如果设所求的宽为 x m ,那么地毯中央长方形图案的长为 m,宽为 m,根据题意,可得方程：
( 8 - 2x)（ 5 - 2x）= 18.化简：2x2 - 13x + 11 = 0 .①
该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
问题2：观察下面等式：102 + 112 + 122 = 132 + 142 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？
解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为： , , , . 根据题意，可得方程：
x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2.化简得，x2 - 8x - 20＝0. ②
解：由勾股定理可知,滑动前梯子底端距墙 m.如果设梯子底端滑动x m ,那么滑动后梯子底端距墙 m ,根据题意，可得方程：
问题3：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米？
72 + (x + 6)2 = 102.化简得，x2 + 12 x - 15 = 0. ③
① 2x2 - 13x + 11 = 0 ；② x2 - 8x - 20＝0；③ x2 + 12 x - 15 = 0.
1.只含有一个未知数; 2.未知数的最高次数是2; 3.整式方程．
方程①、 ②、 ③都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
一元二次方程有很多很多，你能表示出它们的一般形式吗？
x2 -75x + 350=0
x2 + 2x - 4=0
x2 - x = 56
3x2 =5x -1
ax2 + bx +c = 0
一元二次方程的一般形式
想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？
当 a ≠ 0 ， b = 0时 ，
当 a ≠ 0 ， c = 0时 ，
ax2＋bx = 0
当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ，
总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数.
请判断下列方程是否是一元二次方程？
(2) 3x3+ 2x2=36
(3)5x+6y=36
(1) 2x2+ 3x=26
例：将方程 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
其中二次项系数为 3，
移项，合并同类项，得一般形式为：
1. 将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
2. 根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式： （1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x ； （2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x ；
4 x2 －25 = 0
x2 －2x－100 = 0
3.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 3 (k－1) x ＋ 5k ＋ 6＝0,当k 时，是一元二次方程．当k 时，是一元一次方程．
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）.
练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 7 = 0 的解? -5 ,-3.5 , -3 ,-2 ,0 ,1.5,2,3 ,4，6
你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根.
例：已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根, 求 2a2+4a+2018的值.
问题1：在上一课中，我们知道四周未铺地毯部分的宽度x满足方程(8 -2x)(5-2x)= 18，你能求出这个宽度吗？
(1) x可能小于0吗?说说你的理由． (2) x可能大于4吗?可能大于2.5吗?说说你的理由.
（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗? 还有其他求解方法吗?与同伴进行交流．
问题2：在上一课中，梯子的底端滑动的距离x满足方程 x2 +12 x - 15 = 0.
(1) 小明认为底端也滑动了1 m,他的说法正确吗？为什么？(2) 底端滑动的距离可能是2 m吗？可能是3 m吗？为什么？
下面是小亮的求解过程：
可知x取值的大致范围是:1
1. 一元二次方程 3x2 = 5x 的二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 3，5 B. 3，0 C. 3，-5 D. 5，0 2. 下列哪些数是方程 x2 + x – 12 = 0 的根？ －4， －3， －2， －1， 0， 1， 2， 3， 4.
3. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出该方程的二次项系数、一次项系数和常数项. （1）3x2 + 1 = 6x； （2）4x2 = 81 – 5x；
解：一般形式：3x2 – 6x + 1 = 0 二次项系数：3 一次项系数：–6 常数项：1
解：一般形式：4x2 + 5x – 81 = 0 二次项系数：4 一次项系数：5 常数项：–81
4. 根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. （1）有一根 1 m 长的铁丝，怎样用它围一个面积为 0.06 m2 的长方形? 解：设长方形的长为 x m，则宽为 (0.5 – x) m. 根据题意，得 x(0.5 – x) = 0.06, 整理，得 50x2 – 25x + 3 = 0.
（2）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手 10 次.有多少人参加这次聚会？ 解：设有 x 人参加了这次聚会, 根据题意，得 x(x – 1) = 10， 整理，得 x2 – x – 20 = 0.
一般形式： ax2 + bx + c =0(a≠0)
一元二次方程解的估算（二分法求近似解）
某蔬菜队 2019 年全年无公害蔬菜产量为 100 t，计划 2021 年无公害蔬菜产量比2019 年翻一番（即为 200 t）.要实现这一目标，2020 和 2021 年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？
设这个队 2020~2021 年无公害蔬菜产量的年平均增长率是 x，那么
根据题意，2021 年无公害蔬菜产量为 200 t，得
100（1+x）+ 100（1 + x）·x = 100（1 + x）2 = 200
即（1 + x）2 = 2
整理，得 x2 + 2x – 1 = 0
2.什么是方程？我们学过哪些方程？
含有未知数的等式叫做方程.
我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程.
3.什么叫一元一次方程？
含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程.
问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为8m,宽为5m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2 的地毯 ,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗？
解：如果设所求的宽为 x m ,那么地毯中央长方形图案的长为 m,宽为 m,根据题意,可得方程：
( 8 - 2x)（ 5 - 2x）= 18.化简：2x2 - 13x + 11 = 0 .①
该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
问题2：观察下面等式：102 + 112 + 122 = 132 + 142 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？
解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为： , , , . 根据题意，可得方程：
x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2.化简得，x2 - 8x - 20＝0. ②
解：由勾股定理可知,滑动前梯子底端距墙 m.如果设梯子底端滑动x m ,那么滑动后梯子底端距墙 m ,根据题意，可得方程：
问题3：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米？
72 + (x + 6)2 = 102.化简得，x2 + 12 x - 15 = 0. ③
① 2x2 - 13x + 11 = 0 ；② x2 - 8x - 20＝0；③ x2 + 12 x - 15 = 0.
1.只含有一个未知数; 2.未知数的最高次数是2; 3.整式方程．
方程①、 ②、 ③都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
一元二次方程有很多很多，你能表示出它们的一般形式吗？
x2 -75x + 350=0
x2 + 2x - 4=0
x2 - x = 56
3x2 =5x -1
ax2 + bx +c = 0
一元二次方程的一般形式
想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？
当 a ≠ 0 ， b = 0时 ，
当 a ≠ 0 ， c = 0时 ，
ax2＋bx = 0
当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ，
总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数.
请判断下列方程是否是一元二次方程？
(2) 3x3+ 2x2=36
(3)5x+6y=36
(1) 2x2+ 3x=26
例：将方程 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
其中二次项系数为 3，
移项，合并同类项，得一般形式为：
1. 将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
2. 根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式： （1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x ； （2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x ；
4 x2 －25 = 0
x2 －2x－100 = 0
3.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 3 (k－1) x ＋ 5k ＋ 6＝0,当k 时，是一元二次方程．当k 时，是一元一次方程．
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）.
练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 7 = 0 的解? -5 ,-3.5 , -3 ,-2 ,0 ,1.5,2,3 ,4，6
你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根.
例：已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根, 求 2a2+4a+2018的值.
问题1：在上一课中，我们知道四周未铺地毯部分的宽度x满足方程(8 -2x)(5-2x)= 18，你能求出这个宽度吗？
(1) x可能小于0吗?说说你的理由． (2) x可能大于4吗?可能大于2.5吗?说说你的理由.
（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗? 还有其他求解方法吗?与同伴进行交流．
问题2：在上一课中，梯子的底端滑动的距离x满足方程 x2 +12 x - 15 = 0.
(1) 小明认为底端也滑动了1 m,他的说法正确吗？为什么？(2) 底端滑动的距离可能是2 m吗？可能是3 m吗？为什么？
下面是小亮的求解过程：
可知x取值的大致范围是:1
1. 一元二次方程 3x2 = 5x 的二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 3，5 B. 3，0 C. 3，-5 D. 5，0 2. 下列哪些数是方程 x2 + x – 12 = 0 的根？ －4， －3， －2， －1， 0， 1， 2， 3， 4.
3. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出该方程的二次项系数、一次项系数和常数项. （1）3x2 + 1 = 6x； （2）4x2 = 81 – 5x；
解：一般形式：3x2 – 6x + 1 = 0 二次项系数：3 一次项系数：–6 常数项：1
解：一般形式：4x2 + 5x – 81 = 0 二次项系数：4 一次项系数：5 常数项：–81
4. 根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. （1）有一根 1 m 长的铁丝，怎样用它围一个面积为 0.06 m2 的长方形? 解：设长方形的长为 x m，则宽为 (0.5 – x) m. 根据题意，得 x(0.5 – x) = 0.06, 整理，得 50x2 – 25x + 3 = 0.
（2）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手 10 次.有多少人参加这次聚会？ 解：设有 x 人参加了这次聚会, 根据题意，得 x(x – 1) = 10， 整理，得 x2 – x – 20 = 0.
一般形式： ax2 + bx + c =0(a≠0)
一元二次方程解的估算（二分法求近似解）
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