四川省内江市资中县第二中学2022-2023学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

资中二中高2024届5月月考

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 命题“若，则”的逆否命题是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】D

【解析】

【分析】根据四种命题之间的关系，“若则”的逆否命题是“若则”即可解决

【详解】由题知若，则的逆否命题是：若，则．

故选：D.

2. 若复数满足，则（    ）

A.  B. 1 C. 2 D. 3

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数模的性质计算．

【详解】因为，所以，即，所以．

故选：A．

3. 已知，B为A关于平面的对称点，C为B关于y轴的对称点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，利用空间直角坐标系对称的特点求出点坐标作答.

【详解】点，则A关于平面的对称点，点B关于y轴的对称点，

所以.

故选：A

4. 已知随机变量X服从正态分布，若，则（    ）

A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6

【答案】B

【解析】

【分析】根据正态分布的定义和正态曲线的对称性即可得到答案.

【详解】.

故选：B.

5. 中央经济工作会议将做好“碳达峰、碳中和”工作列为2022年的重点任务之一，要求持续提升能源利用效率，加快能源消费方式转变．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1L汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是（    ）．

A. 消耗1L汽油，乙车最多可行驶5km

B. 甲车以80km/h的速度行驶1h，消耗约10L汽油

C 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

D. 某城市机动车最高限速80km/h，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知条件，结合图象，逐项分析，即可判断.

【详解】对于A：当乙车速度大于时，乙车车每消耗1L汽油行驶的里程都超过了，所以A错误；

对于B：甲车以80km/h的速度行驶时，燃油效率为，则行驶1h消耗约8L汽油，所以B错误；

对于C：以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高耗油越少，故三辆车中，甲车消耗汽油最少，所以C错误；

对于D：机动车最高限速80km/h相同条件下，丙车比乙车燃油效率高，故更省油，所以D正确.

故选：D.

6. 已知某运动员每次射击击中目标的概率是，假设每次射击击中目标与否互不影响，设为该运动员次射击练习中击中目标的次数，且，，则值为（    ）

A. 0.6 B. 0.8

C. 0.9 D. 0.92

【答案】B

【解析】

【分析】由服从，根据二项分布的均值和方差公式列式求解．

【详解】由题意，所以，解得．

故选：B．

7. 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ）

A. 13 B. 12 C. 9 D. 6

【答案】C

【解析】

【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．

【详解】由题，，则，

所以（当且仅当时，等号成立）．

故选：C．

【点睛】

8. 甲、乙、丙三位同学中，一人是班长，一人是学习委员，一人是团支书.已知丙比团支书高，乙的身高和学习委员不同，学习委员比甲矮，则甲是（    ）

A. 班长 B. 学习委员

C. 团支书 D. 无法确定

【答案】A

【解析】

【分析】根据所给信息进行推理即可．

【详解】由学习委员比甲矮知甲不是学习委员，只能是班长或团支书，又乙的身高和学习委员不同，乙也不是学习委员，因此丙是学习委员，

又由丙比团支书高，学习委员比甲矮，知甲是班长，乙是团支书．

故选：A．

9. “”是“函数有且只有一个零点”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】求出有且只有一个零点的条件，再根据充分必要条件的定义判断．

【详解】首先已经有一个零点1，

因此只有一个零点，则无零点，

即（）无解，时，，所以或，

因此是有且只有一个零点”的充分而不必要条件．

故选：A．

10. 已知一个盒子中装有10个小球，其中红色、黄色小球各4个，白色小球2个，从中随机摸出2个小球，则这2个小球颜色不相同的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】易知从10个小球中随机抽取2个的基本事件总数为;其中所抽取的2个小球颜色不同所包含的基本事件个数为,利用古典概型概率计算公式即可求出所求概率.

【详解】从10个小球中随机抽取2个的基本事件总数为,其中所抽取的2个小球颜色不同所包含的基本事件个数为，

所以所求概率.

故选：D.

11. 设抛物线的顶点为坐标原点O，焦点，若该抛物线上两点A，B的横坐标之和为6，当弦的长度最大时，的面积为（    ）．

A.  B. 4 C.  D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】由题可得，进而可得的最大值，可设，利用韦达定理可得，再利用面积公式即得.

【详解】由于抛物线焦点为，

故抛物线的标准方程为.

设，则，，

而，即，

故的最大值为，

此时可设直线，

由，可得，

∴，即，

又原点到直线直线的距离，

∴的面积为.

故选：C.

12. 设是定义在R上的连续奇函数的导函数，当时，，则使得成立的x的取值范围是（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】令.利用导数判断出在上单调递减，进而求出

当时都有； ；当时，.直接解不等式即可.

【详解】令.

则，所以在上单调递减.

又，所以当时，，而，所以；

所以当时，，而，所以.

在中，令x=1可得：.

所以当时都要.

又是定义在R上的连续奇函数，所以，当时，.

所以可化为：或或，

解得：或或.

综上所述：.

故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分．共20分．

13. 双曲线的右焦点到直线的距离为________．

【答案】

【解析】

【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.

【详解】由已知，，所以双曲线的右焦点为，

所以右焦点到直线的距离为.

故答案为：

14. 已知展开式中各项的二项式系数之和为32，则展开式中含项的系数为______．

【答案】-80

【解析】

【分析】先求出，再利用二项展开式的通项公式即可求解.

【详解】因为展开式中各项的二项式系数之和为32，

所以，解得：.

所以展开式的通项公式为.

要求展开式中含项的系数，只需，解得：.

故答案为：-80.

15. 已知甲、乙、丙、丁四名专家因疫情防控需要被随机分配到A，B，C三个学校去指导疫情防控工作，要求每名专家去一个学校，每个学校至少去一名专家，则恰好有两名专家去A校的概率为________.

【答案】

【解析】

【分析】由题意有且只有2名专家去同一个学校，由排列组合知识求得方法数后可计算概率．

【详解】由题意分配方案共有种，恰好有两名专家去A校的方法数为，

所求概率为．

故答案为：．

16. 已知直线与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线C的右焦点F，若的面积为，则双曲线C的离心率为______．

【答案】3

【解析】

【分析】先根据题意求出以AB为直径的圆的方程，利用正比例函数图象和双曲线的对称性，根据双曲线的定义，三角形的面积公式、勾股定理可以求出双曲线的离心率.

【详解】因为以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，

所以AB为直径的圆的方程为，圆也过左焦点，

因为与相等且平分，

所以四边形为矩形，所以，

设，则，

∵的面积为，

∴的面积，且，

联立三式：，得，

∴，即.

故答案为：.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知函数在点处的切线的斜率为2.

（1）求a的值；

（2）求函数的单调区间和极值.

【答案】（1）；（2）当时，递减；当时，递增；极小值为，无极大值.

【解析】

【分析】（1）求出，利用导数的几何意义，列出方程，求解即可；

（2）利用（1）中结论，求出，令，求出的值，确定函数的单调性，由极值的定义求解即可．

【详解】解：（1）∵，∴

∵函数在点处的切线的斜率为2，∴

∴

∴；

（2）由（1）得，

∴令即，解得

∴当时，，递减；

当时，，递增.

极小值为，无极大值.

18. 已知F是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且．

（1）求抛物线C的方程；

（2）斜率为1的且过焦点的直线与抛物线C交于A，B两点，求△PAB的面积．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题可得，即可求出值，即可得到抛物线C的方程；

（2）联立直线与抛物线方程，利用弦长公式可求出，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，最后利用面积公式即可.

【小问1详解】

由抛物线的定义得，解得，∴，

即抛物线的标准方程是.

【小问2详解】

由题意得，抛物线的焦点为，令，解得（负舍），则，

∴斜率为1的直线的方程为，即，设，，

，，

所以，，

∴.

点到直线的距离为，

所以的面积.

19. 如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面平面ABCD，，E、F分别为AD、SC的中点，且平面SBC．

（1）求AB；

（2）若，求直线EF与平面SCD所成角的正弦值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）取的中点，连接、，即可得到且，从而得到，即可得到平面，则，即可得到是等边三角形，从而得解；

（2）取的中点，连接，作，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；

【小问1详解】

解：取的中点，连接、，因为为的中点，

所以且，又为的中点，底面是矩形，

所以且，所以且，

所以四边形是平行四边形，

所以，因为平面，所以平面，平面，所以，

又，所以是等边三角形，所以

【小问2详解】

解：因为平面平面，，取的中点，连接，作，如图建立空间直角坐标系，

因为，所以，，，，，所以，，，

设平面的法向量为，则，令，则，

设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为；

20. 2022年2月4日，北京冬奥会盛大开幕，这是让全国人民普遍关注的体育盛事，因此每天有很多民众通过手机、电视等方式观看相关比赛．某机构将每天收看相关比赛的时间在2小时以上的人称为“冰雪运动爱好者”，否则称为“非冰雪运动爱好者”，该机构通过调查，并从参与调查的人群中随机抽取了100人进行分析，得到下表（单位：人）：

（1）将上表中的数据填写完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为性别与是否为“冰雪运动爱好者”有关？

（2）将频率视为概率，现从参与调查的女性人群中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“冰雪运动爱好者”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列、数学期望和方差．

附：，其中．

【答案】（1）答案见解析；   

（2）答案见解析.

【解析】

【分析】（1）直接完成列联表，套公式求出，对着参数下结论；

（2）由题意分析出，求出对应的概率，写出分布列，求出数学期望和方差．

【小问1详解】

由题意进行数据分析，可得列联表如下：

所以，

所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为性别与 “冰雪运动爱好者”有关.

【小问2详解】

由题意可得：，X的所有可能取值为：0，1，2，3.

所以；；

；.

所以X的分布列为：

从而，

21. 已知椭圆的长轴长等于4，且过点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过P作直线，与圆相切且分别交椭圆C于M、N两点．判断直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

【答案】（1）；   

（2）直线MN的斜率为定值.

【解析】

【分析】（1）由题可得，进而可得，即得；

（2）由题可知直线，的斜率存在且互为相反数，设直线的方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理法可得，，进而可得直线MN的斜率，即得.

【小问1详解】

由题可知，

因为椭圆过点，

∴，解得，

∴椭圆C的方程为；

【小问2详解】

由题可知直线，的斜率存在，设为，，

由于直线，与圆相切，故有，

设直线的方程为，

由，可得，

∴，

同理可得，，

∴，

又，

∴直线MN的斜率为，

故直线MN的斜率为定值.

22. 已知函数在处的切线斜率为（e为自然对数的底数）．

（1）求函数的最值；

（2）设为的导函数，函数仅有一个零点，求实数a的取值范围．

【答案】（1），无最大值；   

（2）或.

【解析】

分析】（1）由题可得，然后利用导数即得；

（2）当时，可得适合题意，当时，利用导数可求函数，构造函数，进而可得，即得.

小问1详解】

∵，

∴，

由，得，

∴，

∴，

由，可得或，由，可得，

∴函数在单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

当时，，又，当时，，且，

∴，无最大值；

【小问2详解】

由上可知，又，

∴，

当时，，函数单调递增，，所以满足题意，

当时，令，函数在单调递增，又，

所以存在，使得，

此时当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递增，

∴，

当时，，当时，，

所以需要，

将代入，，

构造函数，

∴，

则在上单调递增，在上单调递减，

则，

所以，得到.

综上，实数a的取值范围为或.

【点睛】利用导数研究零点问题：

（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；

（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；