【中职专用】高中数学 人教版2021·基础模块上册 5.2.1任意角三角函数的定义（教案）

5.2.1  任意角三角函数的定义

课  型

新授课

课  时

1

授课班级

授课时间

授课教师

教材分析

教材来源：“十四五”职业教育国家规划教材，人民教育出版社出版，高中一年级基础模块上册第五章；

教材内容：角的概念的推广及其度量、任意角的三角函数、三角函数的图象和性质；

地位与作用：本章内容为高中一年级基础模块上册第五章，系学生高中数学的重点内容，高考中的必然考查部分，难度适中，主要学习角的概念的推广及其度量、任意角的三角函数、三角函数的图象和性质.通过本章内容学习，学生应初步掌握任意角三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角公式、倍角公式、函数y=f(sinx)的最值、正弦型函数图象和性质及定理的应用.

学情分析

1. 14~16岁年龄段学生身心都有较大程度发展，情感更加丰富，认知发展变化迅速，逻辑思维、记忆能力逐步提高；
2. 通过任意角三角函数的定义学习，理解锐角三角函数、任意角的三角函数（余弦函数、正弦函数、正切函数）的概念；掌握正弦、余弦与正切在各象限的符号特征；理解单位圆、三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）的概念，明确利用三角函数线求解角的正弦、余弦和正切值的方法；
3. 职教高考学生在初中学业水平偏弱，因此在本节课教学中需通过复习初中所学锐角三角函数的概念，进而推广至任意角范围，明确利用三角函数线求解角的正弦、余弦和正切值的方法.

学习目标

1. 理解锐角三角函数、任意角的三角函数（余弦函数、正弦函数、正切函数）的概念.理解单位圆、三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）的概念；
2. 学生运用分组探讨、合作学习，掌握正弦、余弦与正切在各象限的符号特征，明确利用三角函数线求解角的正弦、余弦和正切值的方法，提高学生的数学运算能力；
3. 通过本节课学习，使学生养成乐于学习、勇于探索的良好品质。

学习重难点

1. 理解锐角三角函数、任意角的三角函数（余弦函数、正弦函数、正切函数）的概念；
2. 理解单位圆、三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）的概念；
3. 掌握正弦、余弦与正切在各象限的符号特征，明确利用三角函数线求解角的正弦、余弦和正切值的方法.

教学方法

讲授法、谈话法、谈论法

课前准备

教师：认真备课，设计教学方法，创设问题情境，做好授课过程中出现的突发状况预案；

学生：认真预习教材，标记预习中不清楚、模糊的知识点，准备笔记本；

教学媒体

教学课件PPT、多媒体展板

教学过程

第一课时

教学环节

教师活动设计

学生活动设计

设计意图

活动一：

创设情境

生成问题

1．任意角三角函数的定义

在初中，通过相似直角三角形的讨论，我们知道给定了一个锐角，分别唯一确定了这个角的正弦、余弦和正切的值，这就说正弦、余弦和正切都是锐角的函数．锐角的正弦、余弦和正切函数，统称为锐角三角函数．

根据问题思考，

并尝试利用初中所学知识解答。

通过创设问题情境，使学生回忆初中所学知识，并引出本节课所讲内容。

活动二：

调动思维

探究新知

问题情境:

当我们把锐角的概念推广为转角后，我们如何定义任意角的三角函数呢？

如图5-10所示，已知任意角α，以角α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为x轴的正方向，建立平面直角坐标系xoy，并且使∠xoy =90°.

以O为圆心，任作两个大小不同的同心圆与角α的终边交于点P(x,y), P′( x′, y′)，设 r = OP ,r′= OP′，由相似三角形对应边成比例，得

由于 P ,P′在同一象限内，所以它们的坐标符号相同，因此得

所以当α不变时，这三个比值不论点P在α的终边上的位置如何，它们都是定值，只依赖于α的大小，与点 P 在α终边上的位置无关.即当点 P 在α的终边上变化时，这三个比值始终等于定值，因此我们定义：

称为角α的余弦，记作cosα，即cosα=；

称为角α的正弦，记作sinα，即sinα=；

称为角α的正切，记作tanα，即tanα=.

其中，.依照上述定义，对于每一个确定的角α，都分别有唯一确定的余弦值、正弦值、正切值与之对应，所以这三个对应关系都是以α为自变量的函数，分别称为角α的余弦函数、正弦函数和正切函数．

由图5-10可以看出，当α为锐角时，上述所定义的三角函数，与在直角三角形中所定义的三角函数是一致的.

分组讨论，尝试概括问题情境中问题，理解任意角的三角函数的相关概念，掌握余弦函数、正弦函数和正切函数的计算法则

通过分组讨论方法，解答问题情境问题，理解任意角的三角函数的相关概念，掌握余弦函数、正弦函数和正切函数的计算法则，有利于提高学生动手动脑能力，使学习效率更高效

活动三：

巩固练习

素质提升

例 1. 已知角α的终边经过点P（2，-3），求sinα, cosα, tanα.

解   设x=2,y=-3,则.于是

，

，

          .

例2  求下列各角的正弦、余弦和正切值.

（1）0；（2）π；（3）.

解   (1) 角0的终边在x轴正半轴上，在x轴的正半轴上取点（1,0)，所以，因此 

(2）角π的终边在x轴负半轴上，在x轴的负半轴上取点（-1,0)，所以，因此

(3)角的终边在y轴负半轴上，在y轴的负半轴上取点（0,-1)，所以，因此

例3   求正弦、余弦和正切值.

解    如图5-11所示，在的终边上取点P，使OP=2．作PM⊥Ox ，则在Rt△OMP中，

            .

因此MP=1, QM=，从而可知P的坐标为（,1),因此

分组讨论，限时完成，学生上台黑板作答，并进行讲解

鼓励学生勇于展示自己，提高学生对知识的准确认识，调动学生的课堂气氛与学习的积极性，培养学生对数学的热爱，巩固学生对本节课知识的掌握，纠正学习过程中的偏差

活动四：

调动思维

探究新知

2．正弦、余弦与正切在各象限的符号

问题情境

从定义与实例都可以看出，任意角的正弦、余弦与正切，都既有可能是正数，也有可能是负数，还可能为0．它们的符号与什么有关？试总结出任意角的正弦、余弦与正切符号的规律.

如果P(x ,y）是α终边上异于原点的任意一点，，则，由r＞0可知，sinα的正负与α终边上点的纵坐标的符号相同，所以，当且仅当α的终边在第一、二象限，或 y 轴正半轴上时，sinα＞0；当且仅当α的终边在第三、四象限，或y轴负半轴上时， sinα＜0.

用类似方法可以得到：

当且仅当α的终边在第一、四象限，或x轴正半轴上时，cosα＞0；当且仅当α的终边在第二、三象限，或x轴负半轴上时，cosα＜0.

当且仅当α的终边在第一、三象限时，tanα＞0；当且仅当α的终边在第二、四象限时，tanα＜0.

以上结果可用图5-12、图5-13、图5-14直观表示.

分组讨论，尝试概括问题情境中问题，理解并掌握任意角的余弦、正弦和正切在各象限的符号特征

通过分组讨论方法，解答问题情境问题，理解并掌握任意角的余弦、正弦和正切在各象限的符号特征，有利于提高学生动手动脑能力，使学习效率更高效

活动五：

巩固练习

素质提升

例 4  确定下列各值的符号.

（1）cos260°；      （2）；

（3）tan(-672°20′)；（4）.

解   (1）因为260°是第三象限角，所以cos 260°＜0；

（2）因为是第四象限角，所以＜0；

（3）由-672°20′=47°40′+(-2)×360°，可知

-672°20′是第一象限角，所以tan(-672°20′)＞0；

（4）由，可知是第三象限角，所以＞ 0.

Shi试一试：利用函数型计算器完成例4.

例5  设sin＜0且tan＞0，确定是第几象限角.

解   因为sin＜0，所以的终边在第三、四象限，或 y轴负半轴上；又因为tan＞0，所以的终边在第一、三象限.

因此满足sin＜0且tan＞0的是第三象限角.

分组讨论，限时完成，学生上台黑板作答，并进行讲解

完成教材右侧“试一试”中的要求

鼓励学生勇于展示自己，提高学生对知识的准确认识，调动学生的课堂气氛与学习的积极性，培养学生对数学的热爱，巩固学生对本节课知识的掌握，纠正学习过程中的偏差

活动六：

调动思维

探究新知

3．单位圆与三角函数线

一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足必x2＋y2 =1的点组成的集合称为单位圆.因此，如果角α的终边与单位圆的交点为P，由三角函数的定义可知，点 P 的坐标为

(cosα, sinα).

这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．

如图5-15所示，如果过角α终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，垂足为M，则有向线段（具有方向的线段） OM可以直观地表示cosα； OM 的方向与x轴的正方向相同时，表示cosα是正数，且cosα=OM；OM 的方向与x轴的正方向相反时，表示cosα是负数，且cosα=.习惯上，称OM为角α的余弦线.类似地，图5-15中的MP可以直观地表示sinα,因此称MP为角α的正弦线.

利用角的正弦线和余弦线，可以直观地看出角的正弦和余弦的信息，例如图5-15中，角的余弦线是ON，正弦线是NS，由此可看出 cos＜0, sin＜0，而且还可以看出

.

类似地，可知.

我们已经知道，如果α的终边不在y轴上，且 Q ( x,y）是α终边上异于原点的任意一点，则tanα=.可以看出，如果取坐标满足x=1的点Q，则tanα=y．因为x=1在平面直角坐标系中表示的是垂直于x轴且过 A (1,0)的直线，所以如果角α的终边与直线l的交点为Q(1, y )，则 tanα=y．

如图5-16所示，设角α的终边与直线x=1交于点T,则有向线段AT可以直观地表示tanα，因此AT称为角α的正切线．

不难看出，当角的终边在第二、三象限或x轴的负半轴上时，终边与直线x=1没有交点，但终边的反向延长线与x=1有交点，而且交点的纵坐标也正好是角的正切值，因此图5-16中角的正切线为AS，而且从图中可以看出

.

这就是说，角的正切等于角终边或其反向延长线与直线x=1的交点的纵坐标.

正弦线、余弦线与正切线都称为三角函数线.

分组讨论，理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线概念，并学会运用角的正弦线、余弦线、正切线判断两角间正弦值、余弦值的大小关系

通过分组讨论方法，理解单位圆概念及意义，解答问题情境问题，并学会运用角的正弦线、余弦线、正切线判断两角间正弦值、余弦值的大小关系，有利于提高学生动手动脑能力，使学习效率更高效

活动七：

巩固练习

素质提升

例 6  作出和的正弦线、余弦线和正切线，并利用三角函数线求出它们的正弦、余弦和正切值.

解    如图5-17所示，在平面直角坐标系中作出单位圆以及直线x=1，单位圆与x轴交于点A(1,0).

作的终边与单位圆的交点P，过P作x轴的垂线，垂足为M；延长线段PO，交直线x=1于T，则的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.

类似可得到的正弦线为NR，余弦线为ON，正切线为AS.

在图5-17中，根据直角三角形的知识可知，

,

所以

；

.

分组讨论，限时完成，学生上台黑板作答，并进行讲解

鼓励学生勇于展示自己，提高学生对知识的准确认识，调动学生的课堂气氛与学习的积极性，培养学生对数学的热爱，巩固学生对本节课知识的掌握，纠正学习过程中的偏差

活动八：

课堂小结作业布置

（一）课堂小结

（二）作业布置

完成课本中P158  ——   A组1./3.

B组1./3.

活动九：

板书设计

5.2.1 任意角三角函数的定义

一、概念                                                  例题                 小结  

二、三角函数值在各象限符号                                练习                 作业

三、单位圆与三角函数线

活动十：

教学反思

（留白）

教学反思包括5个方面，教学目标、教学内容、教学实施、教学评价、教学效果。所谓教学反思，是指教师对教育教学实践的再认识、再思考，并以此来总结经验教训，进一步提高教育教学水平。教学反思一直以来是教师提高个人业务水平的一种有效手段，教育上有成就的大家一直非常重视之。