【中职专用】高中数学 人教版2021·基础模块上册 5.3.1正弦函数的图象和性质（教案）

5.3.1  正弦函数的图象和性质

课  型

新授课

课  时

1

授课班级

授课时间

授课教师

教材分析

教材来源：“十四五”职业教育国家规划教材，人民教育出版社出版，高中一年级基础模块上册第五章；

教材内容：角的概念的推广及其度量、任意角的三角函数、三角函数的图象和性质；

地位与作用：本章内容为高中一年级基础模块上册第五章，系学生高中数学的重点内容，高考中的必然考查部分，难度适中，主要学习角的概念的推广及其度量、任意角的三角函数、三角函数的图象和性质.通过本章内容学习，学生应初步掌握任意角三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角公式、倍角公式、函数y=f(sinx)的最值、正弦型函数图象和性质及定理的应用.

学情分析

1. 14~16岁年龄段学生身心都有较大程度发展，情感更加丰富，认知发展变化迅速，逻辑思维、记忆能力逐步提高；
2. 通过正弦函数的图象和性质学习，理解正弦曲线的概念，认识正弦函数的图象及正弦函数图象的研究方法，掌握正弦函数的性质，学会正弦函数值域、周期、最值、奇偶性、单调性的求解及其证明方法；
3. 职教高考学生在初中学业水平偏弱，因此在本节课教学中需通过复习所学函数的定义的分析方法，引出正弦函数的图象及正弦曲线，利用正弦线理解正弦函数的性质，使同学们掌握正弦函数的性质求解方法为高考奠定基础.

学习目标

1. 理解正弦曲线的概念，认识正弦函数的图象及正弦函数图象的研究方法；
2. 学生运用分组探讨、合作学习，掌握正弦函数的性质，学会正弦函数值域、周期、最值、奇偶性、单调性的求解及其证明方法，提高学生的数学运算能力；
3. 通过本节课学习，使学生养成乐于学习、勇于探索的良好品质.

学习重难点

1. 理解正弦曲线的概念，认识正弦函数的图象及正弦函数图象的研究方法；
2. 掌握正弦函数的性质；
3. 学会正弦函数值域、周期、最值、奇偶性、单调性的求解及其证明方法.

教学方法

讲授法、谈话法、谈论法

课前准备

教师：认真备课，设计教学方法，创设问题情境，做好授课过程中出现的突发状况预案；

学生：认真预习教材，标记预习中不清楚、模糊的知识点，准备笔记本；

教学媒体

教学课件PPT、多媒体展板

教学过程

第一课时

教学环节

教师活动设计

学生活动设计

设计意图

活动一：

创设情境

生成问题

问题情境：根据正弦函数的定义可知，任意给定一个角α，唯一确定一个正弦值 sinα.习惯上，我们用x表示角α的弧度数（自变量）, y 表示因变量，于是正弦函数可记作

           y = sinx, x∈R ,

其中x表示角的弧度值函数的定义域是实数集 R .

根据问题思考，

并尝试利用初中所学知识解答。

通过创设问题情境，使学生回忆初中所学知识，并引出本节课所讲内容。

活动二：

调动思维

探究新知

1．正弦函数的图象

下面我们利用单位圆中的正弦线，来作正弦函数的图象。

在平面直角坐标系的x轴上任取一点 O1 ，以 O1 为圆心作单位圆（图5-22)，从这个圆与x轴的交点 A 起，把圆分为12等份（等份越多，作出的图象越精确）.

过圆上各分点分别作 x 轴的垂线，可以得到孤度为0,,,，2π的角的正弦线（例如 O1B 是角的正弦线）.相应地，再把x轴上0~2π这一段（取2π≈6.28）分成12等份，每个分点分别对应于 x =0, , ,，2π，分别过这些分点作这些弧度数对应的正弦线，再用光滑的曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到正弦函数

        y = sin x , x∈[0,2π]

的图象．

由于弧度值为x+k·2π的角与弧度值为x的角的终边相同，所以它们的正弦值相等，即

 sin(x+k·2π)= sin x（k∈Z） ,

所以正弦函数 y = sin x 在 x∈[-2π,0], x∈[2π,4π], x∈[4π,6π]…时的图象与 x∈[0,2π]的形状完全一样，只是位置不同，因此我们把y =sin x在x∈[0,2π]的图象，沿轴平移±2π，±4π，…就可得y= sin x , x∈R 的图象（图5-23).

正弦函数 y = sin x , x∈R的图象称为正弦曲线.  

探索研究

在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？

由图5-23，可以看出下面五点：

(0,0),（,1),(π，0),（,-1),(2π,0),

在确定图象形状时起着关键的作用.这五点描出后，正弦函数 y = sin x , x∈[0,2π]的图象形状基本上就确定了.

因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这关键的五个点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就得到相应区间内的正弦函数的简图.

今后，我们作正弦函数的简图，一般都可以像这样先找出确定图象形状的关键的五个点，然后描点作图，这种作图方法称为五点法.

2．正弦函数的性质

探索研究

观察单位圆中的正弦线（图5-24）或正弦函数的图象，你发现正弦函数有哪些性质？

（1）值域

因为在单位圆中，正弦线的长都小于或等于半径的长1，所以即-1≤sin x≤1，这就是说，正弦函数的值域是［-1,1].

函数 y = sin x ，在x=+2kπ(k∈Z）处取最大值1，在x=-+2kπ(k∈Z）处取最小值﹣1.

(2）周期性

因为

sin(x+k·2π)= sin x（k∈Z） ,

所以每个正弦函数值每隔2π将重复出现.

一般地，对于函数 y = f（x），如果存在一个不为0的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，有

 f(x+T)=f(x)

都成立，则把函数 y = f(x）称为周期函数，这个不为0的常数T，称为这个函数的周期．

例如，对于正弦函数 y = sin x (x∈R ),2π,4π，… -2π,-4π，…都是它的周期.对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中，存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数称为最小正周期，例如，2π是正弦函数   y = sin x 的最小正周期.

正弦函数 y = sin x (x∈R )是周期函数，2kπ(k∈Z ,k≠0）都是它的周期，2π是它的最小正周期，以后我们说到三角函数的周期，一般指的都是最小正周期．

(3）奇偶性

因为 sin（-x)=-sin x，所以正弦函数

y = sin x (x∈R )

是奇函数．

因此，正弦函数的图象关于坐标原点对称.

(4）单调性

由单位圆的正弦线可以看出，当x由增加到，时，sin x 由﹣1增加到1；当x由增加到时，    sin x 由1减小到-1，这种变化情况如下表所示：

由正弦函数的周期性可知：

正弦函数 y = sin x ，在每一个闭区间

上，都从﹣1增大到1，是增函数；在每一个闭区间

上，都从1减小到-1，是减函数．      

分组讨论，尝试概括问题情境中问题，理解正弦函数概念及研究方法，学会五点法绘制函数图象简图方法，掌握正弦函数性质的求解证明方法（值域、周期、最值、奇偶性），学会灵活运用

通过分组讨论方法，解答问题情境问题，理解正弦函数概念及研究方法，掌握正弦函数性质的求解证明方法，有利于提高学生动手动脑能力，使学习效率更高效

活动三：

巩固练习

素质提升

例 1. 作函数y= sin x,x∈[0,2π]的简图.

解   列表：

描点作图（图5-25):

例2  求使函数 y = 2+sin x 取最大值、最小值的x的集合，并求这个函数的最大值、最小值和周期．

解   因为使函数 y = sin x 分别取最大值与最小值的 x 的集合，就是使函数y =2+sin x 分别取最大值、最小值的 x 的集合，所以函数 y =2+sin x 取最大值、最小值的的集合分别是：

,.

且

ymax=2+1=3，

ymin=2-1=1.

函数 y=2+sin x 与 y=sin x的周期相同，都是2π.

例3    不求值，比较下列各对正弦值的大小：

（1）；

（2）.

解  （1）因为，且正弦函数在区间上是增函数，所以 ；

（2）因为，且正弦函数在区间上是减函数，所以. 

信息技术

在GeoGebra软件中输入函数的解析式就可以很方便地作出函数的图象，下面是正弦函数 y = sin x 的图象和函数 g(x)= sin x-1的图象（图5-26),观察它们之间有什么联系和区别．

分组讨论，限时完成，学生上台黑板作答，并进行讲解

尝试运用信息技术绘制函数图象，观察各函数间的联系

鼓励学生勇于展示自己，提高学生对知识的准确认识，调动学生的课堂气氛与学习的积极性，培养学生对数学的热爱，巩固学生对本节课知识的掌握，纠正学习过程中的偏差

活动四：

课堂小结作业布置

（一）课堂小结

（二）作业布置

完成课本中P176  ——   A组1. /2./3.

B组3.

活动五：

板书设计

5.3.1 正弦函数的图象和性质

一、正弦函数概念                                       例题                 小结  

二、正弦函数的图象                                     练习                 作业

三、正弦函数的性质

活动六：

教学反思

（留白）

教学反思包括5个方面，教学目标、教学内容、教学实施、教学评价、教学效果。所谓教学反思，是指教师对教育教学实践的再认识、再思考，并以此来总结经验教训，进一步提高教育教学水平。教学反思一直以来是教师提高个人业务水平的一种有效手段，教育上有成就的大家一直非常重视之。