专题二     不等式性质及应用专题测试

一、单选题（本大题共10小题，共50.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知，，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】

B 

【解析】

【分析】

本题考查作差法比较两数的大小，属于基础题．
结合作差法求解即可．

【解答】

解：因为，

所以．

故选：

2.  设，，则与的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D. 与有关

【答案】

A 

【解析】

【分析】

本题主要考查比较大小的方法，常用作差法，是基础题．

【解答】

解：，，则，故．

3.  已知实数满足，则下列不等式中成立的是                (    )

A.  B.  C.  D.

【答案】

B 

【解析】

【分析】

本题考查不等式的性质，运用举实例，作差法是关键．属较易题．
根据不等式的性质判断，根据举实例判断，根据作差法判断．

【解答】

解：、，，，A错误，
B、，，
则，B正确，
C、当，，时，，，，C错误，
D、当，，时，，，，D错误，
故答案选：．

4.  设，，则有(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】

A 

【解析】

【分析】

本题考查了作差比较法的运用，配方法的运用，考查了计算能力，属于基础题．
作差即可得出，显然，然后即可得出，的大小关系．

【解答】

解：
，
．
故选：．

5.  已知，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】

A 

【解析】

【分析】

本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．
对原式进行化简，利用基本不等式求最值即可，注意等号取得的条件．

【解答】

解：，则 ，
当且仅当，即时，等号成立，
则的最小值为．
故选A．

6.  不等式的解集是，则的解集是(    )

A.  B.
C.  D.

【答案】

C 

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次不等式的求解，属于基础题．
由题意可得方程的两根分别为，；即可求出，代入不等式，即可求得解集．

【解答】

解：因为不等式的解集为，
所以方程的两根分别为，；
则，解得，
代入不等式得，
即，
解得，
即不等式解集为．
故选C．

7.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】

D 

【解析】

【分析】

本题考查交集及其运算，考查一元二次不等式的解法，是基础题．
求解一元二次不等式可得集合，再由交集运算得答案．

【解答】

解：集合，
，
则，
故选：．

8.  若一元二次不等式的解集为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】

C 

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．

【解答】

解：由题意可知，得 ，
此时不等式的解集为，则的值为．
故选C．

9.  若不等式的解集为空集，则的取值范围是(    )

A.  B. ，或
C.  D. ，或

【答案】

A 

【解析】

【分析】

本题考查一元二次不等式的恒成立问题，由不等式的解集为空集，可得，解得即可．

【解答】

解：由不等式的解集为空集，
得不等式恒成立，
则，解得．
故选A．

10.  已知不等式的解集为，且不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】

D 

【解析】

【分析】

本题主要考查了一元二次不等式与相应方程的关系，不等式恒成立问题，属于基础题．
由一元二次不等式的解法求出，利用恒成立得出关于的不等式，求出的范围．

【解答】

解：由题意得：，

则不等式，
即对于任意的恒成立，

等价于或，

解得：．
则实数的取值范围为

故选D．

二、填空题（本大题共10小题，共50.0分）

11.  给出四个条件：

，，，能得出成立的有          填序号

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键，属于基础题．
由不等式的基本性质可直接判断出； 的两边都乘以即可判断出答案．

【解答】

解：若，则，故正确；
若，则，，即故正确；
若，则，故不能推出，因此不正确；
若，则，即，故正确． 
因此其中能推出成立的是．
故答案为 

12.  若，则下列不等式：

中，正确的不等式有          填序号

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查不等式的性质，考查推理能力，属于基础题．
由已知得，，且，然后逐个判断即可．

【解答】

解：若，则，，且，
则，，故正确
令，，则显然，故错误
因为，故错
由于，，且，则，故正确，
故答案为．

13.  已知一元二次方程有一个根比大，另一个根比小，则实数的取值范围是          ．

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查一元二次方程根的分布，属于基础题．
结合二次函数的图象与性质判断求解．

【解答】

解：令函数  ，则其图象开口向上，顶点坐标为  ，对称轴是  ，若二次函数  有两个零点，则必有一个零点小于，即小于，要使另一个零点比大，则需满足  ，解得  ，即  时，二次方程  有一个根比大，另一个根比小所以满足题意的实数的取值范围是  ．

故答案为：  ．

14.  若正数，满足，则的最小值为          ．

【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题．
可对式子乘以，也即乘以，再使用基本不等式即可求出答案．

【解答】

解：正数，满足，
，
当且仅当，也即当时取“”．
故答案为：．

15.  函数的最小值为           ．

【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，属于基础题．
利用换元法，然后结合基本不等式即可求解．

【解答】

解：因为，设，则，
，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值．
故答案为：．

16.  已知命题：，，若命题为假命题，则实数的取值范围是          ．

【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查存在量词命题及全称量词命题、真假命题以及二次不等式恒成立问题的应用，属于中档题．
通过题设条件将命题转化为不等式恒成立问题，得出关于的不等式求解出的取值范围即可．

【解答】

解：因为命题为假命题，所以为真命题，
即不等式在上恒成立，
所以应满足，
解得．
故使命题是假命题的实数的取值范围是．

17.  已知若对任意的，均有 或，则的取值范围是          ．

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查一元二次不等式恒成立问题，属于基础题．
由，得，由此可知在上恒成立，结合二次函数的性质求解即可．

【解答】

解：因为，

令，解得，

又因为对任意的，或，

所以在上恒成立，

易得时，不满足；

故由二次函数的性质可知

解得，

所以的取值范围是．

故答案为：．

18.  “，”是假命题，则实数的取值范围为          ．

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查一元二次不等式恒成立问题，存在量词与存在量词命题，是较易题．
根据题意可得：“，”是真命题，结合一元二次不等式在实数集上的恒成立问题理解运算，注意分类讨论和．

【解答】

解：由题意可得：“，”是真命题，

当时，则恒成立，符合题意

当时，则，解得，

综上所述：实数的取值范围为．

故答案为：．

19.  一元二次不等式的解集是           ．

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次不等式的解法问题，属于基础题．
把不等式化为，求出解集即可．

【解答】

解：一元二次不等式化为，
解得或，
不等式的解集是．
故答案为．

20.  设，写出“”的一个充分条件：          ．

【答案】

答案不唯一 

【解析】

【分析】

本题主要考查充分条件的判断，属基础题．
根据，结合充分条件的定义即可得到结论．

【解答】

解：，
所以为“”的一个充分条件，
故答案为答案不唯一．
 

三、解答题（本大题共10小题，共120.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.  本小题分
已知，，试比较与的大小．

【答案】

解：，
又，，，．
，．
． 

【解析】本题考查代数式的大小比较，以及不等式的性质的应用．
把要比较的式子作差得，根据条件，，可得此差大于，故．
 

22.  本小题分
比较与的大小．
已知，，比较与的大小．

【答案】

解：因为

，
所以；
，
因为，，
所以，，
所以，
所以． 

【解析】本题主要考查了作差法比较大小，不等式的性质，属于基础题．
根据题意作差可得，即可得到结果．
根据题意作差可得，利用不等式的性质，可知，即可得到结果．
 

23.  本小题分

已知，，求证：．

【答案】

证明  ，
成立．
故得证． 

【解析】本题考查作差法比较大小，考查运算化简的能力，属于基础题．
 

24.  本小题分

已知，求的最小值；

已知，求的最大值．

【答案】

解：因为，所以，

所以，

当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．

解：因为，所以，

当且仅当，即时取等号，故的最大值为．

【解析】本题考查利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时注意“一正、二定、三相等”的应用，属于基础题目．
由的取值范围得出，然后利用基本不等式求出的最小值；
本题考查利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时注意“一正、二定、三相等”的应用，属于基础题目．
由，得到利用基本不等式求出最大值．
 

25.  本小题分

已知，，且．

求的最大值；

求的最小值．

【答案】

解：因为，，所以， 
即当且仅当取到等号．
又，所以当，时，的最大值为．

因为，，且  ，
当且仅当即取到等号．
  又，所以当，时，的最小值为．

【解析】本题考查了基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
由，，且利用基本不等式即可得出的最大值；
由，，利用乘“”法，根据基本不等式即可得出．
 

26.  本小题分

已知函数．

当时，求不等式的解集；

若不等式的解集为，求实数的取值范围．

【答案】

解：当时，，

不等式即为，

即，故不等式的解集为；

由题意得的解集为，

当时，即时，
不等式化为，
该不等式的解集为，不符合题意，舍去；

当时，根据二次函数图象特征知，开口向上且，

即，解得．
综上所述，实数的取值范围是．

【解析】本题考查一元二次不等式的解法与应用问题，考查了不等式恒成立问题，属于基础题．

直接求解一元二次不等式即可；
讨论二次项系数是否为，根据的解集为可得范围．

27.  本小题分

若不等式的解集为．

求的值；

求不等式的解集．

【答案】

解：由题意可得：，且和为方程的两根，
将代入方程可得：，解得经验证符合题意．
所以．
由可得不等式为，
所以，即，
解得或，
故不等式的解集为或． 

【解析】本题考查一元二次不等式解集与相应一元二次方程根的关系，以及一元二次不等式解法，属于基础题．
由题意知：，且，是方程的两根，直接将代入可解得的值．
由可得不等式为，即可化为，求解即可．
 

28.  本小题分

已知函数，不等式的解集为．

求实数，的值；

若关于的不等式对恒成立，求实数的取值范围

【答案】

解：由题意可得，是方程的两根，
则，，
解得，；
由可得，
关于的不等式对恒成立，
即为恒成立，
由，即，
解得，
即的取值范围是． 

【解析】本题考查二次函数与二次方程、二次不等式的关系，以及韦达定理的运用和不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
由题意可得，是的两根，运用韦达定理，可得，的值；
由题意可得恒成立，运用判别式小于等于，解不等式可得所求范围．
 

29.  本小题分

已知函数．

若在上恒成立，求实数的取值范围；

若在上恒成立，求实数的取值范围．

【答案】

解：由题意，，解得．
实数的取值范围为．
令，其图象的对称轴为直线．
由不等式在上恒成立，可得，
解得．
实数的取值范围为． 

【解析】本题主要考查了由不等式的恒成立求解参数范围问题，体现了转化思想的应用．
由已知函数问题转化为求解一元二次不等式，即可求解的范围；
利用一元二次函数的性质可求．
 

30.  本小题分

南京外国语学校期末给出如下三个条件：，，请从中任选一个补充到横线上．

已知集合，_________是否存在实数，使得“”是“”的必要不充分条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

【答案】

解：， 
若“”是“”的必要不充分条件，则集合是的真子集． 
选  ，则或，解得，  即的取值范围为 
选  ，则或，无解， 
所以不存在实数，使得“”是“”的必要不充分条件． 
选 ，则或，无解． 
所以不存在实数，使得“”是“”的必要不充分条件． 

【解析】将“”是“”的必要不充分条件转化为集合是的真子集是解题关键．