【中职专用】高中数学人教版2021 基础模块 上册 复习大串讲 专题03指数函数与对数函数（知识点串讲）-

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专题三     指数函数与对数函数 考点1　幂函数的概念一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．考点2　幂函数的图象和性质1．幂函数的图象在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示：2．幂函数的性质 y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在(－∞，＋∞)上单调递增在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，＋∞)上单调递增在[0，＋∞) 上单调递增在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减定点(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)考点3　指数函数的概念一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1)叫作指数函数，它的定义域是R考点4　指数函数的图象和性质 a>10<a<1图象性质定义域R值域(0，＋∞)定点图象过点(0,1)，图象在x轴的上方函数值的变化x>0时，y>1；x<0时，0<y<1x>0时，0<y<1；x<0时，y>1单调性在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数奇偶性非奇非偶函数  考点5　指数型函数形如y＝kax(k∈R，且k≠0，a>0且a≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型．设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)．考点6　对数函数的概念一般地，函数y＝logax(a>0，a≠1)叫作对数函数，它的定义域是(0，＋∞)． 考点7　对数函数的图象与性质 a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1,0)在(0，＋∞)上是增函数当0<x<1时，y<0；当x>1时，y>0在(0，＋∞)上是减函数当0<x<1时，y>0；当x>1时，y<0考点8　反函数(1)对数函数y＝logax(a>0，a≠1)和指数函数y＝ax(a>0，a≠1)互为反函数，它们的图象关于y＝x对称．(2)一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f－1(x)．(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．(4)原函数y＝f(x)的定义域是它的反函数y＝f－1(x)的值域；原函数y＝f(x)的值域是它的反函数y＝f－1(x)的定义域．考点9　图象变换(1)平移变换当b＞0时，将y＝loga x的图象向左平移b个单位，得到y＝loga(x＋b)的图象；向右平移b个单位，得到y＝loga(x－b)的图象．当b＞0时，将y＝loga x的图象向上平移b个单位，得到y＝logax＋b的图象，将y＝logax的图象向下平移b个单位，得到y＝logax－b的图象．(2)对称变换要得到y＝loga的图象，应将y＝loga x的图象关于x轴对称． 【题型一】函数的图象与性质1．识别函数的图象从以下几个方面入手(1)单调性：函数图象的变化趋势；(2)奇偶性：函数图象的对称性；(3)特殊点对应的函数值．2．指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a0＝1，loga1＝0.【例1】在同一直角坐标系中，与的图象大致是（    ）A．B．C． D．【例2】（多选题）已知函数，则关于函数说法正确的是（    ）A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称C．函数的最小值为1 D．函数在上单调递增【题型二】比较大小1．比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等．2．当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．3．比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后在各部分内再利用函数性质比较大小．【例1】已知，若，则下列各式中正确的是（    ）A． B．C． D．【例2】（多选题）若，则下列结论一定正确的是（ ）A． B．C． D． 【例3】已知，则a，b，c的大小关系是___________.【题型三】分类讨论思想1．研究函数的性质要树立定义域优先的原则．2．对于指数函数、对数函数含参数的问题，要根据底中参数的取值进行分类讨论．【例1】已知函数（a是常数）.（1）当a=1时，求证以下两个结论∶（i）f（x）为增函数（用单调性的定义证明）.（ii）f（x）的图像始终在的图像的下方.（2）设函数，若对任意，总有成立，求a的取值范围.【例2】已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若对任意的，不等式恒成立，求的最大值.（3）对于函数，若，，，，，，满足，则为“可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，求正实数的取值范围.【题型四】指数函数中的不等式问题已知函数，若，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．变式练习：若f（x）是R上奇函数，满足在（0，+∞）内，则xf（x）＞0的解集是（　　）A．{x|x＜﹣1或x＞1} B．{x|x＜﹣1或0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0或x＞1} D．{x|﹣1＜x＜0或0＜x＜1}【题型五】指数函数中的参数问题函数的图象如图所示，其中，为常数，则下列结论正确的是（    ）A．， B．，C．， D．，变式练习：已知函数，，若，，对任意的，总存在，使得，则实数b的取值范围是（    ）A．[1，7] B．[5，9] C．[4，6] D．[5，7]【题型六】对数函数过定点问题函数（，且）的图象一定经过的点是（    ）A． B． C． D．变式练习：已知函数（且）的图象恒过定点P，点P在幂函数的图象上，则（    )A． B．2 C．1 D．【题型七】对数函数的定义域问题下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是（    ）A． B． C． D．变式练习：已知函数，则（    ）A． B． C． D．【题型八】对数函数的值域问题已知函数在上的值域为，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．变式练习：下列各函数中，值域为的是（    ）A． B．C． D．