专题六     圆的方程

知识点一   圆的定义

圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.

知识点二   圆的标准方程

知识点三   圆的一般方程

知识点四   二元二次方程与圆的方程

1.二元二次方程与圆的方程的关系：

二元二次方程，对比圆的一般方程，

，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程.

2.二元二次方程表示圆的条件：

二元二次方程表示圆的条件是.

知识点五   点与圆的位置关系

圆的标准方程为一般方程为.平

面内一点到圆心的距离为.

知识点六   与圆有关的最值问题

1.与圆的几何性质有关的最值问题

2.与圆的代数结构有关的最值问题

知识点七   直线与圆的位置关系

知识点八   相切→求切线方程

  过定点作圆的切线，则切线方程为：

知识点九   相交→求弦长

弦长公式：直线与圆相交于两点，则（为圆心到直线的距离）.

知识点十   圆与圆的位置关系

  两圆的半径分别为，两圆的圆心距为，则两圆的位置关系及其判断方法为：

知识点十一   两圆的公共弦

  1.公共弦方程：将两圆的方程作差，所得到的直线方程就是两圆的公共弦方程.

2.公共弦长：取其中一个圆，利用圆的弦长公式即可求出.

1．已知一个圆的方程满足：圆心在点，且过点原点，则它的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用条件求出半径，再根据圆的标准方程求解.

【详解】设圆的半径为，因为圆心是，且过点，所以，所以半圆的方程为，

故选：D.

2．圆的圆心坐标和半径长分别为(      )

A．和2 B．和

C．和1 D．和

【答案】D

【分析】根据圆的标准方程理解判断.

【详解】由圆的方程，可知圆心为，半径.

故选：D.

3．已知圆，则圆心及半径分别为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求得圆的标准方程，进而求得圆心和半径.

【详解】圆，

即，

所以圆心为，半径为.

故选：A

4．圆的圆心坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将圆的一般方程配方得到圆的标准方程，即可求解.

【详解】将配方得，

所以圆心坐标为，

故选：D．

5．直线被圆截得的弦长为2，则半径（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【分析】根据弦心距、半径和弦长的关系求解即可.

【详解】圆心到直线的距离，所以．

故选：D

6．直线与圆的位置关系为（    ）

A．相切 B．相交但直线过圆心

C．相交但直线不过圆心 D．相离

【答案】C

【分析】利用圆心到直线的距离和半径的大小关系即可判断直线与圆的位置关系.

【详解】圆的圆心为，半径为，

故圆心到直线的距离为，且圆心不在直线上，

所以直线与圆的位置关系为相交但直线不过圆心.

故选：C.

7．设圆，圆，则圆，的位置（    ）

A．内切 B．相交 C．外切 D．外离

【答案】D

【分析】根据两圆的一般方程化为标准方程得出其圆心与半径，根据两圆圆心距离与两半径和与差的比较即可得出答案.

【详解】圆，化为，圆心为，半径为；

圆，化为，圆心为，半径为；

两圆心距离为：，

，

圆与外离，

故选：D.

8．与两圆和都相切的直线有（    ）条

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】根据圆的标准方程确定两圆的圆心坐标和半径，由圆与圆的位置即可求解.

【详解】由题意知，，

所以圆心距,

所以两圆相离，公切线有4条.

故选：D.

9．若方程表示圆，则的取值范围是________．

【答案】

【分析】根据圆的一般方程的形式，列出关于不等式，即可求解.

【详解】由方程表示圆，则满足，

整理得，解得或，

即实数的取值范围是.

故答案为：.

10．圆的方程为，则该圆的半径为____________．

【答案】

【分析】将圆的方程化为标准式，即可求出圆的半径.

【详解】由可得，

所以圆心坐标为，半径.

故答案为：

11．直线与圆相交，所得的弦的长为__________.

【答案】

【分析】写出圆的标准方程，然后利用弦长公式计算即得.

【详解】因为圆即：，

则圆心到直线的距离：，

由弦长公式可得弦长为：.

故答案为：.

12．已知圆.若圆心到直线的距离为1，则直线的方程为__________.（写一个即可）.

【答案】（答案不唯一，符合题意即可）

【分析】根据直线与圆的位置关系写出符合题意的答案即可.

【详解】由题意知直线与圆相切，所以直线的方程可以为.

故答案为：（答案不唯一，符合题意即可）.

13．圆与圆的公共弦长等于______.

【答案】

【分析】两圆相减得出公共弦所在直线方程，再根据勾股定理计算公共弦长

【详解】联立,得公共弦所在直线方程为.

圆心到距离

所以公共弦长为

故答案为：

14．圆和圆的相交弦所在的直线方程为______．

【答案】

【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程.

【详解】将圆和圆的方程作差，消去、项可得，即.

因此，圆和圆相交弦所在直线的方程为.

故答案为：.