专题七     直线与圆的位置关系及应用

知识点1 直线与圆的三种位置关系及判定：

三种位置关系：相离、相切、相交.

根据与的关系判断(为圆心到直线的距离，为圆的半径)

相离没有公共点 ;

相切只有一个公共点

相交有两个公共点

知识点2  圆的切线方程的常用结论

①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2；

②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；

③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.

知识点3  直线与圆的弦长

弦长公式：(是圆的半径，是圆心到直线的距离).

利用垂径定理及勾股定理可以得到.

【题型1】直线与圆的位置关系

【典题1】已知直线与圆有两个不同的交点，则k的取值范围是___________．

【答案】

【分析】根据圆心到直线的距离公式即可求解.

【详解】圆心为半径为，故圆心到直线的距离满足，解得，

故答案为：

【典题2】直线与圆的位置关系是___________.（选填“相交”、“相切”、“相离”）

【答案】相交

【分析】由圆心到直线的距离与半径的关系判断即可.

【详解】圆心到直线的距离为，则直线与圆的位置关系是相交.

故答案为：相交

【典题3】当C为何值时，直线与圆有两个公共点？一个公共点？无公共点？

【答案】答案见解析

【分析】利用圆心到直线的距离与半径的大小关系，判断结果．

【详解】圆的圆心坐标，

半径，则圆心到直线的距离，

当时，即时，直线与圆相切，有一个公共点；

当时，即时，直线与圆相交，直线与圆有两个公共点；

当时，即或时，直线与圆没有公共点．

【题型2】直线与圆的相切问题

【典题4】若过点，且与圆相切的直线方程为（    ）

A． B．或

C． D．或

【答案】D

【分析】验证点在圆外，然后讨论切线斜率存在与不存在两种情况即可解决.

【详解】圆的圆心是 ，半径是 ，

把点的坐标代入圆的方程可知点P在圆外，

当直线斜率不存在时，

直线为 ，不满足题意；

当直线斜率存在时，

设直线为 ，即 ，

因为直线与圆相切，

所以圆心到直线的距离等于半径，即

，

解得 或 ，

切线为或 ，

故选：D.

【典题5】已知圆与直线相切，则（    ）

A． B．

C．，或 D．，或

【答案】A

【分析】由直线与圆相切，根据即可求得，要注意斜率为0的情况.

【详解】将化为标准形式为，所以圆心，半径，因为与直线相切，当时，不合题意；当时，由得，.

故选：A

【典题6】过点作圆的切线，切点为B，则(    )

A．2 B． C．3 D．

【答案】D

【分析】连接圆心C和点A，则△ABC是直角三角形，根据勾股定理即可求切线长.

【详解】，

故圆的圆心为C，半径r＝2，

故.

故选：D.

【题型3】直线与圆的弦长问题

【典题7】直线被圆所截得的弦长为（    ）

A． B．4 C． D．

【答案】C

【分析】利用圆的一般方程得出圆心坐标和半径，再结合点到直线的距离公式与勾股定理即可求解.

【详解】由题意知，圆心，圆C的半径为3，

故C到的距离为，

故所求弦长为．

故选：C

【典题8】直线截圆所得的弦长为，则实数的值为（    ）

A． B．1 C． D．3

【答案】A

【分析】根据弦长等于直径确定直线过圆心即可求解.

【详解】圆的圆心为，

半径，

因为直线截圆所得的弦长为，

所以直线经过圆的圆心，所以解得，

故选:A.

【典题9】已知圆方程：，则直线被圆截得的弦长为（   ）

A． B． C． D．8

【答案】B

【分析】求得圆心和半径，结合点到直线的距离公式以及勾股定理求得正确答案.

【详解】圆，即，

所以圆心，半径，

圆心到直线的距离为，

所以直线被圆截得的弦长为.

故选：B

【典题10】已知直线与圆交于，两点，则线段的长度为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】C

【分析】先求出圆心到直线的距离，然后根据弦的一半，圆心到直线的距离，半径构成直角三角形，用勾股定理解决.

【详解】的圆心为，半径

圆心到直线的距离为，则

.

故选：C