【中职专用】高中数学 （北师大版2021·基础模块上册） 2.3.3特殊类型一元二次不等式的解法（课件）

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第二单元 不等式 2.3.3特殊类型一元二次不等式的解法
在初中，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
问题提出 观察下列不等式： （x+1）（x-3）＜0； ① （x+1）（x-3）＞0； ② （x+1）（x-3）≤0； ③ （x+1）（x-3）≥0. ④ 求解并总结其解集的规律？
分析理解 以上四个不等式对应的二次函数为y=(x+1)(x-3)，对应的一元二次方程为（x+1)(x-3)=0．其解为x1=-1, x2=3．二次函数y=(x+1)(x-3）的图像与x轴有两个交点（-1,0),(3,0). 二次函数y=(x+1)(x-3）的简图如图2-7所示．
分析理解 结合二次函数y=(x+1)(x-3) 的简图，我们可以得到以下结论． （1）不等式（x+1)(x-3）＜0的解在方程（x+1)(x-3)=0的两解之间，解集为（-1,3)；
分析理解 （2）不等式（x+1)(x-3）＞0的解在方程（x+1)(x-3）=0的两解之外，解集为（-∞,-1)∪(3,+∞)； （3）不等式（x+1)(x-3）≤0的解在方程（x+1)(x-3）=0的两解之间，解集为［-1,3]； （4）不等式（x+1)(x-3）≥0的解在方程（x+1)(x-3)=0的两解之外，解集为（-∞,-1]∪[3,+∞).
抽象概括 一般地，一元二次方程（x-p)(x-q)=0（其中p,q为实数，并且p＜q）有两个不相等的实数解x1=p，x2=q，二次函数 y=(x-p)(x-q)的简图如图2-8所示． 观察二次函数y=(x-p)(x-q）的简图，可知下列结论成立．
（1）不等式（x-p)(x-q)＜0的解集为（p,q)； （2）不等式（x-p)(x-q)＞0的解集为（-∞,p)∪(q,+∞)； （3）不等式（x-p)(x-q)≤0的解集为［p,q]； （4）不等式（x-p)(x-q)≥0的解集为（-∞,p]∪[q,+∞).
例1 .解下列不等式． （1）(x+3)(x+1)＜0；（2）(6-x)(x+4)≤0.
解 （1）(x+3)(x+1)＜0，即［x-(-3)][x-(-1)]＜0. 所以不等式的解集为（-3，-1). （2）由（6-x)(x+4)≤0得（x-6)(x+4)≥0，即(x-6)[x-(-4)]≥0. 所以不等式的解集为（-∞,-4]∪[6,+∞).
例2 解下列不等式． (x+1)2≥4；(2)(2x-3)2＜9.
分析 由（x+1)2≥4得x2+2x+1≥4，即x2+2x-3≥0，从而可以利用二次函数y=x2+2x-3的图像进行求解；注意到4=22，也可以考虑将（x+1)2≥4整理为（x+1)2-4≥0，并使用平方差公式，即（x+1)2-22≥0,得到（x+3)(x-1)≥0，此时可以借助上面的结论直接求解，下面我们将使用后一种方法进行求解．
解 （1）由（x+1)2≥4得（x+1)2-22≥0, 从而 [(x+1)+2][(x+1)-2]≥0, 化简得（x+3)(x-1)≥0, 即 [x-(-3)](x-1)≥0, 所以不等式的解集为（-∞,-3]∪[1,+∞).
解 （2）由 （2x-3)2＜9得（2x-3)2-32＜0, 从而 [(2x-3)+3][(2x-3)-3]＜0, 化简得 2x(2x-6)＜0, 即 x(x-3)＜0, 即 (x-0)(x-3)＜0, 所以不等式的解集为（0,3).
P49，练习1.