【中职专用】高中数学 （北师大版2021·基础模块上册） 2.5.1不等式的简单应用（课件）

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第二单元 不等式 2.5.1不等式的简单应用
在初中，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
问题提出 尝试列举现实生活中存在的不等式实例，探索不等式应用中的求解方法？
例1 用篱笆在墙边围一块矩形小花坛，其中一边靠墙（如图2-12所示），篱笆总长为8m．若小花坛的面积不小于6m2，则小花坛垂直于墙的一边的长度范围是多少？
解 设小花坛垂直于墙的一边的长度为 x (m)，则与墙平行的一边的长度为（8-2x)m．考虑到实际情况，有x＞0，并且8-2x＞0，所以x满足0＜x＜4. 设小花坛的面积为S(m2)，则  S=x(8-2x), 整理得 S=-2x2+8x. 由题意得 S=-2x2+8x≥6，即x2-4x+3≤0.
解 画出二次函数 y=x2-4x+3的简图（如图2-13所示）. 由图像得不等式的解为{x|1≤x≤3}. 结合0＜x＜4，得 {x|0＜x＜4}∩{x|1≤x≤3}={x|1≤x≤3}. 所以小花坛垂直于墙的一边的长度在1m至3m之间（含1m和3m).
例2 某网店销售一种电动玩具，成本为10元/个，平时按单价20元销售，日平均销售量为100个．为进一步提升业绩，该网店决定在“双11”期间举办降价促销活动，根据以往的统计，如果该电动玩具的单价每降低1元，日平均销售量就会大约增加20个．为了使促销活动期间日平均利润不低于平时，应如何确定降价的范围？
分析 利润=（销售单价-成本单价）×销售量．降价过程中，单价降低能够使销售量变大，但也使销售单价与成本单价的差减小，所以降价的范围应保证利润不低于促销前.
解 假设降价 x 元，考虑到实际情况，价格的降幅应小于10元，即保证销售价高于成本价，所以要求 x＞0 并且 x＜10，即 0＜x＜10. 平时的日平均利润为（20-10)×100=1000（元）. 降价 x 元后，销售单价为（20-x）元，单个玩具的利润为（20-x)-10=(10-x）元，日平均销售量为（100+20x）个．因此，降价x元后的日平均利润为（10-x)(100+20x）元．
解 由题意得（10-x)(100+20x)≥1000. 化简得x2-5x≤0，即x(x-5)≤0. 所以不等式的解集为{x|0≤x≤5}. 由于0＜x＜10，所以 x 的范围是 {x|0＜x＜10} ∩ {x|0≤x≤5}，即{x|0＜x≤5}．所以降价的范围应在0至5元之间（含5元，不含0元）,即单价定在15元至20元之间（含15元，不含20元），便能满足要求．
合作交流 例2中，当x=＿元时，y最大，也就是说，降价＿＿元，即定价＿ 元时，利润最大，最大利润是＿元，与同学进行交流．
特别提示 由例1和例2可知，在解决与一元二次不等式有关的实际问题时，不仅要解一元二次不等式，而且要考虑实际背景对未知数的限制，在例1中，实际背景对未知数的限制是 0＜x＜4；在例2中，实际背景对未知数的限制是 0＜x＜10.
例 一农家旅社有客房300间，每间房租为30元时，天天都客满，如果每间房租每增加1元，每天客房出租数会减少5间，不考虑其他因素时，旅社将房间租金定为多少元时，可以保证每天客房的总租金不少于10000元（租金取整数）?
分析 每间房租增加x元时，每天客房租出会减少5x间．由每天客房的租金收入=每间房租×每天客房出租数，可计算出每天客房的租金收入，从而列出不等式．
解 设每间房租增加 x 元，则每间房租为（30+x）元，这时将有（300-5x）间客房租出，由客房租金收入不少于10000元可得 (30+x)(300-5x)≥10000, 整理得 x2-30x+200≤0,
解 不等式可化为 (x-10)(x-20)≤0, 解得 10≤x≤20. 由于40≤30+x≤50，故每间客房租金取大于等于40且小于等于50的整数时，每天租金的收人不少于10000元.
P57，练习1./2.