【中职专用】（高教版2021·基础模块上册） 高中数学 2.3一元二次不等式（教案）-

2.3一元二次不等式

课  型

新授

课  时

2

授课班级

授课时间

授课教师

教材分析

本节课是中职教材《基础模块上册》第二章第三节的内容，本节课是引导学生借助一元二次方程的根和二次函数的图像求解一元二次不等式。虽然学生在初中时学过一元二次方程和二次函数，但中职学校的学生底子薄，这学知识需要加强练习才行。所以一元二次不等式内容分为两课时，先掌握二次项系数大于0的不等式解法，再类比归纳总结学习二次项系数小于0 的解法。

学情分析

本节课通过复习旧知，借助一元二次方程的根和二次函数的图像的联系求解一元二次不等式，利用数形结合的方法让学生更好地理解，再结合练习题及时巩固所学知识，加深记忆。

学习目标

1.   了解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的图像之间的联系；
2.   掌握一元二次不等式的解法。

学习重难点

重点：一元二次不等式的解法；

难点：一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的图像之间的联系。

教学方法

通过自主学习和合作探究方法、让学生在问题情境中，经历知识的思考、归纳与理解的过程，培养学生正确的学习态度和学习方法。

课前准备

备学生、备教材、备教具

教学媒体

ppt

教学过程

第一课时

教学环节

教师活动设计

学生活动设计

设计意图

活动一：

创设情境

生成问题

1.一元二次方程的概念：

形式如 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的等式，含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，叫做一元二次方程。

通过对根的判别式b2-4ac的计算，能确定其根的个数：

请学生口答，复习前面所学知识，从最简单的知识入手，激发学生的学习兴趣，调动积极性。

提出问题，从简单的问题入手，提高学生学习的积极性和主动性。

活动二：

调动思维

探究新知

例1.   解方程x2-2x-3=0

总结：解一元二次方程的方法很多，上述两种方法是最常用的方法。方法一叫做十字相乘法；方法二叫做求根公式法x=−b±√b^2−4ac/2a.

2.二次函数的概念：

形式如 y=ax2＋bx＋c（a≠0）的等式，含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，叫做二次函数。

例2.画出函数y=x2-2x-3图像。

分析：第一步：判断x2-2x-3=0与x轴有几个交点（△的情况）

      第二步:  求出交点坐标.

     第三步：画图（a＞0，开口向上)。

当a＞0时，关于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0和二次函数y＝ax2＋bx＋c之间有下表所示结论：

观察表格中的图像，我们发现：图像在x轴上方的部分所对应的函数值y＞0，即ax2＋bx＋c＞0；图像在x轴上方的部分所对应的函数值y＜0，即ax2＋bx＋c＜0.

像这样，含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式，称为一元二次不等式．

上面不等式中的“＞”也可以换成“＜” “≥” 或“≤”.

一元二次不等式与一元二次方程、二次函数形式上很接近，关系很密切，我们能否借助它们之间的关系求解形如ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0这样的一元二次不等式呢？

下面分析： 一元二次不等式x2-2x-3＜0，和二次函数y=x2-2x-3、一元二次方程x2-2x-3=0之间的关系.

  如图(1)所示，二次函数y=x2-2x-3的图像与x轴交于两点，方程x2-2x-3=0的解是x1=-1,x2=3.也就是抛物线与x轴交点(-1,0)和(3,0)的横坐标．

可以看出：抛物线与x轴的两个交点将x轴分成了三部分.

如图(2)所示，当 -1 < x < 3 时，函数的图像位于x 轴的下方，此时 y < 0 .由此得到，不等式x2-2x-3＜0的解集为(-1,3)；

如图(3)所示，当 x<-1 或 x>3 时，函数的图像位于 x 轴
的上方，此时 y>0 .由此同样得到，不等式x2-2x-3＞0的解集为(-∞，-1)∪(3,+∞）.

例3   求下列一元二次不等式的解集：

(1)x2-x-6＜0;

解：（1）因为不等式的二次项系数1＞0，对应方程x2-x-6=0的解为x1=-1,x2=3.对应的二次函数的图像如图所示．

所以不等式x2-x-6＜0的解集为[-2,3]．

（2）x(x-3)≥0；

解：（2）因为不等式的二次项系数1＞0，对应方程x(x-3)=0                         的解为x1=0,x2=3，对应的二次函数的图像如图所示．

所以不等式的解集为(-∞,0]∪[3,+∞)．

（3）2x2-4x+3＜0；

解：（3）因为不等式的二次项系数2＞0，对应方程2x2-4x+3=0无实数根（△=(-4)2-4×2×3=-8＜0），对应的二次函数的图像如图所示：

所以不等式的解集为∅．

例1是复习的知识，可以让学生回答，或者板演，给学生思考的时间

调动学生动脑的积极性，引发学生思考，锻炼学生独立解决问题的能力

先找学生回答，让学生用自己的语言说一说，引起学生兴趣，更好地掌握知识。

先找学生回答，让学生用自己的语言说一说，引起学生兴趣，更好地掌握知识。

这个表格，可以挖空，让学生口答

做题步骤已经总结出来了，接下来例3讲解时，就可以让学生口述做题步骤，提高他们的注意力

学习知识就是为了应用知识，通过例题讲解，及时巩固学生已有的知识概念

复习旧知，引出新知

从而顺利引出今日所学区间的内容

复习旧知，为了更好地学习新知，为今天学习一元二次不等式起到铺垫作用

强调、引导、识记

注意引导，可以提问从不听课的学生，这很简单，他也会，也可以激发他学习的兴趣，感受数学学起来也不难。

提高所有学生学习的主动性，感受数学学习的乐趣，体会数学很简单的心情

提高学生注意力，加深印象，巩固知识

由于做题步骤有了，例3就变得很简单了，可以只讲解第一道题，其余两道题让学生到黑板上板演。

做这类题，一定要画图像分析问题，一定不要眼高手低，心算会出错的

活动三：

巩固练习

素质提升

1.不等式(x-2)(x-3)≥0的解集为（     ）

A.(-∞，2)∪(3，+∞)      B.(-∞，2]∪[3，+∞)       C.[2,3]        D.(2,3)

2.不等式x2-2x+1≤0的解集为（      ）

A.{1}      B.(-∞，1)∪(1，+∞)    C. R    D.∅

3.   x2−2x+1≤0；

4.   4x2−12x+9＞0；

让学生独立完成练习，找学生回答结果，

让学生感受知识所带来的快乐。

通过课堂练习的学习，使学生掌握一元二次不等式的求解方法，使知识内化。

查缺补漏

活动四：

课堂小结

作业布置

课堂小结：让学生自己说一说本节课的收获？

布置作业：

计算下列一元二次不等式的解集：

（1）5x2−x−6＞0；

（2）2x2−5x−3≤0；

（3）x2−2x+1＞0；

（4）4x2−12x+9＜0；

（5）x2−3x+5≥0.

活动五：

板书设计

                  2.3一元二次不等式（第一课时）

1.   复习一元二次方程的概念                例1
2.   复习二次函数的概念                    例2

总结一元二次不等式解法步骤：             例3

第二课时

教学环节

教师活动设计

学生活动设计

设计意图

活动一：

创设情境

生成问题

如何求解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＜0)？

当二次项系数a＜0时，由不等式的性质，不等式两边同乘−1，不等号方向改变，就可以将a＜0的情形转化为a＞0的情形，得到与原不等式同解的不等式，然后求解即可．

可先举具体的一元二次不等式的求解例子入手（a＞0），然后把a＞0改成a＜0的问题

提出问题，从上节课的学习类比归纳总结这类题的解法，提高学生学习的积极性和主动性。

活动二：

调动思维

探究新知

例4.求一元二次不等式-x2+4x-2＜0的解集。

解：①因为-1＜0，所以要将不等式两边同时乘-1，不等号的方向改变，

变形为x2−4x+2＞0 ，

②对应的x2−4x+2=0的方程△＞0有解，由求根公式得x1=2-√2,x2=2+√2。

③对应的函数图像如右图所示：

例5   若有意义，试求x的取值范围．

解：  要使有意义，x应该满足不等式3x^2−2x−1≥0 ；

因为不等式的二次项系数3＞0，对应方程3x^2−2x−1=0的解为x1=-1/3,x2=3，对应的二次函数的图像如图所示：

即当x∈(-∞,-1/3][1,+∞) 时，有意义．

用上节课总结的做题步骤，同样可以解决今天所遇到的问题

二次根式的意义讲解这道例题之前需要复习到位

培养学生类比归纳的能力、树形结合的数学思想

题型虽然不一样，但也是考查一元二次不等式的解法

活动三：

巩固练习

素质提升

4.计算下列一元二次不等式的解集：

（1）−x2+3x+10≥0；

（2）2x−x2+3＜0；

（3）−x2+2x−1＞0；

（4）−4x2+12x−9≥0；

（5）-x2+3x−5＞0.

7.计算下列一元二次不等式的解集：

（1）-5x2+x+6＞0；

（2）2x2+3x+10＜0；

（3）2x2+3x≥0；

（4）4x−x2−4＜0；

（5）x2+3x−4≤0.

让学生独立完成练习，找学生回答结果，

让学生感受知识所带来的快乐。

通过课堂练习的学习，使学生掌握一元二次不等式的求解方法，使知识内化。

查缺补漏

活动四：

课堂小结

作业布置

课堂小结：让学生自己说一说本节课的收获？

布置作业：1.课本58页A组题必做，B组题选做；

          2.《学习指导与练习》中第30-33页完成。

活动五：

板书设计

                      2.3一元二次不等式（第一课时）

3.   复习一元二次方程的概念                例4           练习1
4.   复习二次函数的概念                    例5           练习2

总结一元二次不等式解法步骤：                          

活动六：

教学反思

（留白）