【中职专用】高中数学 高教版2021·拓展模块一上册 1.2 充要条件（练习）

1.2 充要条件

同步练习

1．“x>2”是“x>1”的(　A　)

A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件

C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件

[解析]　结合题意可知x>2可以推出x>1，但x>1并不能保证x>2，故为充分不必要条件，故选A．

2．“直线a，b不相交”是“直线a，b为异面直线”的(　B　)

A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件

C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件

[解析]　异面直线一定不相交，不相交可以平行，所以“直线a，b不相交”是“直线a，b为异面直线”的必要不充分条件，故选B．

3．设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的(　A　)

A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件

C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件

[解析]　由a2>a得a>1或a<0，反之，由a>1得a2>a，则“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件，故选A．

4．已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的(　A　)

A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件

C．充分必要条件　　 D．既不充分也不必要条件

[解析]　∵ 若m⊄α，n⊂α，且m∥n，则一定有m∥α，

但若m⊄α，n⊂α，且m∥α，则m与n有可能异面，

∴ “m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．

故选A．

5．设p：x>1或y>2，q：x＋y>3，则p是q的(　B　)

A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件

C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件

[解析]　当x＝2，y＝－2，满足x>1或y>2，但x＋y＝0不满足x＋y>3，即命题p成立推不出q成立．若x≤1且y≤2成立，则x＋y≤3成立，所以它的逆否形式“若x＋y>3，则有x>1或y>2，所以p是q的必要不充分条件”．

1．“B＝60°”是“△ABC三个内角A，B，C成等差数列”的(　B　)

A．充分不必要条件　　 B．充要条件

C．必要不充分条件　　 D．既不充分也不必要条件

[解析]　在△ABC中，A＋B＋C＝180°，若B＝60°，则A＋C＝180°－60°＝120°，∴A＋C＝2B，∴△ABC三个内角A，B，C成等差数列．若△ABC三个内角A，B，C成等差数列，则A＋C＝2B，∴A＋B＋C＝3B＝180°，∴B＝60°.故选B．

2．“ac2＞bc2”是“a＞b”的__充分不必要__条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选择一项填空)．

[解析]　由不等式的性质可知，由ac2＞bc2得a＞b，故“ac2＞bc2”成立可推出“a＞b”，而a＞b，当c＝0，则ac2＝bc2，所以“a＞b”不能保证“ac2＞bc2”，故“ac2＞bc2”是“a＞b”成立的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．

3．已知m、n为不同的直线，α、β为不同的平面，若①m∥n，n∥α；②m⊥n，n⊥α；③m⊄α，m∥β，α∥β；④m⊥β，α⊥β.则其中能使m∥α成立的充分条件有__③__.

[解析]　①中m∥n，n∥α，则m⊂α或m∥α，故①不对；②中，m⊥n，n⊥α⇒m⊂α或m∥α，故②不对；③中，m∥β，m⊄α，α∥β⇒m∥α，③对；④中，m⊥β，α⊥β⇒m⊂α或m∥α，④不对，故只有③对．

4．设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的(　B　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[解析]　由“x2－5x<0”可得“0<x<5”；由“|x－1|<1”可得“0<x<2”．由“0<x<5”不能推出“0<x<2”，但由“0<x<2”可以推出“0<x<5”，所以“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的必要不充分条件．故选B．

5．“x<0”是“ln(x＋1)<0”的(　B　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

[解析]　根据ln(x＋1)<0求出x的取值范围后判断．

∵ln(x＋1)<0，

∴0<x＋1<0，

∴－1<x<0.

∴x<0是－1<x<0的必要不充分条件，故选B．

1．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(　B　)

A．α内有无数条直线与β平行

B．α内有两条相交直线与β平行

C．α，β平行于同一条直线

D．α，β垂直于同一平面

[解析]　若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，反之不成立；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一平面，则α与β可以平行也可以相交，故A，C，D均不是充要条件．根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之成立．因此B中条件是α∥β的充要条件．故选B．

2．设p：|x|－3>0，q：x2－x＋>0，则p是q的(　A　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分又不必要条件

[解析]　使p成立的x的集合为A＝{x|x>3或x<－3}，

使q成立的x的集合为B＝{x|x>或x<}，

∵AB，即若x∈A，则x∈B.但x∈B不一定有x∈A，

∴p为q的充分不必要条件．

3．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是(　A　)

A．m＝－2　　 B．m＝2

C．m＝－1　　 D．m＝1

[解析]　当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.

4. “a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的(　B　)

A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件

C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件

[解析]　“若a≠1或b≠2，则a＋b≠3”的逆否命题是“若a＋b＝3，则a＝1且b＝2”是假命题，故“若a≠1或b≠2，则a＋b≠3”为假命题；“若a＋b≠3，则a≠1或b≠2”的逆否命题是“若a＝1且b＝2，则a＋b＝3”是真命题，故“若a＋b≠3，则a≠1或b≠2”是真命题，故选B．

5. 设函数f(x)＝cosx＋bsinx(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的(　C　)

A．充分而不必要条件　　 B．必要而不充分条件　　　　

C．充分必要条件　　 D．既不充分也不必要条件

[解析]　∵ f(x)＝cosx＋bsinx为偶函数，

∴ 对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)，

即cos(－x)＋bsin(－x)＝cosx＋bsinx，

∴ 2bsinx＝0.由x的任意性，得b＝0.

故f(x)为偶函数⇒b＝0.必要性成立．

反过来，若b＝0，则f(x)＝cosx是偶函数．充分性成立．

∴ “b＝0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件．

故选C．