河北省衡水市桃城区衡水市第八中学2022-2023学年八年级下学期期末数学模拟试卷（含答案）

这是一份河北省衡水市桃城区衡水市第八中学2022-2023学年八年级下学期期末数学模拟试卷（含答案），共23页。
2022-2023学年河北省衡水八中八年级下学期期末数学模拟试卷
一．选择题（共16小题，满分42分）
1．（2分）在，﹣2ab2，，，中，分式共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2分）要使+有意义，则x应满足（　　）
A．＜x≤3 B．x≤3且x≠ C．＜x＜3 D．≤x≤3
3．（2分）下列分式中，最简分式是（　　）
A． B． C． D．
4．（2分）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．已知△CDE的面积比△CDB的面积小5，则△ADE的面积为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
5．（2分）分式中x和y同时变为原来的10倍，那么分式的值（　　）
A．不变 B．变为原来的10倍
C．变为原来的 D．变为原来的
6．（2分）如图，在△ABC中，BC＝8，AB垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则AC为（　　）

A．10 B．16 C．18 D．26
7．（3分）已知边长为a的正方形的面积为8，则下列说法中，错误的是（　　）
A．a是无理数 B．a是方程x2﹣8＝0的解
C．a是8的算术平方根 D．a满足不等式
8．（3分）如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABE，DE⊥BC，如果BC＝10cm，则△DEC的周长是（　　）

A．8cm B．10cm C．11cm D．12cm
9．（3分）若实数m、n满足等式|m﹣2|+＝0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
10．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AC，若CE＝2，则AE＝（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
11．（3分）若分式方程﹣＝2无解，则m的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0
12．（3分）电动车每小时比自行车多行驶25千米，自行车行驶30千米比电动车行驶40千米多用了1小时，求两车的平均速度各为多少．设电动车的平均速度为x千米/小时，应列方程为（　　）
A． B．
C． D．
13．（3分）如图，△ABC中，AB＝7cm，BC＝5cm，AC＝6cm，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，则△ADE的周长为（　　）

A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm
14．（3分）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（　　）

A．4 B．5 C．7 D．10
15．（3分）如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B1D1C1；在等腰直角三角形OA1B1中，作内接正方形A2B2D2C2；在等腰直角三角形OA2B2中，作内接正方形A3B3D3C3；…；依次作下去，则第n个正方形AnBnDn∁n的边长是（　　）

A． B． C． D．
16．（3分）如图，已知△ABC中高AD恰好平分边BC，∠B＝30°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点且OP＝OC，下面的结论：
①AC＝AB；②∠APO+∠DCO＝30°；③△OPC是等边三角形；④AC＝AO+AP．
其中正确的为（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
17．（3分）现有两根木棒的长度分别是40cm和50cm，若要钉成一个直角三角形框架，那么第三根木棒的长度可以选取　 　cm．
18．（3分）定义运算“*”为：a*b＝，若3*m＝﹣，则m＝　 　．
19．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为AB上一点，联结CD，BD＝5，DC＝12，BC＝13，则AB＝　 　．

20．（3分）判断题：
（1）一个锐角和这个角的对边分别相等的两个直角三角形全等；　 　
（2）一个锐角和这个角相邻的直角边分别相等的两个直角三角形全等；　 　
（3）两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；　 　
（4）两直角边分别相等的两个直角三角形全等；　 　
（5）一条直角边和斜边分别相等的两个直角三角形全等．　 　．
三．解答题（共6小题，满分66分，每小题11分）
21．（11分）（1）解方程：．
（2）先化简．再求值：，其中x＝3．
（3）计算：．
22．（11分）如图，△ABC中，AB＝AC，DE是腰AB的垂直平分线．
（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；
（2）若AB＝9，BC＝5，求△BDC的周长．

23．（11分）如图，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°，BE、CF交于M，连AM．
（1）求证：BE＝CF；
（2）求证：BE⊥CF；
（3）求∠AMC的度数．

24．（11分）某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：
（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；
（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；
…
现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S表示面积）

问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC．经探究知＝S△ABC，请证明．
问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q1，Q2三等分边DC．请探究与S四边形ABCD之间的数量关系．
问题3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC．若S四边形ABCD＝1，求．
问题4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4．请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式．
25．（11分）某水果店第一次用1200元购进一批大樱桃，很快售完；又用2500元购进第二批大樱桃，所购公斤数是第一批的2倍，但进价比第一批每公斤多了5元．
（1）求第一批大樱桃每公斤进价多少元？
（2）若以每公斤150元的价格销售第二批大樱桃，售出80%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批大樱桃的销售利润不少于320元，剩余的大樱桃每公斤售价至多打几折（利润＝售价﹣进价）？
26．（11分）已知，如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是CA延长线上的一点，EG∥AD，交AB于F，求证：AE＝AF．


2022-2023学年河北省衡水八中八年级下学期期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题，满分42分）
1．（2分）在，﹣2ab2，，，中，分式共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【解答】解：根据分式的定义，分式有，，共2个．
故选：A．
2．（2分）要使+有意义，则x应满足（　　）
A．＜x≤3 B．x≤3且x≠ C．＜x＜3 D．≤x≤3
【答案】B
【解答】解：∵有意义，
∴3﹣x≥0且3x﹣1≠0，
∴x≤3且x≠，
故选：B．
3．（2分）下列分式中，最简分式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：A、分母不能分解因式，因而分式不能再化简，是最简分式，故选项符合题意；
B、原式＝＝，故选项不符合题意；
C、分子、分母可以约去公因式4，故不是最简分式，选项不符合题意；
D、分子、分母可以约去公因式x，故不是最简分式，选项不符合题意．
故选：A．
4．（2分）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．已知△CDE的面积比△CDB的面积小5，则△ADE的面积为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【解答】解：由尺规作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，
∴点D是AB的中点，
∴S△ADC＝S△BDC，
∵S△BDC﹣S△CDE＝5，
∴S△ADC﹣S△CDE＝5，即△ADE的面积为5，
故选：A．
5．（2分）分式中x和y同时变为原来的10倍，那么分式的值（　　）
A．不变 B．变为原来的10倍
C．变为原来的 D．变为原来的
【答案】C
【解答】解：分式中x和y同时变为原来的10倍，原分式变形为＝•，即分式的值为原来的10分之一．
故选：C．
6．（2分）如图，在△ABC中，BC＝8，AB垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则AC为（　　）

A．10 B．16 C．18 D．26
【答案】A
【解答】解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∵△BDC的周长为18，
∴BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝18，
∵BC＝8，
∴AC＝10，
故选：A．
7．（3分）已知边长为a的正方形的面积为8，则下列说法中，错误的是（　　）
A．a是无理数 B．a是方程x2﹣8＝0的解
C．a是8的算术平方根 D．a满足不等式
【答案】D
【解答】解：∵边长为a的正方形的面积为8，
∴a＝＝2，
∴A，B，C都正确，
故选：D．
8．（3分）如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABE，DE⊥BC，如果BC＝10cm，则△DEC的周长是（　　）

A．8cm B．10cm C．11cm D．12cm
【答案】B
【解答】解：∵BD平分∠ABE，DE⊥BC，DA⊥AB
∴AD＝DE
又∵BD＝BD
∴Rt△BAD≌Rt△BED（HL）
∴AB＝BE
又∵AB＝AC
∴BE＝AC
BC＝BE+EC＝AC+EC＝AD+DC+EC＝DE+DC+EC＝10cm
∴△DEC的周长是10cm，
故选：B．
9．（3分）若实数m、n满足等式|m﹣2|+＝0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【解答】解：∵|m﹣2|+＝0，
∴m﹣2＝0，n﹣4＝0，
解得m＝2，n＝4，
当m＝2作腰时，三边为2，2，4，不符合三边关系定理；
当n＝4作腰时，三边为2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2+4+4＝10．
故选：B．
10．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AC，若CE＝2，则AE＝（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠C＝60°，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠DAC＝30°，∠ADC＝90°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠CDE＝30°，
∵CE＝2，
∴CD＝4，
∴AC＝8，
∴AE＝AC﹣CE＝8﹣2＝6，
故选：B．
11．（3分）若分式方程﹣＝2无解，则m的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0
【答案】B
【解答】解：去分母得：x+m＝2x﹣2，
由分式方程无解，得到x﹣1＝0，即x＝1，
把x＝1代入整式方程得：1+m＝0，
解得：m＝﹣1，
故选：B．
12．（3分）电动车每小时比自行车多行驶25千米，自行车行驶30千米比电动车行驶40千米多用了1小时，求两车的平均速度各为多少．设电动车的平均速度为x千米/小时，应列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：设电动车的平均速度为x千米/小时，则自行车的平均速度为（x﹣25）千米/小时，
依题意得：﹣1＝．
故选：C．
13．（3分）如图，△ABC中，AB＝7cm，BC＝5cm，AC＝6cm，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，则△ADE的周长为（　　）

A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm
【答案】A
【解答】解：∵BO平分∠ABC，
∴∠DBO＝∠CBO，
∵DE∥BC，
∴∠CBO＝∠DOB，
∴∠DBO＝∠DOB，
∴BD＝DO，
同理OE＝EC，
∴△ADE的周长＝AD+AE+ED＝AB+AC＝13cm．
故选：A．
14．（3分）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（　　）

A．4 B．5 C．7 D．10
【答案】B
【解答】解：过E作EF⊥BC于点F，
∵CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，
∴EF＝DE＝2，
∴S△BCE＝BC•EF＝×5×2＝5，
故选：B．

15．（3分）如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B1D1C1；在等腰直角三角形OA1B1中，作内接正方形A2B2D2C2；在等腰直角三角形OA2B2中，作内接正方形A3B3D3C3；…；依次作下去，则第n个正方形AnBnDn∁n的边长是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：法1：过O作OM⊥AB，交AB于点M，交A1B1于点N，如图所示：

∵A1B1∥AB，∴ON⊥A1B1，
∵△OAB为斜边为1的等腰直角三角形，
∴OM＝AB＝，
又∵△OA1B1为等腰直角三角形，
∴ON＝A1B1＝MN，
∴ON：OM＝1：3，
∴第1个正方形的边长A1C1＝MN＝OM＝×＝，
同理第2个正方形的边长A2C2＝ON＝×＝，
则第n个正方形AnBnDn∁n的边长；
法2：由题意得：∠A＝∠B＝45°，
∴AC1＝A1C1＝C1D1＝B1D1＝BD1，AB＝1，
∴C1D1＝AB＝，
同理可得：C2D2＝A1B1＝AB＝，
依此类推∁nDn＝．
故选：B．
16．（3分）如图，已知△ABC中高AD恰好平分边BC，∠B＝30°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点且OP＝OC，下面的结论：
①AC＝AB；②∠APO+∠DCO＝30°；③△OPC是等边三角形；④AC＝AO+AP．
其中正确的为（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【解答】解：∵△ABC中高AD恰好平分边BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，BD＝CD，
在∠ABD与△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴AB＝AC．
故①正确；
如图1，连接OB，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°，
∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°
∵OP＝OC，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°；
故②正确；
∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，
∴∠APC+∠DCP＝150°，
∵∠APO+∠DCO＝30°，
∴∠OPC+∠OCP＝120°，
∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，
∵OP＝OC，
∴△OPC是等边三角形；
故③正确；
如图2，在AC上截取AE＝PA，
∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，
∴∠APO+∠OPE＝60°，
∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，
∴∠APO＝∠CPE，
∵OP＝CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO＝CE，
∴AC＝AE+CE＝AO+AP；
故④正确．
故选：D．


二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
17．（3分）现有两根木棒的长度分别是40cm和50cm，若要钉成一个直角三角形框架，那么第三根木棒的长度可以选取　30或10　cm．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）当两条边均为直角边时，第三根木棒长为＝10；
（2）当一根木棒为直角边，一根木棒为斜边时，第三根木棒长为＝30，
故第三根木棒长为30或10．
18．（3分）定义运算“*”为：a*b＝，若3*m＝﹣，则m＝　﹣2　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意得：3*m＝＝﹣，
去分母得：15+5m＝﹣m+3，
解得：m＝﹣2，
经检验m＝﹣2是分式方程的解．
故答案为：﹣2
19．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为AB上一点，联结CD，BD＝5，DC＝12，BC＝13，则AB＝　16.9　．

【答案】16.9．
【解答】解：在△BDC中，BD＝5，DC＝12，BC＝13，
∴BD2+CD2＝25+144＝169，BC2＝169，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝180°﹣∠BDC＝90°，
设AB＝AC＝x，则AD＝AB﹣BD＝x﹣5，
在Rt△ADC中，AD2+CD2＝AC2，
∴（x﹣5）2+144＝x2，
解得：x＝16.9，
∴AB＝AC＝16.9，
故答案为：16.9．
20．（3分）判断题：
（1）一个锐角和这个角的对边分别相等的两个直角三角形全等；　正确　
（2）一个锐角和这个角相邻的直角边分别相等的两个直角三角形全等；　正确　
（3）两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；　错误　
（4）两直角边分别相等的两个直角三角形全等；　正确　
（5）一条直角边和斜边分别相等的两个直角三角形全等．　正确　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）正确，根据AAS判定两三角形全等；
（2）正确，根据ASA判定两三角形全等；
（3）错误，两个锐角分别相等只能判定两个三角形相似，并不能判定两个三角形全等；
（4）正确，根据SAS判定两三角形全等；
（5）正确，根据HL判定两三角形全等．
故答案为：正确；正确；错误；正确；正确．
三．解答题（共6小题，满分66分，每小题11分）
21．（11分）（1）解方程：．
（2）先化简．再求值：，其中x＝3．
（3）计算：．
【答案】（1）x＝﹣；
（2），4；
（3）．
【解答】解：，
3x＝2x+3x+3，
2x＝﹣3，
x＝﹣，
经检验：x＝﹣是原方程的根．
（2）
＝
＝，
当x＝3时，
原式＝
＝4．
（3）
＝1﹣3+﹣1+
＝．
22．（11分）如图，△ABC中，AB＝AC，DE是腰AB的垂直平分线．
（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；
（2）若AB＝9，BC＝5，求△BDC的周长．

【答案】（1）30°；（2）14．
【解答】解：（1）∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝＝70°．
∵DE是腰AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，∠DBA＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝70°﹣40°＝30°；
（2）由（1）得：AD＝BD，
∴△BDC的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝AB+BC＝9+5＝14．
答：△BDC的周长是14．
23．（11分）如图，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°，BE、CF交于M，连AM．
（1）求证：BE＝CF；
（2）求证：BE⊥CF；
（3）求∠AMC的度数．

【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠EAF＝90°，
∴∠BAC+∠CAE＝∠FAE+∠CAE，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△CAF和△BAE中

∴△CAF≌△BAE，
∴BE＝CF．

（2）证明：∵△CAF≌△BAE，
∴∠ABE＝∠ACF，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABO+∠BOA＝90°，
∵∠BOA＝∠COM，
∴∠COM+∠ACF＝90°，
∴∠CMO＝180°﹣90°＝90°，
∴BE⊥CF．

（3）解：过点A分别作AG⊥BE于G，AH⊥CF于H，
则∠AGB＝∠AHC＝90°，
在△AGB和△AHC中

∴△AGB≌△AHC，
∴AG＝AH，
∵AG⊥BE，AH⊥FC，BE⊥CF，
∴∠AGM＝∠GMH＝∠AHM＝90°，
∴四边形AHMG是正方形，
∴∠GMH＝90°，∠AMG＝∠HMG＝45°，
∴∠AMC＝90°+45°＝135°．


24．（11分）某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：
（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；
（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；
…
现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S表示面积）

问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC．经探究知＝S△ABC，请证明．
问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q1，Q2三等分边DC．请探究与S四边形ABCD之间的数量关系．
问题3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC．若S四边形ABCD＝1，求．
问题4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4．请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：问题1，证明：
如图1，连接P1R2，R2B，在△AP1R2中，∵P1R1为中线，∴S△AP1R1＝S△P1R1R2，
同理S△P1R2P2＝S△P2R2B，
∴S△P1R1R2+S△P1R2P2＝S△ABR2＝S四边形P1P2R2R1，
由R1，R2为AC的三等分点可知，S△BCR2＝S△ABR2，
∴S△ABC＝S△BCR2+S△ABR2＝S四边形P1P2R2R1+2S四边形P1P2R2R1＝3S四边形P1P2R2R1，
∴S四边形P1P2R2R1＝S△ABC；
问题2，S四边形ABCD＝3S四边形P1Q1Q2P2．
理由：如图2，连接AQ1，Q1P2，P2C，在△AQ1P2中，∵Q1P1为中线，
∴S△AQ1P1＝S△P1Q1P2，同理S△P2Q1Q2＝S△P2Q2C，
∴S△P1Q1P2+S△P2Q1Q2＝S四边形AQ1CP2＝S四边形P1Q1Q2P2，
由Q1，P2为CD，AB的三等分点可知，S△ADQ1＝S△AQ1C，S△BCP2＝S△AP2C，
∴S△ADQ1+S△BCP2＝（S△AQ1C+S△AP2C）＝S四边形AQ1CP2，
∴S四边形ABCD＝S△ADC+S△ABC＝S四边形AQ1CP2+S△ADQ1+S△BCP2＝3S四边形P1Q1Q2P2，
即S四边形ABCD＝3S四边形P1Q1Q2P2；
问题3，解：
如图3，由问题2的结论可知，3S2＝S1+S2+S3，即2S2＝S1+S3，同理得2S3＝S2+S4，2S4＝S3+S5，
三式相加得，S2+S4＝S1+S5，
∴S1+S2+S3+S4+S5＝2（S2+S4）+S3＝2×2S3+S3＝5S3，


即S四边形P2Q2Q3P3＝S四边形ABCD＝；
问题4，如图4，关系式为：S2+S3＝S1+S4．
25．（11分）某水果店第一次用1200元购进一批大樱桃，很快售完；又用2500元购进第二批大樱桃，所购公斤数是第一批的2倍，但进价比第一批每公斤多了5元．
（1）求第一批大樱桃每公斤进价多少元？
（2）若以每公斤150元的价格销售第二批大樱桃，售出80%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批大樱桃的销售利润不少于320元，剩余的大樱桃每公斤售价至多打几折（利润＝售价﹣进价）？
【答案】（1）120元；
（2）7折．
【解答】解：（1）设第一批大樱桃每公斤进价为x元，则第二批大樱桃每公斤进价为（x+5）元，
依题意得：×2＝，
解得：x＝120，
经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意．
答：第一批大樱桃每公斤进价为120元．
（2）设剩余的大樱桃每公斤售价打y折，
依题意得：×80%×150+×（1﹣80%）×150×﹣2500≥320，
解得：y≥7．
答：剩余大樱桃每公斤售价至多打7折．
26．（11分）已知，如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是CA延长线上的一点，EG∥AD，交AB于F，求证：AE＝AF．

【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵AD是△ABC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵GE∥AD，
∴∠AFE＝∠BAD，∠E＝∠CAD，
∴∠AFE＝∠G，
∴AE＝AF．