人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理教学设计

第一章 空间向量与立体几何

1.2 空间向量基本定理

教学设计

教学目标

1.理解空间向量基本定理的意义.
2.理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示.
3.会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底，表示其他的向量.
4.会用空间向量基本定理证明平行、垂直问题和求夹角.

教学重难点

教学重点：空间向量基本定理.

教学难点：空间向量基本定理的理解与应用.

教学过程

新知积累

1.空间向量基本定理

如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组，使得.

2.基底和基向量

若向量a，b，c不共面，则所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作由向量a，b，c生成的，把叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.

3.空间向量的正交分解

如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.

例题巩固

例1 如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且，，用向量表示.

解：

.

例2 如图，在平行六面体中，，，，，，，M，N分别为，的中点.求证.

证明：设，，，这三个向量不共面，构成空间的一个基底，我们用它们表示，，

则，，

所以

.

所以.

例3 如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为的中点.

（1）求证：；

（2）求CE与AG所成角的余弦值.

解：（1）设，

则构成空间的一个单位正交基底.

所以，.

所以.

所以.

（2）因为，，

所以.

所以CE与AG所成角的余弦值为.

课堂练习

1.在平行六面体中，，则的值为(   ).

A. B.1 C. D.

答案：C

解析：因为，所以，，，，.故选C.

2.（多选）设a，b，c是空间的一个基底，(   ).

A.若，，则

B.则a，b，c两两共面，但a，b，c不可能共面

C.对空间任一向量p，总存在有序实数组，使

D.则，，一定能构成空间的一个基底

答案：BCD

解析：在A中，若，，则a与c相交或平行，故A错误；

在B中，a，b，c两两共面，但a，b，c不可能共面，故B正确；

在C中，对空间任一向量p，总存在有序实数组，使，故C正确；

在D中，，，一定能构成空间的一个基底，故D正确.故选BCD.

3.如图，在三棱柱中，M为的重心，若，，，则___________.

答案：

解析：.

小结作业

小结：本节课学习了空间向量基本定理.

作业：完成本节课课后习题.

板书设计

1.2 空间向量基本定理

1.空间向量基本定理

2.基底和基向量

3.空间向量的正交分解