高中人教A版 (2019)第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线教学设计

第三章 圆锥曲线的方程

3.3.2 抛物线的简单几何性质

教学设计

教学目标

1.理解抛物线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.

2.能用抛物线的简单几何性质解决一些简单的问题.

教学重难点

教学重点：抛物线的几何性质.

教学难点：抛物线性质的应用.

教学过程

新知积累

1.范围

因为，由方程可知，对于抛物线上的点，，，当时，抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴的正方向相同；当x的值增大时，的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.

2.对称性

以代y，方程不变，所以抛物线关于x轴对称. 抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.

3.顶点

抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点. 在方程中，当时，，因此抛物线的顶点就是原点.

4.离心率

抛物线上的点M与焦点F的距离和点M到准线的距离d的比，叫做抛物线的离心率，用e表示. 由抛物线的定义可知，.

抛物线标准方程的四种形式及相关性质

例题巩固

例1 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点，求它的标准方程.

解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点，

所以可设它的标准方程为.

因为点M在抛物线上，所以，解得.

因此，所求抛物线的标准方程是.

例2 斜率为1的直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长.

解：由题意可知，，，焦点F的坐标为，准线方程为.

如图，设，，A，B两点到准线的距离分别为，.

由抛物线的定义，可知，，

于是.

因为直线l的斜率为1，且过焦点，

所以直线l的方程为.①

将①代入方程，得，化简得.

所以，.

所以线段AB的长是8.

例3 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.

解：如图，以抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系.

设抛物线的方程为，①

点A的坐标为，则直线OA的方程为，②

抛物线的准线方程是.③

联立②③，可得点D的纵坐标为.

因为焦点F的坐标是，

当时，直线AF的方程为.④

联立①④，消去x得，即，

可得点B的纵坐标为，与点D的纵坐标相等，于是DB平行于x轴.

当时，易知结论成立.

所以，直线DB平行于抛物线的对称轴.

例4 如图，已知定点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点，于点E，OE与MD相交于点，求点的轨迹方程.

解：设点，，其中，则点的坐标为.

由题意，直线OB的方程为，①

因为点在OB上，将点的坐标代入①，得，②

所以点的横坐标满足②.

直线OE的方程为，③

因为点在OE上，所以点的坐标满足③.

将②代入③，消去得，即点的轨迹方程.

课堂练习

1.已知抛物线和直线，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为，到直线l的距离为，则的最小值为(   )
A. B. C. D.

答案：D

解析：设抛物线的焦点为F，过P作PA与抛物线的准线垂直，垂足为A，作PB与l垂直，垂足为B，则，显然当P，F，B三点共线（即点P在线段BF上）时，取得最小值，最小值为.故选D.

2.若抛物线上一点到抛物线准线的距离为，则抛物线的方程为______________.

答案：

解析：因为点A在抛物线上，所以，，点A到抛物线准线的距离为，解得或，当时，，不符合题意，舍去，所以，故抛物线的方程为.

小结作业

小结：本节课学习了抛物线的简单几何性质及其应用.

作业：完成本节课课后习题.

板书设计

3.3.2 抛物线的简单几何性质

1.范围

2.对称性

3.顶点

4.离心率