高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示教案及反思

第一章 空间向量与立体几何

1.3.1 空间直角坐标系

教学设计

教学目标

1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的坐标.
2.会用坐标表示空间向量.

教学重难点

教学重点：坐标的确定和空间直角坐标系的建立.

教学难点：向量坐标的确定.

教学过程

新知积累

1.空间直角坐标系

在空间选定一点O和一个单位正交基底（如图）.以点O为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.

相关概念：O叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分.

画空间直角坐标系Oxyz时，一般使（或），.

右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，本书建立的坐标系都是右手直角坐标系.

2.空间中点的坐标表示

空间直角坐标系Oxyz中（如图），为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.

在单位正交基底下与向量对应的有序实数组，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.

3.空间中向量的坐标表示

在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作（如图）.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作.这样，在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示.

如图所示，过点A分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于点B，C和D.可以证明在x轴、y轴、z轴上的投影向量分别为，，，且.设点B，C和D在x轴、y轴和z轴上的坐标分别是x，y和z，那么点A（向量）的坐标为.

例题巩固

例 如图，在长方体中，，，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.

（1）写出，，，四点的坐标；

（2）写出向量，，，的坐标.

解：（1）点在z轴上，且，

所以.

所以点的坐标是.

同理，点C的坐标是.

点在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O，，它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2，所以点的坐标是.

点在轴、轴、轴上的射影分别为，，，它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2，所以点的坐标是.

（2）；

；

.

课堂练习

1.在空间直角坐标系中，点关于平面Oyz对称的点的坐标为(   )

A. B. C. D.

答案：C

解析：点P关于平面Oyz对称的点的坐标与点P的横坐标相反，故选C.

2.设是单位正交基底，已知向量，其中，，，则向量在基底下的坐标是(   )
A. B. C. D.

答案：A

解析：依题意知，故向量在基底下的坐标是.故选A.

3.已知点，求：

（1）点A在xOy平面、x轴上的投影点的坐标；

（2）求点A关于xOy平面、x轴、原点的对称点的坐标.

答案：（1）点A在平面、x轴上的投影点的坐标分别为，.

（2）点A关于xOy平面、x轴、原点的对称点的坐标分别为，，.

小结作业

小结：本节课学习了空间直角坐标系以及用坐标表示空间向量.

作业：完成本节课课后习题.

板书设计

1.3.1 空间直角坐标系

1.空间直角坐标系

2.空间中点的坐标表示

3.空间中向量的坐标表示