高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程教学设计

第二章 直线和圆的方程

2.4.1 圆的标准方程

教学设计

教学目标

1.掌握确定圆的几何要素.

2.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程.

3.能够应用圆的方程解决简单的数学问题.

教学重难点

教学重点：圆的标准方程.

教学难点：圆的标准方程.

教学过程

新知积累

1.圆的几何要素

圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合. 在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了.

2.圆的标准方程

如图，在平面直角坐标系中，的圆心A的坐标为，半径为r，为圆上任意一点，就是以下点的集合.

根据两点间的距离公式，点M的坐标满足的条件可以表示为，两边平方，得.（1）

由上述过程可知，若点在上，点M的坐标就满足方程（1）；反过来，若点M的坐标满足方程（1），就说明点M与圆心A间的距离为r，点M就在上.这时，我们把方程（1）称为圆心为，半径为r的圆的标准方程.

3.点与圆的位置关系

点在圆内，则；

在圆外，则.

例题巩固

例1 求圆心为，半径为5的圆的标准方程，并判断点，是否在这个圆上.

解：圆心为，半径为5的圆的标准方程是.

把点的坐标代入方程的左边，

得，左右两边相等，

点的坐标满足圆的方程，所以点在这个圆上.

把点的坐标代入方程的左边，

得，左右两边不相等，

点的坐标不满足圆的方程，所以点不在这个圆上.

例2 的三个顶点分别是，，，求的外接圆的标准方程.

解：设所求的方程是.

因为，，三点都在圆上，

所以它们的坐标都满足方程.

于是，即.

三式两两相减，得，解得，

代入，得.

所以，的外接圆的标准方程是.

例3 已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上，求此圆的标准方程.

解法1：设圆心C的坐标为.

因为圆心C在直线上，所以.①

因为A，B是圆上两点，所以.

根据两点间距离公式，有，

即.②

由①②可得，，所以圆心C的坐标是.

圆的半径.

所以，所求圆的标准方程是.

解法2：如图，设线段AB的中点为D.

由A，B两点的坐标为，，可得点D的坐标为，

直线AB的斜率为.

因此，线段AB的垂直平分线的方程是，即.

由垂径定理可知，圆心C也在线段AB的垂直平分线上，

所以它的坐标是方程组的解.

解这个方程组，得.

所以圆心C的坐标是.

圆的半径.

所以，所求圆的标准方程是.

课堂练习

1.若一圆的圆心坐标为，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的标准方程是(   )

A. B.
C. D.

答案：A

解析：易知直径两端点的坐标分别为，，可得圆的半径为，因为圆心坐标为，所以所求圆的标准方程是.故选A.

2.若点在圆的内部，则实数m的取值范围是(   )
A.  B.
C.  D.

答案：B

解析：因为点在圆的内部，所以，解得.故选B.

3.已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且到直线的距离等于半径长，则圆C的标准方程为__________.

答案：

解析：设圆心坐标为，且，则点到直线的距离为2，即，所以，解得或（舍去），则圆C的标准方程为.

小结作业

小结：本节课学习了圆的标准方程.

作业：完成本节课课后习题.

板书设计

2.4.1 圆的标准方程

1.圆的几何要素

2.圆的标准方程

3.点与圆的位置关系