2022-2023学年广东省深圳市龙岗区坪地中学九年级（下）月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省深圳市龙岗区坪地中学九年级（下）月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若一组数据，，，，的平均数为，则这组数据中的和中位数分别为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

4.  深圳市数字经济产业创新发展实施方案年中指出：到年，数字经济将成为推动深圳市经济社会高质量发展的核心引擎之一，届时将培育年营业收入超过亿元的龙头企业家以上将亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，的顶点、、均在上，若，则的大小是(    )
 

A.
B.
C.
D.

8.  下列说法正确的是(    )
垂直于弦的直径平分弦；相等的圆心角所对的弧相等；在同圆或等圆中相等的弦所对的弧相等；等弧所对的圆周角相等．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

9.  我国古代算法统宗里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住人，那么有人无房可住；如果一间客房住人，那么就空出一间客房，若设该店有客房间，房客人，则列出关于，的二元一次方程组正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，等腰中，，点在上，且，连接，过点作于点，连接，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  因式分解：______．

12.  为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘中捕捞了条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞条．若其中有标记的鱼有条，则可估计池塘里有鱼          条．

13.  若关于的一元二次方程有两个不同的实数根，则的取值范围是          ．

14.  如图，的边延长线与反比例函数在第一象限的图象交于点，连接，且，点的纵坐标为，则的面积是______．

15.  如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，为半径画圆弧，与两坐标轴分别交于点、，已知点、，为上一点，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
某市教育局为了解“双减”政策落实情况，随机抽取几所学校部分初中生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图：

请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
在调查活动中，教育局采取的调查方式是        填写“普查”或“抽样调查”；
教育局抽取的初中生有        人，扇形统计图中的值是        ；
若该市共有初中生名，则平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生约有多少人．

19.  本小题分
某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜元，且用元购买的甲种类型的数量与用元购买的乙种类型的数量一样．
求甲乙两种类型笔记本的单价．
该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共件，且购买的乙的数量不超过甲的倍，则购买的最低费用是多少．

20.  本小题分
在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式利用函数图象研究其性质运用函数解决问题”的学习过程在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象同时，我们也学习了绝对值的意义：．
结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：
在函数中，当时，，

求这个函数的表达式；
在给出的平面直角坐标系中画出这个函数的图象．
已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集______ ．
若方程有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是______ ．

21.  本小题分
如图，平面直角坐标系中，与轴相切于点，与轴相交于、两点，且，连接．
求证：；
求的长；
如图，经过、两点，与轴的正半轴交于点，与的延长线交于点，且在轴上直接写出的值______ ．

22.  本小题分
定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”如图，四边形中，，，四边形即为等垂四边形，其中相等的边，称为腰，另两边，称为底．
【提出问题】
如图，与都是等腰直角三角形，，求证：四边形是“等垂四边形”．
【拓展探究】
如图，四边形是“等垂四边形”，，点，分别是，的中点，连接已知腰，求的长．
【综合运用】
如图，四边形是“等垂四边形”，腰，底，则较短的底长的取值范围为______．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是：．
故选：．
直接利用倒数的定义得出答案．
此题主要考查了倒数的定义，正确掌握相关定义是解题关键．倒数的定义：乘积是的两数互为倒数．
 

2.【答案】 

【解析】解：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：数据，，，，的平均数是，
，
这组数据为，，，，，
则中位数为．
故选：．
根据平均数的计算公式先求出的值，然后将数据按照从小到大依次排列即可求出中位数．
本题考查了中位数、平均数，将数据从小到大依次排列是解题的关键，是一道基础题，比较简单．
 

4.【答案】 

【解析】解：将亿用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，故本选项符合题意；
B、，故本选项不合题意；
C、，故本选项不合题意；
D、，故本选项不合题意；
故选：．
分别根据积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及合并同类项法则逐一判断即可．
本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘方以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：点在第二象限，
，
解得：，
故选：．
先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即可．
本题考查不等式组的解法，数轴等知识，解题的关键是熟练掌握不等式组的解法，属于中考常考题型．
 

7.【答案】 

【解析】解：与为弧所对的圆周角与圆心角，
，
，
，
．
故选：．
先根据圆周角定理得到，由于，所以，然后解方程即可．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

8.【答案】 

【解析】解：垂直于弦的直径平分弦，故说法正确；
同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故说法错误；
在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，故说法错误；
等弧所对的圆周角相等，故说法正确；
综上，说法正确的有个，
故选：．
利用圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系分别判断后即可确定正确的选项．
此题主要考查了圆周角定理、垂径定理等知识，熟练利用圆周角定理、垂径定理是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意得出方程组是解决问题的关键．
设该店有客房间，房客人，根据“一房七客多七客，一房九客一房空”得出方程组即可．
【解答】
解：设该店有客房间，房客人，
根据题意得：
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：过点作交延长线于点，如图：
 
，，
，，
，
为等腰直角三角形，且，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
∽，
：：
，
：：，
：：，
设，则，
，，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
．
故选：．
过点作交延长线于点，先证和全等得，，再证和相似得：：：，然后设，则，则，，，进而在中由勾股定理得，据此即可得出答案．
此题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解答此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
将原做有标记的鱼的数量除以抽取样本中标记的鱼的数量所占比例即可．
【解答】
解：估计池塘里有鱼条，
故答案为：．  

13.【答案】且 

【解析】

【分析】
本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，根据题意列出不等式组是解题的关键．
根据一元二次方程的定义及根的判别列出不等式组求解即可．
【解答】
解：根据题意可知，．
解得：且，
故答案为：且．  

14.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴于，

点在反比例函数图象上，点的纵坐标为，
点
，，
，，
，
，
，
，
的面积，
故答案为：．
过点作轴于，先求出点坐标，可得，，由直角三角形的性质可求，可求的长，由三角形面积公式可求解．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质，求出的长是本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】
解：如图所示，
在轴上找一点，使，
，

，
∽



当点，，三点共线时，
的值最小，
的最小值．
故答案为．
在轴上找一点，使，根据相似三角形的判定和性质即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是构造适当的辅助线．
 

16.【答案】解：


． 

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
 

17.【答案】解：


，
当时，
原式． 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再把的值代入计算即可求出值．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
 

18.【答案】抽样调查；
，；
人，
答：平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生约有人． 

【解析】解：在调查活动中，教育局采取的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查；
教育局抽取的初中生有人，
，即，
故答案为：，；
见答案．
根据教育局随机抽取几所学校部分初中生进行调查即可得出答案；
根据的人数人占所有抽样学生的即可求出抽样学生的人数，根据扇形统计图各部分的百分比之和为即可求出的值；
根据样本中的人数占抽样人数的估计全市人数即可．
本题考查了全面调查与抽样调查，扇形统计图，用样本估计总体，用样本中的人数占抽样人数的估计全市人数是解题的关键．
 

19.【答案】解：设甲类型的笔记本单价为元，则乙类型的笔记本单价为元，
由题意得，，
解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
乙类型的笔记本单价为元，
答：甲类型的笔记本单价为元，乙类型的笔记本单价为元；
设甲类型笔记本购买了件，则乙类型的笔记本购买了件，购买总费用为元，
由题意得，，且
，
，
，
随的增大而减小，
时，最小，最小值为元，
答：最低费用为元． 

【解析】设甲类型的笔记本单价为元，则乙类型的笔记本单价为元，列出分式方程，从而解决问题；
设甲类型笔记本购买了件，总费用为元，则乙类型的笔记本购买了件，列出关于的函数解析式，再根据的范围可得答案．
本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的运用等知识，根据题意，列出方程和函数解析式是解题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：在函数中，当时，，
，
解得，
这个函数的表达式是；
，
，
函数过点和点，
函数过点和点，
该函数的图象如图所示，
；
由函数的图象可得，不等式的解集是：；
故答案为：；
由得，作出的图象，

由图象可知，要使方程有四个不相等实数根，则，
故答案为：．
把，，代入求解即可；
由，得，再根据函数的图象写出函数的性质；
根据题意画出图象，再根据图象得出不等式的解集；
根据题意画出图象，再根据方程有四个不相等的实数根，得出结果．
本题考查了一次函数的图象和性质及一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是根据题意准确画出图象和数形结合的应用．
 

21.【答案】 

【解析】证明：如图，连接，
，
，
与轴相切于点，
轴，
，
，
，
；
解：如图，过点作，

，
连接，
与轴相切于点，
轴，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
，
在中，根据勾股定理得，；
解：如图，作点关于轴的对称点，则，，

，
由知，，
，
，
即，
又，
，
≌，
，
，
的值为．
故答案为：．
连接，利用切线的性质推出，得到，再推出，可得出结论；
如图，过点作于，证四边形是矩形，在中，利用勾股定理求出的长，再求出的长，在中，利用勾股定理即可求出的长；
如图，作点关于轴的对称点，求出的长，证≌，推出，即求出结果．
本题是综合题，考查了圆的有关性质，全等三角形的判定与性质等，解题关键是弄清图形变化过程中的不变性，容易受原图的影响，把当作的直径．
 

22.【答案】 

【解析】证明：和都是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
在和中，

≌，
，，
延长交延长线于，交于点，

，
，
，
四边形是“等垂四边形”；
解：连接，取的中点，连接，，延长，交于点，

四边形是“等垂四边形”，
，，
，
点，，分别是，，的中点，
，，，，
，，，
，
是等腰直角三角形，
；
解：延长、交于点，分别取、的中点、，连接、、，

，，，
，，
由知，，
，即，
，即，
故答案为：．
根据等腰直角三角形的性质，证明≌，从而得到四边形是“等垂四边形”；
连接，取的中点，连接、，延长，交于点，根据题意以及三角形中位线定理证明是等腰直角三角形，据此即可求解；
先证明，，再利用三角形三边关系即可得出答案．
本题考查了三角形中位线定理及等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系等知识点，解题的关键是掌握新定义“等垂四边形”，三角形中位线定理及等腰直角三角形的性质等知识点．