2022-2023学年河北省保定市爱和城教育集团八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河北省保定市爱和城教育集团八年级（下）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河北省保定市爱和城教育集团八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  下列分解因式正确的是(    )A.
B.
C.
D. 2.  下列命题中，是真命题的是(    )A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 两条对角线相等的四边形是矩形
C. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形3.  不论取何值，下列代数式的值不可能为的是(    )A.  B.  C.  D. 4.  正多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数为(    )A.  B.  C.  D. 5.  已知，下列式子一定成立的是(    )A.  B.  C.  D. 6.  下列分式中，最简分式是(    )A.  B.  C.  D. 7.  若，，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 8.  若顺次连接四边形各边的中点所得四边形是菱形，则四边形一定是(    )A. 菱形 B. 对角线互相垂直的四边形
C. 矩形 D. 对角线相等的四边形9.  不等式组的解集表示在数轴上正确的是(    )A.
B.
C.
D. 10.  如图，在中，，，，点，，分别是，，的中点，连接、，则四边形的周长为(    )
 A.  B.  C.  D. 11.  如图在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为(    )
A.  B.  C.  D. 12.  若一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为(    )A.
B.
C.
D. 13.  如图，将一个边长为的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“”的图案，如图所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图所示，则新矩形的周长可表示为(    )

 A.  B.  C.  D. 14.  某服装加工厂计划加工套运动服，在加工完套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了，结果共用了天完成全部任务．设原计划每天加工套运动服，根据题意可列方程为(    )A.  B.
C.  D. 15.  如图，在平面直角坐标系中，▱的顶点在轴上，，且以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、；再分别以点、点为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点，过点作射线，交于点，则点的坐标为(    )
A.  B.  C.  D. 16.  如图，四边形中，，，，是上一点，且，点从点出发以的速度向点运动，点从点出发，以的速度向点运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为，则当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值是(    )A.  B.  C. 或 D. 或二、填空题（本大题共3小题，共10.0分）17.  分解因式： ______ ．18.  若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是______ ．19.  一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点在轴上，顶点，，，，，，在轴上，已知正方形的边长为，，，则正方形的边长是______ ，则正方形的边长是______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）20.  如图，是的角平分线，过点分别作、的平行线，交于点，交于点．
求证：四边形是菱形．
若，求四边形的面积．
四、解答题（本大题共6小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21.  本小题分
先化简，再求值：，其中的值从不等式组的整数解中选取；
解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．

 22.  本小题分
已知：如图所示，平行四边形的对角线，相交于点，经过点并且分别和，相交于点，，点，分别为，的中点．求证：四边形是平行四边形．
23.  本小题分
如图，等腰中，，，点在上，将绕点沿顺时针方向旋转后，得到，连接．
求的度数；
若，，求的长．
24.  本小题分
阅读下列材料：整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式进行因式分解的过程将“”看成一个整体，令，则原式再将“”还原即可．
解：设．
原式第一步
第二步
第三步
第四步．
问题：该同学因式分解的结果不正确，请直接写出正确的结果______ ；
根据材料，请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解；
根据材料，请你模仿以上方法尝试计算：
．25.  本小题分
“七一”建党节前夕，某校决定购买，两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知奖品比奖品每件多元，预算资金为元，其中元购买奖品，其余资金购买奖品，且购买奖品的数量是奖品的倍．
求，奖品的单价；
购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，故学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买奖品的资金不少于元，，两种奖品共件，求购买，两种奖品的数量，有哪几种方案？26.  本小题分
探究与应用
【操作发现】如图，为等边三角形，点为边上的一点，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、，请直接写出下列结果：

的度数为______ ；
与之间的数量关系为______ ；
【类比探究】如图，为等腰直角三角形，，点为边上的一点，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、．
则线段，，之间有什么数量关系？请说明理由；
【拓展应用】如图，是一个三角形的余料，小张同学量得，，他在边上取了、两点，并量得、，这样、将分成三个小三角形，则：： ______ ．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、公因式是，应为，错误；
B、符号错误，应为，错误；
C、提公因式法，正确；
D、右边不是积的形式，错误；
故选：．
根据提公因式法和公式法进行判断求解．
本题考查了多项式的因式分解，符号的变化是学生容易出错的地方，要克服．
 2.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了真命题的概念以及平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定定理，熟记这些判定定理才能正确的判断正误．
真命题就是判断事情正确的语句．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；两条对角线相等且平分的四边形是矩形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；两条对角线互相垂直相等且平分的四边形是正方形．
【解答】
解：、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确．
B、两条对角线相等且平分的四边形是矩形；故本选项错误．
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形；故本选项错误．
D、两条对角线互相垂直相等且平分的四边形是正方形．故本选项错误．
故选：．  3.【答案】 【解析】解：、当时，，故不合题意；
B、当时，，故不合题意；
C、当时，，故不合题意；
D、分子是，而，则，故符合题意；
故选：．
分别找到各式为时的值，即可判断．
本题考查了分式的值为零的条件，代数式的值．若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为这两个条件缺一不可．
 4.【答案】 【解析】解：依题意，得
多边形的边数，
故选：．
正多边形的每一个外角都等于，而多边形的外角和为，则：多边形边数多边形外角和一个外角度数．
本题考查了多边形内角与外角．关键是明确多边形的外角和为定值，即，而当多边形每一个外角相等时，可作除法求边数．
 5.【答案】 【解析】解：、，，故该选项不正确，不符合题意；
B、，，故该选项正确，符合题意；
C、，，故该选项不正确，不符合题意；
D、，当时，，故该选项不正确，不符合题意．
故选：．
根据不等式的基本性质即可进行解答．
本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质．不等式性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变．不等式性质：不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．不等式性质：不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 6.【答案】 【解析】解：．中，分子和分母有公因数，不是最简分式，故本选项不符合题意；
B.中，分子和分母有公因式，不是最简分式，故本选项不符合题意；
C.中，分子和分母有公因式，不是最简分式，故本选项不符合题意；
D.中，分子和分母没有公因式，是最简分式，故本选项符合题意．
故选：．
根据最简分式的定义：在化简结果中，分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式，逐一判断即可．
此题考查的是最简分式的判断，掌握最简分式的定义是解题关键．
 7.【答案】 【解析】解：，，
，
故选：．
把因式分解后，利用整体代入即可求得答案．
此题考查了用平方差公式因式分解以及代数式求值，熟练掌握是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：，，，分别是边，，，的中点，
，，，，，，，，
，，
四边形是平行四边形，
假设，
，，
则，
平行四边形是菱形，
即只有具备即可推出四边形是菱形，
故选：．
根据三角形的中位线定理得到，，，，要使四边形为菱形，得出，即可得到答案．
本题主要考查对菱形的判定，三角形的中位线定理，平行四边形的判定等知识点的理解和掌握，灵活运用性质进行推理是解此题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
在数轴上表示为，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：点，，分别是，，的中点，
，，、是的中位线，
，，
四边形的周长，
故选：．
根据线段中点的概念分别求出、，根据三角形中位线定理分别求出、，计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：，且，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
当时，的值最小，
此时，，
，
的最小值为，
故选：．
由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
本题主要考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 12.【答案】 【解析】解：由题意得，一次函数的图象经过，，
，
，
不等式可化为：，
解得，
故选：．
根据一次函数图象上点的坐标特征得到，，解不等式得到答案．
本题考查的是一次函数与不等式，掌握一次函数图象上点的坐标特征、一元一次不等式的解法是解题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：根据题意得新矩形的周长为：．
故选：．
根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果．
此题考查了整式的加减，以及列代数式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 14.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．本题要注意采用新技术前后工作量和工作效率的变化．根据采用新技术前用的时间采用新技术后所用的时间列出方程即可．
【解答】
解：采用新技术前用的时间可表示为：天，采用新技术后所用的时间可表示为：天．
方程可表示为：．
故选B．  15.【答案】 【解析】解：延长交轴于，

由题意得：平分，
，
，
，
，
，
▱的顶点在轴上，，，
轴，，
，
，，
点点坐标为，
故选：．
由作法得平分，结合平行线的性质证明得到，延长交轴于，可得轴，，进而可求得，，由此即可得到答案．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了平行四边形的性质、含的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解决本题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：当点在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
则有，解得，
当在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
则有，解得，
综上所述，或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
故选：．
分两种情形由平行四边形的判定列出方程即可解决问题．
本题考查平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
 17.【答案】 【解析】解：

，
故答案为：，
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 18.【答案】且 【解析】解：方程两边同时乘以得：
，
解得：，
为非负数，
，解得，
，
，即，
的取值范围是且，
故答案为：且．
先解分式方程，利用表示出的值，再由为非负数求出的取值范围即可．
本题考查的是根据分式方程的解的情况求参数，可以正确用表示出的值是解题的关键．
 19.【答案】   【解析】解：，，
，
，
，
，
，
，
正方形的边长为，
同理可求正方形的边长为，
正方形的边长为，
正方形的边长为，
故答案为：；．
利用正方形的性质，结合含度的直角三角形的性质以及勾股定理得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，含度的直角三角形的性质，得出正方形的边长变化规律是解题关键．
 20.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形．
是的角平分线，
．
又，
．
．
．
四边形是菱形．
解：连接交于点．

四边形是菱形，
．
．
．
在中，由勾股定理得．
．
四边形的面积． 【解析】先证明四边形是平行四边形．再证明可得则结论得证；
连接交于点求出，则四边形的面积可求出．
本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 21.【答案】解：



，
解不等式组，
解得：，
，，在分母上，
，，
当时，原式；
，
移项得，，
合并同类项得，，
解得：，
在数轴上表示如图所示，
 【解析】直接将括号里面通分化简，进而利用分式混合运算法则计算，进而解不等式组，得出符合题意的的值，进而得出答案；
根据移项，合并同类项，化系数为的步骤解一元一次不等式，再将解集表示在数轴上即可求解．
本题考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组，熟练掌握分式的运算法则以及解不等式组是解题的关键．
 22.【答案】证明：如图所示，
点为平行四边形对角线，的交点，
，．
，分别为，的中点，
，，
．
又，
．
在和中，

≌，
．
四边形为平行四边形． 【解析】要证四边形是平行四边形，需证，，可分别由四边形是平行四边形和≌得出．
此题主要考查平行四边形的判定与性质，对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题关键．
 23.【答案】解：等腰中，，，
，
将绕点沿顺时针方向旋转后，得到，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
；
，，
，，
≌，
，
在中：． 【解析】根据题意证明≌，根据全等三角形的性质可得结论；
根据题意求出，的长度，然后根据中全等三角形的性质得出，根据勾股定理求解即可．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据题意证明≌，根据全等三角形的性质求解是解本题的关键．
 24.【答案】；
设，
原式



；
设，
原式





． 【解析】最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；
根据材料，用换元法进行分解因式；
设，则原式，再将代入即可求解．
本题考查了因式分解换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．
 25.【答案】解：设奖品的单价为元，则奖品的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
则，
答：奖品的单价为元，则奖品的单价为元；
设购买种奖品的数量为件，则购买种奖品的数量为件，
由题意得：
解得：，
为正整数，
的值为，，，
有三种方案：
购买种奖品件，种奖品件；
购买种奖品件，种奖品件；
购买种奖品件，种奖品件． 【解析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用等知识，解题的关键是：找准等量关系，列出分式方程；找出不等关系，列出一元一次不等式组．
设奖品的单价为元，则奖品的单价为元，由题意：预算资金为元，其中元购买奖品，其余资金购买奖品，且购买奖品的数量是奖品的倍．列出分式方程，解方程即可；
设购买种奖品的数量为件，则购买种奖品的数量为件，由题意：不超过预算资金且购买奖品的资金不少于元，列出一元一次不等式组，解不等式组即可．
 26.【答案】    ：： 【解析】解：的度数为，理由如下：
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
为等边三角形，
，，
，即．
在与中，
，
≌，
．
为等边三角形，
，
．
故答案为：；

结论：，理由如下：
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
，
．
在与中，
，
≌，
．
故答案为：；

结论：，理由如下：
是等腰直角三角形，，
，，
由旋转知，，，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
，，
；
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，，
又，
；

如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、，

是等腰三角形，，
，，
由旋转知，，，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
，，
；
，，
，
，
在和中，
，
≌，
．
≌，
．
，，
，
．
≌，
，，
，
，
，，
，
在中，．
≌，≌，
，，
，
：：：：，
：：：：．
故答案为：：：
根据旋转及等边三角形的性质，证明≌，再求得的度数为；根据旋转及等边三角形的性质，证明≌，再求得；
根据旋转及等腰直角三角形的性质，证明≌，≌，再运用全等三角形的性质及勾股定理，证得；
将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、，根据旋转及等腰三角形的性质，证明≌，≌，由全等三角形的性质推导出，，则，即得：：：：．
本题考查了图形旋转的性质，三角形全等的证明及性质应用，以及等边三角形、等腰三角形等特殊三角形的性质，综合运用以上知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．